北京市第五十五中学高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4

这是一份北京市第五十五中学高二下学期期中考试数学试卷（解析版）-A4，共16页。试卷主要包含了解答题共6小题，共85分等内容，欢迎下载使用。
高二数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知函数，当自变量x由0变到1时函数的平均变化率为（ ）
A. 0B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平均变化率的定义求解即可.
【详解】由题设，自变量x由0变到1时函数的平均变化率为.
故选：C
2. 从4名女同学和3名男同学中选1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法为（ ）
A. 12种B. 7种C. 4种D. 3种
【答案】B
【解析】
【分析】根据分类加法计数原理求得正确答案.
【详解】依题意，不同的选法为.
故选：B
3. 一物体做直线运动，其位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则时，其速度（单位：m/s）为（ ）
A. B. C. 0D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】根据瞬时速度与导数的关系求时的速度.
【详解】由题设，则，即时，其速度（单位：m/s）为2.
故选：D
4. 在某次考试中，要安排第一天五门学科的考试顺序，这五门学科分别是语文、物理、政治、地理、化学，在已知第一门考语文的条件下，安排第二门考物理的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据古典概型概率公式，即可求解.
【详解】由题意可知，已知第一门考语文，第二门考试的情况有4种，所以第二门考物理的概率是.
故选：B
5. 我校高二年级4名学生参加东城区组织的“传承诗词文化，赓续青春华章”古诗词知识竞赛，现有“唐诗”、“宋词”、“元曲”三个竞赛项目，每人限报其中的一个项目，则不同的报名方法总数为（ ）
A. 24B. 36C. 81D. 256
【答案】C
【解析】
【分析】由人选项目，分个步骤完成，根据分步乘法计数原理可求解.
【详解】每人都可以从这三个竞赛项目中选报一项，各有3种不同的报名方法．
根据分步乘法计数原理，可得不同的报名方法种数为．
故选：C
6. 函数在区间上的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数分析函数在区间上的单调性，可求出该函数的最小值.
【详解】因为，令，可得，列表如下：
所以，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因为，，
所以，函数在区间上的最小值.
故选：D.
7. 已知函数在区间上单调递增，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】问题转化为导数在区间上恒大于等于0, 即恒成立，利用导数求出的最大值即可得到答案.
【详解】因为函数在区间上单调递增，
所以其导数在该区间上恒大于等于0,
将不等式变形，得到,
令，则,
所以在区间上，，所以单调递减，
其中，在区间上的值域为，
要使在上恒成立，只需，
所以的取值范围是，
故选：C.
8. 已知，则等于（ ）
A. 32B. C. 64D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用赋值法，分别令和，得到的两式相加，即可得出答案.
详解】令，则，
令，则，
两式相加可得，，则.
故选：D.
9. 学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为p；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.4．已知王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.5，则p的值为（ ）
A. 0.6B. 0.5C. 0.4D. 0.3
【答案】A
【解析】
【分析】根据全概率公式，分别计算出第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，以及第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率，然后将这两个概率相加，即可得到王同学第二天去餐厅用餐的概率，计算求得结果.
【详解】因为只有、两家餐厅，随机选择一家，去每家的概率都是，
所以王同学第一天去餐厅的概率为
又已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为
可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：
，
同理，第一天去餐厅的概率为.
已知如果第一天去餐厅，那么第二天去餐厅的概率为
根据条件概率公式，可得第一天去餐厅且第二天去餐厅的概率为：
因为“第一天去餐厅且第二天去餐厅”与“第一天去餐厅且第二天去餐厅”
这两个事件是互斥的，
所以王同学第二天去餐厅用餐的概率为：
，解得：.
故选：A
10. 设的定义域为，若对任意实数，存在实数，，使得成立，则称满足“性质”，下列函数满足“性质”的有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题设条件，将问题转化为在上不单调，对于A，取，即可求解；对于B，根据条件得到，利用导数与函数单调性间的关系，求出单调区间，即可求解；对于C，取，得到，利用导数与函数单调性间的关系，得单调递减，即可求解；对于D，取，得到，再利用导数与函数单调性间的关系，得单调递减，即可求解
【详解】将变形为：，
令，则在上至少有2个不等实数，使得，
所以对任意的，在上不单调时，有满足“性质”，
对于选项A，，当时，，易知在上单调递增，
所以不满足“性质”，故选项A错误
对于选项B，，则，
当时，，当时，，
所以在上不单调，则满足“性质”，故选项B正确，
对于选项C，，
当时，，则，此时在上单调递减，
则不满足“性质”，所以选项C错误，
对于选项D，，当时，，
则，此时在上单调递减，则不满足“性质”，所以选项D错误，
故选：B
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 已知函数，则=______．
【答案】1
【解析】
【分析】求导，代入求值即可.
【详解】由题意，，所以.
故答案为：1.
12. 在展开式中，的系数是______．（用数字作答）
【答案】40
【解析】
【分析】根据二项展开式的通项公式，即可求解.
【详解】展开式的通项公式为，令，则项的系数为.
故答案为：40
13. 志愿服务小组共8人，其中男生5人、女生3人，现从中选出3名男生和2名女生参加某项志愿服务工作，则不同的选法总数为______．（用数字作答）
【答案】30
【解析】
【分析】根据男生选3人，女生选2人，结合组合数的运算求解即可.
【详解】志愿服务小组共8人，其中男生5人、女生3人，
中选出3名男生和2名女生参加某项志愿服务工作，
则男生选3人，女生选2人，不同的选法总数为，
故答案为：
14. 现有高中数学人教A版必修第一册、必修第二册、选择性必修第一册、选择性必修第二册、选择性必修第三册教材各1本．若把这5本教材从左到右放置书架的某一层内（该层无其他书籍），如果必修第一册与必修第二册相邻，则不同的放法共有______种；如果必修第一册与必修第二册相邻且必修第一册与选择性必修第三册不相邻，则不同的放法共有______种．（用数字作答）
【答案】 ①. 48 ②. 36
【解析】
【分析】利用捆绑法计算第一问，利用间接法计算第二问.
【详解】若必修一与必修二相邻，则这两本书看成一个元素，则不同的方法有种方法；
若必修一与必修二和必修三都相邻，则这三本书看成一个元素，必修一在中间，则有种方法，
根据间接法，满足条件的方法种数为种方法.
故答案为：48；36
15. 已知关于x的不等式恒成立，给出下列四个结论：
①当时，b的最大值为0；
②当时，a的最小值为e；
③在所有符合题意的a，b中，的最大值为e；
④在所有符合题意的a，b中，的最小值为．
其中正确结论的序号是______．
【答案】①③④
【解析】
【分析】根据题设分别构造、，并利用导数研究最值及不等式恒成立判断①②；由题设恒成立，令并应用导数求最值得到且，进而有、且，利用导数求不等式右侧的最值判断③④.
【详解】当，则，令，则，
当，则，故在上单调递减，
当，则，故在上单调递增，
所以，即，其最大值为0，①对；
当，则恒成立，令，则，
当时，，则R上单调递增，而，不符合；
当时，有，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，若，则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减，
所以，即时恒成立，②错；
由题设恒成立，令，则，
当，，则在R上单调递增，
当时，故不恒成立，
当，时，时，
所以在上单调递减，在上单调递增，即，
所以且，
且，令，则，
当，，在上单调递增，
当，，在上单调递减，
所以，即，当时，取到最大值，③对；
且，令，则，
当，，在上单调递减，
当，，在上单调递增，
所以，即，当时，取到最小值，④对；
故答案为：①③④
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
16. 已知函数（为常数），曲线在点处的切线平行于直线.
（1）求函数的解析表达式；
（2）求函数的极值.
【答案】（1）
（2）极大值为，极小值为
【解析】
【分析】（1）求导，由求得的值，得解；
（2）利用导数判断单调性，求出极值.
【小问1详解】
根据题意，，则，
解得，
.
【小问2详解】
由（1），
令，解得或，
令，解得，
所以当或时，单调递增，当时，单调递减，
所以当时，取得极大值，极大值为，
当时，取得极小值，极小值为.
17. A、B两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人．
（1）求选出的2人来自不同家庭的概率；
（2）在选出的第1个人来自A家庭的条件下，求第2个人也来自A家庭的概率；
（3）若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，求最终游戏成功的概率．
【答案】（1）
（2）
（3）0.42
【解析】
【分析】（1）根据古典概型公式，结合组合数公式，即可求解；
（2）根据题意，转化为样本空间法求概率；
（3）根据（1）的结果，转化为全概率公式，即可求解.
【小问1详解】
设“选出的2人来自不同家庭”为事件C，则；
【小问2详解】
设“选出的第1个人来自A家的条件下，第2个人也来自A家”为事件D，则；
【小问3详解】
由（1）知，选出的2人来自不同家庭的概率为0.6，所以选出的2人来自同一家庭的概率为0.4，
所以由全概率公式得最终游戏成功的概率为．
18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为的正方形，，，分别为和的中点．
（1）求证：平面；
（2）若已知点到平面的距离2．从条件①，条件②中选择一个作为已知，求直线与平面所成角的正弦值．
条件①：平面平面；
条件②：．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，构造平行四边形，即可证明；
（2）若选择条件①，根据面面垂直，转化为线线垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角；若选择条件②，根据等腰三角形的性质，同样可以建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角.
【小问1详解】
取中点，连接，，
因为，分别为，中点，
所以，，
因为底面是正方形，为中点，
所以，，
所以，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又在外，在平面内，
所以平面；
【小问2详解】
连接与交于点O，连接，因为是正方形，所以是，的中点，
选条件①：因为，O是AC的中点，所以，
又因为平面平面ABCD，交线是AC，所以平面ABCD，
所以，且，
又，所以，分别以OC，OD，OPx，y，z轴建立空间直角坐标系，
由已知可得，，，，，，
所以，，，
设平面MCD的一个法向量为，
则，取，，所以，
设直线与平面MCD所成角为，
所以．
选条件②：因为，，O是，的中点，所以，，
又，所以平面ABCD，所以，又，所以，分别以OC，OD，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，以下同条件①．
19. 已知点为椭圆E：的右端点，椭圆E的离心率为，不经过点A的直线l：与椭圆交于B、C两点，直线AB、AC分别与y轴交于M、N两点．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）如果线段MN的中点的纵坐标等于，那么直线l是否经过定点？如果是，求出该定点的坐标，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）
（2）直线l经过定点．
【解析】
【分析】（1）根据题意列方程，再结合，解方程得到，，，即可得到椭圆方程；
（2）根据直线AB、AC的方程得、，结合韦达定理化简得+，联立直线方程和椭圆方程得到+，，化简可得，进而得出结果.
【小问1详解】
由已知得，离心率，
所以，，
所以椭圆E的方程为；
【小问2详解】
设，，所直线AB的方程为，令得，
同理可得，所以，即，
所以，，
所以，
化简得，（*）
由，得，
由，得，即，
所以，，
代入等式（*）化简得，，
所以，所以或，
当时，直线l的方程为，经过点，不合题意，
当时，直线l的方程为，经过定点，
所以直线l经过定点．
20. 设函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）证明：在区间内单调递增；
（3）若关于x的不等式在区间内恰有一个整数解，直接写出k的取值范围．
【答案】（1）
（2）证明见解析 （3）．
【解析】
【分析】（1）先求导数代入切点横坐标可得切线斜率，然后利用点斜式可得切线方程；
（2）只需证明在上恒成立，根据和，依次判断即可得出结果；
（3）设，，当时满足不等式，时不满足不等式，计算即可得出结果.
【小问1详解】
因为，，
所以，又，所以切线方程为；
【小问2详解】
，，
当时，，，所以，
当时，，又，所以，
所以，所以在区间内单调递增；
【小问3详解】
由洛必达法则可知，，
由（2）可知，在区间内单调递增，因为恒过点，画出的草图，如图所示，
设，，
，，
要使得在区间内恰有一个整数解.
只需满足
由得；由得.
所以的取值范围是 .
21. 悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过建立坐标系，悬链线可表示为双曲余弦函数的图象．现定义双曲正弦函数，回答以下问题：
（1）分别求和的导函数；
（2）分别求和的单调区间；
（3）如果对任意，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1），；
（2）的增区间为，减区间为；的增区间为，无减区间；
（3）．
【解析】
【分析】（1）根据导数计算公式，即可求解；
（2）根据（1）的结合，判断导数的正负，即可求解函数的单调区间；
（3）首先根据不等式shx−ax>0，构造函数，，根据的单调性，讨论的最小值的正负，即可判断不等式是否成立，从而得到实数的取值范围.
【小问1详解】
，；
【小问2详解】
，
所以当时，，当时，chx′>0，
所以的增区间为，减区间为；
当时，shx′>0，
所以的增区间为，无减区间；
【小问3详解】
，shx>ax⇔shx−ax>0，
令，，则，
由（2）知在上递增，所以在上递增，
所以f′x>f′0=1−a，
当即时，，在上递增，所以，
即，；
当即时，，f′ln2a=14a>0，所以存在唯一的，
使得，且当时，，在上递减，所以，
即，不合题意，
综上所述，a的取值范围是．
增
极大值
减
极小值
增