湖北省云学联盟2026届高三上学期12月联考数学试卷含解析（word版）

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一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知集合 ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 , 所以 .
2.在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ,则复数 的虚部为
A. B. C. 1 D. -1
【答案】D
【解析】因为在复平面内,复数 对应的点的坐标为 ,所以 . 则其共轭复数 . 那么 ,分子分母同时乘以 进行化简: 1 所以复数 的虚部为 -1.
3.已知等差数列 的公差为 ,前 项和为 ,则 “ ” 是 “ ” 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 ， 所以 “ ” 是 “ ” 的充要条件.
4.已知函数 ,若函数 的图象关于 轴对称,则 的值为
A. -1 B. 1 C. -2 D. 2
【答案】B
【解析】因为函数 是偶函数,而 为奇函数,所以 为奇函数.
所以 . 即 ,所以 , 所以 .
5.在 中,角 的对边分别为 . 已知 , 则 的面积为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由 ,根据正弦定理得, ,在 中, ,则 ,即 ,又 ,则 ,由余弦定理得
.
6.已知 为椭圆 的一个焦点， 为椭圆 上一点， 为圆 上一点， 则 的最大值为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题可知,圆 的圆心坐标为 ,半径为 1,设椭圆 的上焦点为 ,下焦点为 ,
则 ,
故要求 的最大值,即求 的最小值,
而 ,故
所以 .
7.如图，在 中， ， ， 为 与 的交点，且 则向量 在 上的投影向量的模取得最小值时，
A. B. 1 C. 2D.
【答案】A
【解析】因为 三点共线,所以设 又 三点共线,所以
故 ,所以 ,
则 在 上的投影向量的模为
当且仅当 ,即 时等号成立.
8.在正三棱柱 中， ， 为 边上的中点，平面 过点 、 且与平面 所成的锐二面角为 ,平面 与线段 相交于点 ,则三棱锥 的外接球的表面积为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】法一: 如图,因为 为正三棱柱,所以平面 与平面 所成的锐二面角的平面角为 ，则 ， 因为 ,所以 ,设 外接圆半径为 ,因为 ,所以由正弦定理得 . 又易知 平面 ,且 ,所以设三棱锥 外接球的半径为 ,则 , 所以 ,故三棱锥 外接球的表面积为 .
法二: 以 点为坐标原点, 为 轴, 为 轴, 点引平面 的垂线为 轴建立空间直角坐标系， ，设三棱锥 的 外 接 球 的 球 心 为 ，则 ，得 ,所以设外接球半径为 ,则 ,球的表面积为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.下列有关说法正确的是
A. 设随机变量 服从正态分布 ，若 ，则
B. 若随机变量 ，则
C. 数据13,27,24,12,14,30,15,17,19,23的第 70 百分位数是 23.5
D. 甲、乙、丙、丁 4 个人到 3 个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需要有人去， 则不同的安排方法有 72 种
【答案】ABC
【解析】对于 ,设随机变量 服从正态分布 ,
若 ,则曲线关于 对称,则 ,故 正确;
对于 ,因为 ,所以 ,所以 ,故 正确;
对于 ,从小到大排列为12,13,14,15,17,19,23,24,27,30,由于 ,
故第 7 和第 8 个数的平均数为第 70 百分位数,
即 ,所以第 70 百分位数是 23.5,故 正确;
对于 D: 甲、乙、丙、丁 4 个人到 3 个国家做学术交流，每人只去一个国家，每个国家都需 要有人去， 则不同的安排方法有 种, D 选项错误.
10.已知函数 满足 ,且 在 上有最小值,无最大值,则下列结论正确的是
A. 函数 的图象关于直线 对称
B. 的最小正周期为 4
C. 当 时,函数 在每一个闭区间 上单调递减
D. 在 上恰有 900 个零点
【答案】AC
【解析】选项 因为 ,且 在 上有最小值无最大值,所以函数 的图象关于直线 对称, 正确.
选项 : 由已知可得 ,且 在同一个减区间内,所以 ,两式相减得 ,所以 的最小正周期为 ,故 不正确. 选项 : 当 时,由 知 ,
所以 ,由 ,
解得 ,所以 的单调减区间为 ,
而 ,所以 正确.
选项 ,在一个周期内函数有 2 个零点, ,所以 在 内有 个零点,当 时, , 所以 在 上有 0 个或 1 个零点, 在 上有 900 个或 901 个零点. 错误.
11.已知数列 的通项公式为 ,将 按从小到大的顺序排列起来构成数列 ，其中 ，数列 中落在区间 内项的个数记为数列 ，则下列结论正确的是
A. B. C. D. 若 ,则
【答案】ABD
【解析】因为 ,易知当 ,且 时 .
而 .
对于选项 : 依次列举较小的 的值, , ,所以 正确.
对于选项 : 把 进行组合分析,从 中选 3 个指数,共有 种选法,当 时 ,所以 ,故 B 正确;
对于选项 ,从 中找落在 内的项.
当 时, 共 5 种情况;
当 时, 共 4 种情况;
当 时, 共 3 种情况;
当 时, 共 2 种情况;
当 时, 共 1 种情况;
所以 种情况,故 错误;
对于 选项: 表示从 中找落在 内的项数.
当 时, 共 种情况;
当 时, 共 种情况;
当 时, 共 1 种情况;
所以 ,故
所以 ,故 正确.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.相互独立事件 满足 ,则 ________.
【答案】
【解析】因为 ,而 ,所以 ,又 相互独立,所以 ,即 .
13.已知双曲线 的左、右焦点分别为 ,过点 的直线与双曲线 的右支交于 两点，若 ，且 ，双曲线 的离心率为_______.
【答案】
【解析】因为 ,所以 ,
由双曲线的定义可得 ,所以 ,
中,余弦定理得
,解得 ,所以 .
14.我们将含参数的一类函数构成的集合称为函数簇,记为 . 例如: 是一个函数簇. 若函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ,且当参数 变化时,由所有的点 构成一条曲线 ,则称函数簇 存在包络函数 . 已知函数簇 ,若 “ ” 是 “ 存在包络函数 ” 的充要条件,则集合 _____；函数 的表达式为________.
【答案】
【解析】由已知 存在先负后正的变号零点,由 求导得: , 下面在同一个坐标系中作出函数 与 的图象,
显然 ,当时 ,如图所示, 函数 与 的图象有一个交点横坐标可设 ,
当 时, ,则 在 单调递减,
当 时, ,则 在 单调递增,
此时函数 在 处取到极小值,且 ;
当 时,设函数 在点 处的切线 过原点得: ,
即过原点的直线 与曲线 相切,且切点为 .
当 时,可知 ,此时函数
单调递增,无极小值点;
则当 时,函数 与 的图象有两个
交点横坐标可设 ,且 ,如图所示
当 时, ,则 在 单调递增, 当 时, ,则 在 单调递减, 当 时, ,则 在 单调递增, 此时 函数在 处取到极小值,且 ,
综上, 时,函数簇 中的每一个函数都存在极小值点 ,且为充要条件,
此时 ,
由所有的点 构成的曲线 满足:
又 ,可得 ,且 或 ,
所以函数 的表达式为 .
故答案为: .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.某中学对学生钻研奥数课程的情况进行调查，将每周独立钻研奥数课程超过 6 小时的学生称为 “奥数迷”，否则称为 “非奥数迷”，从调查结果中随机抽取 100 人进行分析，得到数据如表所示:
(1)对照 列联表,根据小概率 的 独立性检验,是否为“奥数迷”与性别有关?
(2)现从抽取的“奥数迷”中，按性别采用分层抽样的方法抽取 3 人参加奥数闯关比赛，已知其中男、 女学生独立闯关成功的概率分别为 ,在恰有两人闯关成功的条件下，求两人性别相同的概率.
参考数据与公式: ,其中 .
【解析】(1)零假设 : “奥数迷”与性别无关.
根据表中数据计算得 .
根据小概率 的 独立性检验,没有充分的证据推断 不成立,因此可以认为 成立,即认为“奥数迷”与性别无关.
故没有 99%的把握认为是否为“奥数迷”与性别有关.
(2)根据分层抽样，抽取的男生人数为 2 人，女生人数为 1 人，
记“恰有两人闯关成功”为事件 ，“没有女生闯关成功”为事件 ，
则 ,
.
由条件概率的公式得 ,
故在恰有两人闯关成功的条件下,没有女生闯关成功的概率为 .
16.已知数列 中的相邻两项 是关于 的方程 的两个根,且
(1)求 及 ；
(2)记 ，其中 表示不超过 的最大整数，如 ， . 求数列 的前 2025 项和 .
【解析】(1)由题意得， ， ，由 ，
则当 时， ；当 时， ；
当 时, ; 当 时, ;
当 时, ,令 ,
设 ,由 ,故 单调递增,
故 ,则 ;
(2)由(1)知 时，
当 时,即 时, ,共有 30 项;
当 时,即 时, ,共有 3000 项;
当 时,即 时, ,共有 3000 项;
因为 ,
所以 .
17.在三棱锥 中， ， ， 为正三角形， ，点 为棱 的中点,点 是线段 上的一动点.
(1)证明: ；
(2)求二面角 的正弦值的大小；
(3)设直线 与平面 、平面 所成角分别为 、 ， 求 的最大值.
【解析】
(1)证明: 为正三角形， 为棱 的中点， ，又 ， 面 ，且 ，故 面 ，又 面 ，所以 .
(2)由(1)知 为二面角 的的平面角
， ， 面 ，且 ， 面 ，又 面 ,故 ,又 为正三角形,
所以 .
(3)方法 1:因为 面 ，所以 为直线 与平面 所成角，即 . 因为 面 ,所以面 面 ,且面 面 ,故作 于 , 连接 ,则 面 ,所以 为直线 与平面 所成角,即 .
设 ,其中 ,且 为锐角,
则 ,故
在 中,易知 ,所以 ,即 ,
所以 ,故
所以
故当 时, 取得最大值 .
方法 2: 过 作 垂线,建立如图空间直角坐标系
则 ,设
所以
设面 的法向量为 ,
由 ,令 ,则
.
所以
取面 的法向量 ,则
所以 .
令 ,
则
所以当 ,即 时, 的最大值为 .
18.在抛物线 中,过点 的直线 交抛物线 于 两点. 当直线 的斜率为 1 时, .
(1)求抛物线 的标准方程；
(2)设抛物线 的焦点为 ，直线 上有一动点 ，其横坐标为 .
(i) 若 且直线 经过 的内心，求直线 的方程；
(ii) 对任意满足题设条件的直线 ，是否存在动点 ，使得直线 经过 的内心且 、 同时与 相切？若存在，则加以证明. 若不存在，请说明理由.
【解析】易知直线 的斜率存在,设
(1)当直线 的斜率为 1 时,
联立 消去 得 恒成立,
.
所以
化简得 ,所以 或 (舍)
所以求抛物线 的标准方程为 .
(2)(i)由已知 ， ，所以 因为直线 经过 的内心，所以 ，
即 ,
所以 .
又 代入上式得 ,去分母整理得 , 而 ,所以 ,即直线 的方程为 .
(ii) 假设存在 满足 经过 的内心,则 ,而
所以 ,
又 代入上式得 ,
而 ,所以 ,所以 .
联立 ，所以
抛物线 的标准方程为 ,所以 ,点 处的切线为
而 ,故 ,同理点 处的切线为
设 与 交点为 ,由 .
所以 重合,即存在满足条件的 对任意直线 都成立 .
19.已知函数 ,直线 .
(1)若直线 与曲线 相切，求实数 的值；
(2)证明:对于 ，使得当 时，直线 恒在曲线 上方；
(3)若直线 与曲线 有三个不同的交点，且从左到右的三个交点的横坐标依次为 ， 证明: .
【解析】(1) 设直线 与曲线 相切于点
因为 ,所以 或 ,
而 ,所以切线方程为 或
所以 或 .
(2)证明: ，由 得 ；由 得 或 ，
所以 在 单调递减,在 单调递增.
当 时, ,当 时, .
若 ,取 ,则 时,结合函数 的单调性知 ;
若 ,取 ,则下面证明不等式 .
先证明如下不等式: 当 ,有 ,令 ,则 ,当 时, 递减,当 时, 递增,所以 ,即 ,
变形得: ,即 .
故当 时,结合函数 单调性可知 .
(3)由函数 的单调性可知
且满足 ,相减得 ,所以
下证不等式 成立,即证 ,
令 ,只需证 时, 成立,
即证 时, ,
令 在 递减,
故 ,故 ,则 .
故要证 ,只需证 ,即证
又因为 ,则 ,所以 ,
又 ,所以
故只需证 ,
令 ,设函数 ,
所以 在 上递增,在 上递减. 所以
所以只需证明 ,去分母整理得只需证明
令 ,则 ,故
所以 在 上单调递增,而 ,所以
所以 ,即 .奥数迷
非奥数迷
总计
男
24
36
60
女
12
28
40
总计
36
64
100
0.1
0.05
0.01
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828