北京市第三十五中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷（Word版附解析）

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行政班__________教学班__________姓名__________学号__________
试卷说明：试卷分值150，考试时间120 分钟.
Ⅰ卷
一．选择题（共10个小题，每题4分，共40分．每小题只有一个正确选项，请选择正确答案填在答题卡相应的题号处）
1. 函数在处的导数是（ ）
A B. C. D.
2. 已知数列的前n项和，则（ ）
A. 4B. 6C. 8D. 10
3. 已知随机变量，则（ ）
A. B. C. D.
4. 甲、乙两个气象台同时做天气预报，如果它们预报准确的概率分别为0.8与0.7，且预报准确与否相互独立，那么在一次预报中这两个气象台恰有一个预报准确的概率是（ ）
A. 0.06B. 0.38C. 0.56D. 0.94
5. 在曲线上一点处的切线平行于直线，则点的坐标可以是（ ）
A. B. C. D.
6. 若等差数列满足，，则当的前项和最大时，（ ）
A 10B. 11C. 12D. 13
7. 某物流公司为了完成一项运输任务，提出了四种运输方案，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 在5道试题中有2道社会学题目和3道艺术学题目，每次从中抽出1道题，抽出题不再放回，则在第1次抽到社会学题目的条件下，第2次抽到艺术学题目的概率为（ ）
A. B. C. D.
9. 银行按规定每经过一定时间结算存（贷）款的利息一次，结息后即将利息并入本金，这种计算利息的方式叫做复利．现在有某企业进行技术改造，方案如下：一次性贷款10万元投入生产，贷款期限为10年，银行贷款利息均以年息10%的复利计算，到期一次性归还本息；第一年便可获得利润1万元，以后每年比前一年增加40%（参考数据：，），则此方案可获得净利润为（ ）万元
A. 16.7B. 25.9C. 33.8D. 43.9
10. 如果函数满足：对于任意给定的等比数列，仍是等比数列，则称为“保等比数列函数”．在下列函数：
① ② ③ ④
中是“保等比数列函数”的个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
Ⅱ卷
二、填空题（共5个小题，每题5分，共25分，请将正确答案填在答题卡相应的题号处.）
11. 掷两颗均匀骰子，已知一颗掷出6点，问“掷出点数之和不小于10”的概率是______．
12. 已知随机变量，若，，则______．
13. 数列中为的前n项和，若，则_______.
14. 天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．
15. 已知数列的第n项为最接近的整数．若数列的前m项和为10，则______．
三、解答题（共6个小题，共85分，请将详细解答过程写在答题卡相应的位置．）
16. 根据以往的统计资料，甲、乙两运动员在比赛中的得分情况统计如下：
甲
乙
现有一场比赛，派哪位运动员参加比较好？请写出你的决定，并说明理由．
17. 某大学有A，B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务，甲、乙两位同学每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下：
假设甲、乙选择餐厅相互独立，用频率估计概率.
（1）分别估计一天中甲同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率，乙同学午餐选择A餐厅就餐的概率；
（2）记X为乙同学在未来4天中选择A餐厅进行午餐的天数，求X的分布列和数学期望.
18. 已知直线为曲线在点处的切线，为该曲线的另一条切线，且．
（1）利用导数定义求函数导数；
（2）求直线、的方程．
19. 已知是公差为d的无穷等差数列，其前n项和为.又______，且，是否存在大于1的正整数k，使得？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．
从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．
注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.
20. 2022年11月，因受疫情的影响，北京高中全都采用网络授课的方式进行在线教学．北京35中的某老师在高一任教高一1班和高一2班两个班级，其中1班共有学生28人，2班共有学生29人．为了研究学生的学习主动性是否会受到疫情的影响，该名老师统计了连续6天的交作业人数情况，数据如下表：
（1）从两班所有人当中，随机抽取1人，求该生在第6天作业统计当中，没有交作业的概率；
（2）在高一2班的前3天的作业统计当中，发现只有小明和小华两位同学，是连续3天未交作业，其他人均只有一天未交作业．从高一2班前3天所有未交作业的人中，随机抽取3人，记只有一天未交作业的人数为X，求X的分布列和期望；
（3）在这6次数据统计中，记高一1班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，记高一2班每天交作业的人数数据的方差为，每天没交作业的人数数据的方差为，请直接写出，，，的大小关系．
21. 已知数列满足，，，且．记集合．
（1）若，求集合中元素的个数；
（2）①求证：，．
②若集合中存在一个元素是3的倍数，求证：中所有元素都是3的倍数；
（3）求集合中元素个数的最大值，及元素个数最大时不同的个数．X
0
1
2
P
0.1
08
0.1
X
0
1
2
P
0.4
0.2
0.4
选择餐厅情况（午餐，晚餐）
甲同学
9天
6天
12天
3天
乙同学
6天
6天
6天
12天
班级/天
1
2
3
4
5
6
1班（人数）
25
25
20
21
22
21
2班（人数）
27
26
25
24
25
22