北京市第四中学高一上学期期末考试数学试题（原卷版）-A4

这是一份北京市第四中学高一上学期期末考试数学试题（原卷版）-A4，共4页。试卷主要包含了 已知集合，那么， 下列命题中，真命题是， 如图，在中，点满足，， 已知，则“”是“”的， 正交数组的概念在现代广泛应用， 已知函数等内容，欢迎下载使用。
试卷满分150分，考试时间120分钟
一､填空题：本大题共10小题，每小题4分，共40分
1. 已知集合，那么（ ）
A. B.
C. D.
2. 下列命题中，真命题是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如果，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 为普及冬奥知识，某校在各班选拔部分学生进行冬奥知识竞赛． 根据参赛学生的成绩，得到如图所示的频率分布直方图． 若要对40%成绩较高的学生进行奖励，则获奖学生的最低成绩可能为（ ）
A.
B.
C.
D. 95
6 已知，则（ ）
A. B.
C. D.
7. 如图，在中，点满足，.若，则（ ）
A. B. C. D.
8. 若，且，则下列不等式中，恒成立的是（ ）
A. B.
C D.
9. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 正交数组的概念在现代广泛应用.设集合.任取，若，则称与正交.若，且中任意两个元素均正交，则中元素个数最多是（ ）
A 2B. 3C. 4D. 6
二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分
11. 函数的定义域是__________.
12. 向量满足，其中，那么__________，__________.
13. 若，则__________.
14. 已知函数.若图像恒在轴下方，则的取值范围是__________；设的值域为，若，则的取值范围是__________.
15. 已知，函数.
①当时，上单调递减；
②当时，上单调递增；
③若在定义域内的最小值为0，则；
④若在上的最大值是5，则实数的取值范围为.
以上结论中，所有正确结论的序号是__________.
三､解答题：本大题共6小题，共85分.
16. 已知函数.
（1）求关于的不等式的解集：
（2）设图像与直线的交点坐标为，求的值；
（3）用单调性定义证明：在上单调递增.
17. 国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表：
由全国重点城市环境监测网获得某年2月1日至2月5日甲城市和乙城市的空气质量指数数据，用茎叶图表示如下：
（1）从甲城市的数据中任取2个，求其中恰有1个数据对应空气质量等级为良的概率；
（2）从甲城市和乙城市的数据中分别取1个，求这2个数据对应空气质量等级相同的概率；
（3）试根据上面的数据，判断甲，乙两市空气质量指数的方差的大小关系（只需写出结果）
18. 设函数
（1）若，求实数a的值;
（2）判断函数的奇偶性，并证明你的结论;
（3）若对于恒成立，求实数m的最小值.
19. 在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为，收到1的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.在三次传输中，收到的信号需要译码.译码规则如下：三次传输时，收到的信号中若出现连续两个0，则译码为0，其余情况译码为1.例如，若依次收到，则译码为0.
（1）若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号仍为“”的概率；
（2）若采用单次传输，依次发送“”，求收到信号数字之和为2的概率；
（3）若采用三次传输，求发送“0”后译码仍为“0”的概率.
20. 已知函数.
（1）当时，求的取值范围；
（2）若函数在上的最大值为6，求实数的值；
（3）通过软件作图发现，当时，.试利用上述结论证明：.
21. 设集合.如果对于的每一个含有个元素的子集，中必有4个元素的和等于，称正整数为集合的一个“相关数”.
（1）当时，判断5和6是否为集合的“相关数”，说明理由；
（2）若为集合的“相关数”，证明：；
（3）给定正整数.求集合的“相关数”的最小值.
空气质量指数
300以上
空气质量等级
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染