北京市第四中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市第四中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）-A4，共17页。试卷主要包含了 已知集合，那么， 下列命题中，真命题是， 已知，则， 如图，在中，点满足，， 已知，则“”是“”的， 正交数组的概念在现代广泛应用等内容，欢迎下载使用。
试卷满分150分，考试时间120分钟
一､填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，那么（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】解不等式可化简集合B，然后由交集定义可得答案.
【详解】，则，
故.
故选：D
2. 下列命题中，真命题是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据指数函数的性质和向量的运算性质判断各选项即可.
【详解】选项A：因，故A错误；
选项B：当时，，故B错误；
选项C，D：当且仅当，同向时，，
当，反向时，，故C正确，D错误.
故选：C.
3. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】ACD由做差法可判断选项正误；B由对数函数单调性可判断选项正误.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，函数在0,+∞上单调递增，又因与1的大小未知，则B不一定正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
故选：C.
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据偶函数定义与单调性逐一判断即可.
【详解】对于选项A：函数定义域为，因为，所以是奇函数，故A错误；
对于选项B：函数定义域为R，，函数为偶函数，
当时，， 在区间上单调递减，故B正确；
对于选项C：当时，，单调递增，故C错误；
对于选项D：在区间上单调递增，故D错误
故选：B
5. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）
A.
B.
C.
D. 95
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率分布直方图分别求出成绩在，的频率，进而得解.
【详解】根据频率分布直方图可知，成绩在的频率为
成绩在的频率为，
又，所以40%成绩较高的学生的分数在之间，且最低分数为
故选：C
6. 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由指数函数与对数函数的单调性，利用中间值法，可得答案.
【详解】由在0,+∞上单调递增，则，即；
由在上单调递增，则，即；
由在上单调递减，则，即.
综上可得.
故选：A.
7. 如图，在中，点满足，.若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据向量加减法的几何表示和平面向量的基本基本定理可得.
【详解】，
故，，，
故选：A
8. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】AD通过分析符号可完成判断；
B由基本不等式可判断选项正误；
C由做差法可判断选项正误.
【详解】对于A，因，则同号，但由题不能判断同为正或同为负，
当为负数时，，则A错误；
对于B，，当且仅当，即时，取等号，故B正确
对于C，，故C错误；
对于D，由A分析，当为负数时，，则D错误；
故选：B
9. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分性和必要性两个方面判断可得.
【详解】对于，若，则，此时，得不到;
由得，
当时，由得，又，故，故，
当时，由得，又，故，故，
故由得不到.
故选：D
10. 正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】不妨设，则中其他元素包含2个1和2个，最多共有6个元素，又，，三组元素不正交，所以6个元素中最多只有3个元素在中，即可得到答案.
【详解】不妨设，
由，则中最多包含6个元素，
又，，三组元素不正交，
所以6个元素中最多只有3个元素在集合中，如，
若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是.
故选：C.
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是__________.
【答案】
【解析】
【分析】由分式，对数式可得函数定义域.
【详解】由题，或.
则函数的定义域是.
故答案为：
12. 向量满足，其中，那么__________，__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】第一空，由向量平行坐标表示可得答案；第二空，向量模长坐标计算公式可得答案.
【详解】因向量满足，则；
则.
故答案：；.
13. 若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】由对数运算性质可得答案.
【详解】因，则
.
故答案为：.
14. 已知函数.若图像恒在轴下方，则的取值范围是__________；设的值域为，若，则的取值范围是__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】先对函数在每一段上分别讨论，最后再求交集即可；因为，只需函数最大值大于等于2即可，再由对k分情况讨论即可.
【详解】答题空1：若图像恒在轴下方，则恒成立，
当时，，只需，
当时，，，只需，即；
综上：的取值范围是
答题空2：当时，；
当时，
若即时，在上单调递减，，
此时；
若即时，区间上单调递增，在区间上单调递减，
故在处取得最大值，此时；
要使，只需,此时无解；或者k>0k24≥2，解得
故答案为：；
15. 已知，函数.
①当时，在上单调递减；
②当时，在上单调递增；
③若在定义域内的最小值为0，则；
④若在上的最大值是5，则实数的取值范围为.
以上结论中，所有正确结论的序号是__________.
【答案】②③④
【解析】
【分析】对于①②，根据基本不等式可得给定区间上绝对值内的取值范围，可得函数解析式，利用对勾函数的单调性，可得答案；
对于③，根据函数的绝对值，在不同分段上，利用基本不等式，求得最值，可得答案；
对于④，根据对勾函数的性质，求得给定区间上的值域，利用分类讨论思想，可得答案.
【详解】①由，则，令，
当时，由，当且仅当x=2时，等号成立，
且易知在上单调递减，
当时，，则，
所以在上单调递减；
当时，，则，
所以在上单调递增，故①错误.
②当时，由，当且仅当，等号成立，
易知在上单调递减，即，
由a>0可得，则在上单调递增，故②正确.
③由题意可得，则，即，
当x>0时，由，当且仅当x=2时，等号成立，
则，当且仅当x=2时，等号成立；
当时，由，当且仅当，等号成立，
由题意可得，则，解得，故③正确.
④当时，由，当且仅当x=2时，等号成立，
易知在上单调递减，在上单调递增，，
当时，易知，则，
由题意可知，解得，不合题意；
当时，当，即时，易知，
则，由题意可知，解得，不合题意；
当时，当，即时，易知，
则，符合题意，解得；
当时，易知，则，符合题意.
综上可得，故④正确.
故答案：②③④.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集：
（2）设图像与直线的交点坐标为，求的值；
（3）用单调性定义证明：在上单调递增.
【答案】（1）或
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）将不等式转化为分式不等式可得答案；
（2）化简方程，然后由韦达定理可得答案；
（3）由单调性定义可完成证明.
【小问1详解】
fx>2x⇒2x−3x+5>2x⇒5x−3x>0⇒x5x−3>0，
则不等式解集为或x>35；
【小问2详解】
，
注意到判别式，由韦达定理，.
则.
【小问3详解】
证明：，
，
因，则x1−x20，
则，即在0,+∞上单调递增.
17. 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下：
（1）从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率；
（2）从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率；
（3）试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）
【答案】（1）
（2）
（3）甲数据方差大于乙数据方差.
【解析】
【分析】（1）（2）由空气质量指数与空气质量等级对应关系，结合茎叶图，古典概型的概率公式可得答案；
（3）由方差定义可得答案；
【小问1详解】
由题，在甲的5个数据中，数据对应空气质量等级为良的有3个.
设甲的5个数据分别为，
数据对应空气质量等级为良的为，
则任取两个数据的情况有：，
共10种情况，
满足题意的有，共6种情况.
则对应概率为；
【小问2详解】
设甲的5个数据分别为，
数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为，
数据对应空气质量等级为轻度污染的为，
设乙的5个数据分别为，
其中数据对应空气质量等级为优的为，数据对应空气质量等级为良的为.
则从甲城市和乙城市的数据中分别取1个的情况有：
共25种情况，
满足题意的有：
，共11种情况，
则对应概率为.
【小问3详解】
由茎叶图可得乙的数据更为集中，则甲数据方差大于乙数据方差.
18. 设函数
（1）若，求实数a的值;
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论;
（3）若对于恒成立，求实数m的最小值.
【答案】（1）；（2）奇函数，证明见解析；（3）.
【解析】
【分析】
（I）代入，得到，由此求解出的值，即可求解出的值；
（II）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算的数量关系，由此完成证明；
（III）先求解出在上的最大值，再根据求解出的最小值.
【详解】（I）因为，所以，所以且，
所以，所以；
（II）为奇函数，证明如下：
因为，所以定义域为关于原点对称，
又因为，所以为奇函数；
（III）因为，
又因为在上递增，所以在上递减，所以，
又因为对于恒成立，所以，所以，
所以的最小值为.
【点睛】思路点睛：判断函数的奇偶性的步骤如下：
（1）先分析的定义域，若定义域不关于原点对称，则为非奇非偶函数，若的定义域关于原点对称，则转至（2）；
（2）若，则为偶函数；若，则为奇函数.
19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.在三次传输中，收到的信号需要译码.译码规则如下：三次传输时，收到的信号中若出现连续两个0，则译码为0，其余情况译码为1.例如，若依次收到，则译码为0.
（1）若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号仍为“”的概率；
（2）若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号数字之和为2的概率；
（3）若采用三次传输，求发送“0”后译码仍为“0”的概率.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）利用分步计数原理即可计算出结果.
（2）首先给收到的信号分情况：与与，对三种情况分别求概率再相加即可.
（3）采用三次传输，发送“0”后译码仍为“0”的情况分为：、、，求出三种情况的概率再相加即可.
【小问1详解】
记事件A=“依次发送“”，求收到信号仍为“”，
则.
【小问2详解】
依次发送“”，收到信号数字之和为2分为：、、；
设事件B=“依次发送“”，收到信号数字为”，
设事件C=“依次发送“”，收到信号数字为”，
设事件D=“依次发送“”，收到信号数字为”，
设事件E=“依次发送“”，收到信号数字之和为2”，
则,
,
,
.
【小问3详解】
采用三次传输，发送“0”后,译码仍为“0”的情况为“、、”；
设事件F=“采用三次传输，发送“0”后, 收到信号数字为”,
设事件G=“采用三次传输，发送“0”后, 收到信号数字为”,
设事件H=“采用三次传输，发送“0”后, 收到信号数字为”,
设事件W=“ 采用三次传输，发送“0”后, 译码仍为“0”，
，,
.
20. 已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为6，求实数的值；
（3）通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：.
【答案】（1）
（2）或
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据对数函数的单调性和定义域解对数不等式；
（2）将问题转化为在上最大值为6，进而可得；
（3）利用，分别赋值，即可证.
【小问1详解】
由题意函数的定义域为，的定义域为0,+∞，
由得lg4x+2>lg2x=lg4x2，
故，得，
又，故的取值范围为0,2.
【小问2详解】
设，因，故，
则，
当，即时，当时，取得最大值6，故，得，
当即时，当时，取得最大值6，故，得，
故实数的值为或.
【小问3详解】
当时，.试利用上述结论证明：，
，
当时，由可得，故，
当时，由可得故，
故.
21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.
（1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若为集合的“相关数”，证明：；
（3）给定正整数.求集合“相关数”的最小值.
【答案】（1）5不是集合的“相关数”，6是集合的“相关数”，理由见解析；
（2）证明见解析； （3）
【解析】
【分析】（1）根据相关数的定义判断，即可求解；
（2）根据相关数的定义，得到时，一定不是集合的“相关数”，得到，从而证明结论；
（3）根据，将集合的元素分成组，对的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，不妨设与无相同元素，此时这4个元素之和为，从而求出的最小值．
【小问1详解】
解：当时，，
①对于的含有5个元素的子集，
因为，所以5不是集合的“相关数”；
②的含有6个元素的子集只有，
因为，所以6是集合的“相关数”．
【小问2详解】
考察集合的含有个元素的子集，
中任意4个元素之和一定不小于，
所以一定不是集合的“相关数”；
所以当时，一定不是集合的“相关数”，
因此若为集合的“相关数”，必有，
即若为集合的“相关数”，必有.
【小问3详解】
由（2）得，
先将集合的元素分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
再将集合的元素剔除和后，分成如下组：，
对于的任意一个含有个元素的子集，必有三组同属于集合，
这一组与上述三组中至少一组无相同元素，
不妨设与无相同元素，
此时这4个元素之和，
所以集合的“相关数”的最小值为.
【点睛】思路点睛：数学中的新定义题目解题策略：①仔细阅读，理解新定义的内涵；②根据新定义，对对应知识进行再迁移，对于第二问，利用特例排除的情况即可证明；第三问，将集合的元素两两分组结合第二问的结论分析即可.
空气质量指数
300以上
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染