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北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版）
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这是一份北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（原卷版+解析版），文件包含北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题原卷版docx、北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共20页， 欢迎下载使用。
行政班__________教学班__________姓名__________学号__________
试卷说明：试卷分值150，考试时间120 分钟.
Ⅰ卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1. 函数在处的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，从而得解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：A
2. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由数列中与的关系代入数值计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选：D.
3. 已知随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：C
4. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A. 0.06B. 0.38C. 0.56D. 0.94
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意按一个预报准确一个预报不准确分两类计算即可.
【详解】解：由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：
，
故选：B.
5. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可求出的坐标，最后还需检验.
【详解】设，由，可得，
则，
依题意可得，解得或，
所以或，
当时切线，符合题意；
当时切线为，符合题意.
综上可得或.
故选：B
6. 若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解
【详解】因为等差数列满足，，所以，，即等差数列的前10项为正数，从11项开始为负数，故当的前项和最大时，，
故选：A
7. 某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数几何意义结合题意可判断.
【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大，
结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，
结合图象可知，故B正确，
故选：B.
8. 在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
【详解】设事件 “第次抽到社会学题目”，事件 “第次抽到艺术学题目”，
所以，，
所以．
故选：D．
9. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：，），则此方案可获得净利润为（ ）万元
A. 16.7B. 25.9C. 33.8D. 43.9
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意由等比数列的求和公式求出10年获得的利润，再减去银行获得的复利可得结果.
【详解】由题意可得10年获得的利润为
万元，
到期时银行的本息和为万元，
所以净利润为.
故选：D.
10. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数：
① ② ③ ④
中是“保等比数列函数”的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果.
【详解】由等比数列性质知，且，
对于①，，
，
所以与不一定相等，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，故④错误；
故正确的有②③.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保等比数列函数”的定义，利用等比中项的性质判断.
Ⅱ卷
二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）
11. 掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出的点数为6，
则基本事件的总数为个，分别为，，，， ，；
其中两枚骰子掷出点数之和不小于10包含的基本事件为， ，；
共有个，所以两枚骰子掷出点数之和不小于10的概率为.
故答案为：
12. 已知随机变量，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得.
【详解】因为，所以，，
即，所以.
故答案为：
13. 数列中为的前n项和，若，则_______.
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．
考点：等比数列的概念及等比数列求和．
14. 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.
【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，
前27项和为：＝3402.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15. 已知数列的第n项为最接近的整数．若数列的前m项和为10，则______．
【答案】30
【解析】
【分析】由题意可得数列中，有2个1，4个2，,6个3，进而得到在数列中，，从而得到是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，最后用基本量法求和即可.
【详解】因为数列的第n项为最接近的整数，
所以，
所以在数列中，有2个1，4个2，,6个3，
所以在数列中，
则，
又前m项和为10，
所以，
所以是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，
则，
故答案为：30.
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据“数列的第n项为最接近的整数”发现规律为数列中，有2个1，4个2，,6个3，.
三、解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置．）
16. 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下：
甲
乙
现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由．
【答案】甲
【解析】
【分析】由期望和方差公式分别求出甲乙运动员的期望和方差，再做比较即可.
【详解】甲的期望，
方差；
乙的期望，
方差；
因为甲、乙的期望相等，而方差甲小于乙，
所以甲成绩比较稳定，
所以派甲运动员参加比较好.
17. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）利用古典概率公式求解即可；
（2）由题意可得，的可能取值为，再利用二项分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，再用期望公式求出期望即可；
【小问1详解】
设事件表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐有天，
用频率估计概率，
所以，；
【小问2详解】
由题意可知，，
的可能取值为，
则；；
；；
，
所以的分布列为：
所以.
18. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
（1）利用导数定义求函数的导数；
（2）求直线、的方程．
【答案】（1）
（2）：；：
【解析】
【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得；
（2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程.
【小问1详解】
因为，
所以；
小问2详解】
点满足曲线，即为直线的切点，
直线的斜率为，
故直线的方程为，即；
又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则，
因为，所以，解得，所以，
即切点为，切线的斜率为，
故的方程为，即．
19. 已知是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为.又______，且，是否存在大于1的正整数k，使得？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】存在，
【解析】
【分析】若选①，结合以及等差数列前n项和公式求出，再由即可求出k的值；若选②，同理可求出k的值.
【详解】若选①，则由题，
又，所以，，
所以，
令，即，解得或，
故存在大于1的正整数，使得.
若选②，则由题，
又，所以，，
所以，
令，即，解得或，
故存在大于1的正整数，使得.
20. 2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京35中的某老师在高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：
（1）从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；
（2）在高一2班前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；
（3）在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）求出两个班级这6天应交作业的总人次和未交作业的人次，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得出随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）根据方差的性质和数据的波动性，即可得到结论.
【小问1详解】
解：两个班级这6天应交作业的总人次为，
未交作业的人次为，
所以从两个班级所有人中，随机抽取1人，其未交作业的概率为.
【小问2详解】
解：根据题意知，2班前三天由2人连续三天未交作业，3人只有一天未交作业，
所以随机变量的可能取值为，
又5人中3人有种抽法，
所以，
所以的分布列为：
所以，期望为.
【小问3详解】
解：根据数据方差的性质，可得：
1班交作业的人数数据的方差为，没交作业的人数数据的方差为，可得；
2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，可得，
根据表格中的数据，可得1班数据的波动性更大一些，所以.
21. 已知数列满足，，，且．记集合．
（1）若，求集合中元素的个数；
（2）①求证：，．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
（3）求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
【答案】（1）7 （2）证明见解析
（3）7；6
【解析】
【分析】（1）利用，，求出集合所有元素，从而得到答案；
（2）①根据递推关系结合数学归纳法，即可证明；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，由于，可归纳证明对任意，是3的倍数；
（3）分为3的倍数和不是3的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值.
【小问1详解】
若，由于，，
所以，，，，，，
故集合的所有元素为：，，10，2，4，8，16，所以集合中元素的个数为7个；
【小问2详解】
①因为数列满足，，，且，
所以当时，，满足条件，
假设时，成立，
当时，由于，得，
因为，
当，，则，成立，
当时，，所以，则也成立，
因此当时，也成立，
故，；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，
由于，
如果，则集合中所有元素都是3的倍数；
如果，因为或，所以是3的倍数，则是3的倍数；
类似可得，都是3的倍数；同理都是3的倍数，
从而对任意，是3的倍数；
综上，若集合中存在一个元素是3的倍数，则中所有元素都是3的倍数；
【小问3详解】
由(2)证明可知，，，
因为为正整数，,所以为的倍数，
从而当时，为2的倍数，
①如果为的倍数，由(2)知，对，为3的倍数，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，则 的元素个数为1
当为的倍数，集合的元素个数不超过3个，
②如果不的倍数，由(2)知，对，不是3的倍数，
因此当时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，这时集合的元素个数不超过7个，
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7；
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7，
当时，由于时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，所以集合的元素个数不超过6个，
同理可知当的值为4，或8，或10，或14，或16时，集合的元素个数不超过6个
综上可知，集合的元素个数的最大值为7，及元素个数最大时不同的个数为6.X
0
1
2
P
0.1
0.8
0.1
X
0
1
2
P
0.4
0.2
0.4
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲同学
9天
6天
12天
3天
乙同学
6天
6天
6天
12天
0
1
2
3
4
班级/天
1
2
3
4
5
6
1班（人数）
25
25
20
21
22
21
2班（人数）
27
26
25
24
25
22
1
2
3
行政班__________教学班__________姓名__________学号__________
试卷说明：试卷分值150，考试时间120 分钟.
Ⅰ卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1. 函数在处的导数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出函数的导函数，从而得解.
【详解】因为，所以，所以.
故选：A
2. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】由数列中与的关系代入数值计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选：D.
3. 已知随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据二项分布的概率公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：C
4. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A. 0.06B. 0.38C. 0.56D. 0.94
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意按一个预报准确一个预报不准确分两类计算即可.
【详解】解：由题可得一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是：
，
故选：B.
5. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，求出函数的导函数，利用导数的几何意义得到方程，求出，即可求出的坐标，最后还需检验.
【详解】设，由，可得，
则，
依题意可得，解得或，
所以或，
当时切线，符合题意；
当时切线为，符合题意.
综上可得或.
故选：B
6. 若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A. 10B. 11C. 12D. 13
【答案】A
【解析】
【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解
【详解】因为等差数列满足，，所以，，即等差数列的前10项为正数，从11项开始为负数，故当的前项和最大时，，
故选：A
7. 某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由导数几何意义结合题意可判断.
【详解】由运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高，即为逐渐变大，
结合导数的几何意义可得曲线上的点的切线斜率应该逐渐增大，
结合图象可知，故B正确，
故选：B.
8. 在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，由条件概率的计算公式，代入计算，即可得到结果．
【详解】设事件 “第次抽到社会学题目”，事件 “第次抽到艺术学题目”，
所以，，
所以．
故选：D．
9. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：，），则此方案可获得净利润为（ ）万元
A. 16.7B. 25.9C. 33.8D. 43.9
【答案】D
【解析】
【分析】结合题意由等比数列的求和公式求出10年获得的利润，再减去银行获得的复利可得结果.
【详解】由题意可得10年获得的利润为
万元，
到期时银行的本息和为万元，
所以净利润为.
故选：D.
10. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数：
① ② ③ ④
中是“保等比数列函数”的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项性质，依次验证各个选项是否满足，则可得结果.
【详解】由等比数列性质知，且，
对于①，，
，
所以与不一定相等，故①错误；
对于②，，故②正确；
对于③，，故③正确；
对于④，，故④错误；
故正确的有②③.
故选：B
【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是理解“保等比数列函数”的定义，利用等比中项的性质判断.
Ⅱ卷
二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）
11. 掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意求得基本事件的总数和所求事件包含基本事件的个数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解.
【详解】由题意，同时抛掷两枚均匀的骰子，已知第一枚掷出的点数为6，
则基本事件的总数为个，分别为，，，， ，；
其中两枚骰子掷出点数之和不小于10包含的基本事件为， ，；
共有个，所以两枚骰子掷出点数之和不小于10的概率为.
故答案为：
12. 已知随机变量，若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二项分布的期望和方差公式计算可得.
【详解】因为，所以，，
即，所以.
故答案为：
13. 数列中为的前n项和，若，则_______.
【答案】6
【解析】
【详解】试题分析：由题意得，因为，即，所以数列构成首项，公比为的等比数列，则，解得．
考点：等比数列的概念及等比数列求和．
14. 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】由题意可知每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，据此确定第二十七环的扇面形石块数和上、中、下三层坛所有的扇面形石块数即可.
【详解】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，
则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列，
所以，an＝9＋（n－1）×9＝9n，
所以，a27＝9×27＝243，
前27项和为：＝3402.
【点睛】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列的前n项和及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
15. 已知数列的第n项为最接近的整数．若数列的前m项和为10，则______．
【答案】30
【解析】
【分析】由题意可得数列中，有2个1，4个2，,6个3，进而得到在数列中，，从而得到是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，最后用基本量法求和即可.
【详解】因为数列的第n项为最接近的整数，
所以，
所以在数列中，有2个1，4个2，,6个3，
所以在数列中，
则，
又前m项和为10，
所以，
所以是首项为2，公差为2的等差数列的前5项和，
则，
故答案为：30.
【点睛】关键点点睛：本题关键是根据“数列的第n项为最接近的整数”发现规律为数列中，有2个1，4个2，,6个3，.
三、解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置．）
16. 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下：
甲
乙
现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由．
【答案】甲
【解析】
【分析】由期望和方差公式分别求出甲乙运动员的期望和方差，再做比较即可.
【详解】甲的期望，
方差；
乙的期望，
方差；
因为甲、乙的期望相等，而方差甲小于乙，
所以甲成绩比较稳定，
所以派甲运动员参加比较好.
17. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望.
【答案】（1）；
（2）分布列见解析；
【解析】
【分析】（1）利用古典概率公式求解即可；
（2）由题意可得，的可能取值为，再利用二项分布的概率公式求出相应的概率，列出分布列，再用期望公式求出期望即可；
【小问1详解】
设事件表示“一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐”，事件表示“乙同学午餐选择A餐厅就餐”，
因为30天中，甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的有3天，乙同学午餐选择A餐厅就餐有天，
用频率估计概率，
所以，；
【小问2详解】
由题意可知，，
的可能取值为，
则；；
；；
，
所以的分布列为：
所以.
18. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
（1）利用导数定义求函数的导数；
（2）求直线、的方程．
【答案】（1）
（2）：；：
【解析】
【分析】（1）结合导数的定义及极限的运算性质计算可得；
（2）结合（1）求出直线的斜率，即可求出直线的方程，设的切点为，利用导数的几何意义及两直线垂直斜率之积为，求出，从而得到切点坐标，再由点斜式求出切线方程.
【小问1详解】
因为，
所以；
小问2详解】
点满足曲线，即为直线的切点，
直线的斜率为，
故直线的方程为，即；
又为该曲线的另一条切线，设该切点为，则，
因为，所以，解得，所以，
即切点为，切线的斜率为，
故的方程为，即．
19. 已知是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为.又______，且，是否存在大于1的正整数k，使得？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
【答案】存在，
【解析】
【分析】若选①，结合以及等差数列前n项和公式求出，再由即可求出k的值；若选②，同理可求出k的值.
【详解】若选①，则由题，
又，所以，，
所以，
令，即，解得或，
故存在大于1的正整数，使得.
若选②，则由题，
又，所以，，
所以，
令，即，解得或，
故存在大于1的正整数，使得.
20. 2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京35中的某老师在高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：
（1）从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；
（2）在高一2班前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；
（3）在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）求出两个班级这6天应交作业的总人次和未交作业的人次，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解；
（2）根据题意，得出随机变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解；
（3）根据方差的性质和数据的波动性，即可得到结论.
【小问1详解】
解：两个班级这6天应交作业的总人次为，
未交作业的人次为，
所以从两个班级所有人中，随机抽取1人，其未交作业的概率为.
【小问2详解】
解：根据题意知，2班前三天由2人连续三天未交作业，3人只有一天未交作业，
所以随机变量的可能取值为，
又5人中3人有种抽法，
所以，
所以的分布列为：
所以，期望为.
【小问3详解】
解：根据数据方差的性质，可得：
1班交作业的人数数据的方差为，没交作业的人数数据的方差为，可得；
2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，可得，
根据表格中的数据，可得1班数据的波动性更大一些，所以.
21. 已知数列满足，，，且．记集合．
（1）若，求集合中元素的个数；
（2）①求证：，．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
（3）求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．
【答案】（1）7 （2）证明见解析
（3）7；6
【解析】
【分析】（1）利用，，求出集合所有元素，从而得到答案；
（2）①根据递推关系结合数学归纳法，即可证明；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，由于，可归纳证明对任意，是3的倍数；
（3）分为3的倍数和不是3的倍数讨论，即可求得集合的元素个数的最大值.
【小问1详解】
若，由于，，
所以，，，，，，
故集合的所有元素为：，，10，2，4，8，16，所以集合中元素的个数为7个；
【小问2详解】
①因为数列满足，，，且，
所以当时，，满足条件，
假设时，成立，
当时，由于，得，
因为，
当，，则，成立，
当时，，所以，则也成立，
因此当时，也成立，
故，；
②因为集合中存在一个元素是3的倍数，所以不妨假设是3的倍数，
由于，
如果，则集合中所有元素都是3的倍数；
如果，因为或，所以是3的倍数，则是3的倍数；
类似可得，都是3的倍数；同理都是3的倍数，
从而对任意，是3的倍数；
综上，若集合中存在一个元素是3的倍数，则中所有元素都是3的倍数；
【小问3详解】
由(2)证明可知，，，
因为为正整数，,所以为的倍数，
从而当时，为2的倍数，
①如果为的倍数，由(2)知，对，为3的倍数，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，则 的元素个数为2，
当时，则，，，则 的元素个数为3，
当时，则，则 的元素个数为1
当为的倍数，集合的元素个数不超过3个，
②如果不的倍数，由(2)知，对，不是3的倍数，
因此当时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，这时集合的元素个数不超过7个，
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7；
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7
当时，则，，，，，，，则 的元素个数为7，
当时，由于时，可能的取值为：2，4，8，10，14，16，所以集合的元素个数不超过6个，
同理可知当的值为4，或8，或10，或14，或16时，集合的元素个数不超过6个
综上可知，集合的元素个数的最大值为7，及元素个数最大时不同的个数为6.X
0
1
2
P
0.1
0.8
0.1
X
0
1
2
P
0.4
0.2
0.4
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲同学
9天
6天
12天
3天
乙同学
6天
6天
6天
12天
0
1
2
3
4
班级/天
1
2
3
4
5
6
1班（人数）
25
25
20
21
22
21
2班（人数）
27
26
25
24
25
22
1
2
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