福建省漳州市台商投资区2025-2026学年九年级上学期期中卷数学试卷（学生版）

这是一份福建省漳州市台商投资区2025-2026学年九年级上学期期中卷数学试卷（学生版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请在答题纸的相应位置填涂．
1.下列方程为一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
2.若，则的值为（ ）
A.1B.C.D.
3.如图，，，，，则的长为（ ）
A.4B.3C.D.2
4.一元二次方程x=x²的解是（ ）
A.x=0B.x=1
C.x1=1,x2=0D.x1=0,x2=-1
5.如图，在中，．再添加一个条件，可以判定四边形是正方形的是（ ）
A.B.
C.D.
6.某林业局将一种树苗移植成活情况绘制成统计图，如图所示，由此可估计这种树苗移植成活的概率约为（ ）
7.两千多年前，希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，如图，点在线段上，若满足，则称点是线段的黄金分割点．黄金分割的应用很广泛，例如：在舞台上，主持人站在黄金分割点主持节目时，视觉效果最好．若舞台长25米，设主持人从点登台后至少走米可到舞台的黄金分割点上，则可列出方程为（ ）
A.B.
C.D.
8.如图，用放大镜看到多边形与原多边形相比较，不发生改变的是（ ）
A.周长
B.面积
C.每个内角度数
D.每条边的长度
9.若关于的方程有两个根，，则的值为（ ）
A.B.1C.2024D.
10.如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别交正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）
A.4B.6C.8D.10
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．请将答案填入答题纸的相应位置．
11.如图，矩形的对角线、相交于点，，则的长为__________．
12.如图，有两个转盘，转盘A被分成两等份，分别标有数字1，2，转盘B被分成三等份，分别标有数字1，2，3，转动两个转盘各一次，指针指向的数字相同的概率是__________．
13.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为________
14.如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，把线段放大后得到线段．若点， ， ， 则点 的对应点 的坐标是________.
15.如图，将一张长为，宽为的矩形纸片先从下往上对折，再从左往右对折后，沿所得矩形两邻边中点的连线剪下，再打开，得到的四边形的面积为_____．
16.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点，分别为，上的点，且，于点，连接，若，则的长为________．
三、解答题：本题共9小题，共86分．请在答题纸的相应位置解答．
17.解方程：．
18.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE并延长至点F，使EF＝DE，连接AF，DC．求证：四边形ADCF是菱形．
19.圆周率是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对有过深入的研究．有学者发现，随着小数部分位数的增加，这10个数字出现的频率趋于稳定，接近相同．
（1）从的小数部分随机取出一个数字，估计这个数字是3的正整数倍的概率为______；
（2）某校进行校园文化建设，拟从以上4位科学家的画像中随机选用2幅，求其中有一幅是祖冲之的概率．（用画树状图或列表方法求解）
20.如图，四边形中，平分，且．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
21.某校组织学生到一片荒地上进行植树活动，原计划植树8行10列，后来增加了40棵树，为了美观起见，要求增加的行数、列数相同．请问增加了多少行？
22.【学科融合】如图1，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一个平面内：反射光线和入射光线分别位于法线两侧；入射角等于反射角．这就是光的反射定律．
【问题解决】如图2，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙，木板和平面镜，手电筒的灯泡在点处，灯泡到地面的高度，手电筒的光从平面镜上点处反射后，恰好经过木板的边缘点，落在墙上的点处，点到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，木板到墙的水平距离为．图中在同一条直线上．
（1）求的长；
（2）求点到地面的高度．
23.如图，为矩形．
（1）在线段的下方，求作菱形，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，连接，，若，求证：，，三点共线．
24.根据欧几里得的《几何原本》中记载，形如的方程的图解法如下：如图，以和为两直角边长作，再在斜边上截取，则的长就是所求方程的正根．
小明同学积极思考其中的原理，并做出如下分析：
在中，，，则
，
① ．
当时， ②
，
的长就是所求方程的正根．
（1）请把所缺的内容补充完整；
（2）利用以上方法解关于的一元二次方程时，若构造后的图形满足，求的值；
（3）如图，利用以上方法解关于一元二次方程时，过点作矩形，使得点，，分别落在，，上，发现，求与之间的数量关系．
25.如图1，在矩形中，与交于点，延长至点，使得，连接，点为中点，连接，交于点，连接．

（1）求证：；
（2）如图2，是上一点，连接，且．
①求证：；
②若，，求的长．