第1章 有理数【章末复习】 课件-2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册教学课件

封面标题：第 1 章 有理数 章末复习学科：数学年级：七年级上册版本：湘教版配图建议：展示有理数知识框架图（包含有理数的分类、相关概念、运算等核心模块），直观呈现本章知识脉络。复习目标梳理有理数的完整知识体系，熟练掌握有理数的分类、相关概念（数轴、相反数、绝对值、乘方、科学记数法）及运算法则。能灵活运用有理数的运算解决综合问题，提升运算准确性与效率，强化符号意识与数感。总结本章常见易错点，避免在解题中出现典型错误，培养严谨的数学思维。能运用有理数知识解决实际问题，深化数学应用意识，为后续代数式学习奠定基础。一、知识框架梳理（一）有理数的概念有理数的定义与分类定义：整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）统称为有理数。分类：按定义分：\(\begin{cases} 整数\begin{cases} 正整数（如1,2,3\cdots）\\ 0\\ 负整数（如-1,-2,-3\cdots） \end{cases} \\ 分数\begin{cases} 正分数（如\frac{1}{2},3.5\cdots）\\ 负分数（如-\frac{1}{3},-2.1\cdots） \end{cases} \end{cases}\)按符号分：\(\begin{cases} 正有理数\begin{cases} 正整数\\ 正分数 \end{cases} \\ 0（既不是正数，也不是负数）\\ 负有理数\begin{cases} 负整数\\ 负分数 \end{cases} \end{cases}\)注意：有限小数和无限循环小数都可化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如 π）不是有理数。核心概念辨析概念定义与性质表示方法 / 示例数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线；所有有理数都可在数轴上表示，数轴上右边的数总大于左边的数如表示 - 2、0、3 的点，原点为 0，正方向向右相反数只有符号不同的两个数（0 的相反数是 0）；互为相反数的两数和为 0，在数轴上关于原点对称a 的相反数为 - a，如 3 的相反数是 - 3绝对值数轴上数对应的点到原点的距离（非负性，a乘方n 个相同因数 a 的积（aⁿ），底数为 a，指数为 n；正数任何次幂为正，负数奇次幂为负、偶次幂为正，0 的正整数次幂为 02³=8，(-2)²=4，-2²=-4科学记数法把数表示为 a×10ⁿ（1≤a（二）有理数的运算运算类型与法则加法：同号相加取同号，绝对值相加；异号相加取大绝对值符号，大绝对值减小绝对值；互为相反数和为 0；与 0 相加仍得原数。例：(-3)+5=2，(-2)+(-4)=-6。减法：减去一个数等于加它的相反数（a-b=a+(-b)）。例：5-(-3)=5+3=8，-4-2=-4+(-2)=-6。乘法：同号得正，异号得负，绝对值相乘；任何数与 0 相乘得 0；多个非 0 数相乘，负因数个数偶正奇负。例：(-2)×3=-6，(-3)×(-4)=12。除法：除以一个非 0 数等于乘它的倒数（a÷b=a×\(\frac{1}{b}\)，b≠0）；同号得正，异号得负，绝对值相除；0 除以非 0 数得 0。例：6÷(-2)=-3，(-8)÷(-\(\frac{1}{2}\))=16。混合运算：先乘方，再乘除（左到右），最后加减（左到右）；有括号先算括号内（内层到外层）。例：(-2)²×3 - 6÷2=4×3 - 3=9。运算律（简化计算）加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。例：(-3)+5+3=(-3+3)+5=5。乘法交换律：ab=ba；乘法结合律：(ab) c=a (bc)；乘法分配律：a (b+c)=ab+ac（反向：ab+ac=a (b+c)）。例：2×(-3)+2×5=2×(-3+5)=4。二、重点题型突破（一）概念辨析题例题：下列说法正确的是（ ）A. 有理数包括正有理数和负有理数 B. 绝对值等于本身的数是正数C. -a 一定是负数 D. 互为相反数的两数绝对值相等解析：A 选项忽略 0，有理数包括正、负有理数和 0；B 选项绝对值等于本身的数是正数和 0（非负数）；C 选项当 a 为负数时，-a 为正数，当 a=0 时，-a=0；D 选项正确，互为相反数的两数到原点距离相等，绝对值相等。答案：D练习：判断下列说法是否正确，错误的请改正。（1）无限小数都是有理数；（2）数轴上原点左侧的数都是负数；（3）|a|=|b | 则 a=b。（二）运算计算题基础运算例题：计算（1）(-8)+10-(-2)-1；（2）(-3)²×(-\(\frac{2}{3}\)) + 4÷(-\(\frac{1}{2}\))²。解析：（1）先将减法转化为加法：(-8)+10+2+(-1)，再结合计算：[(-8)+(-1)]+(10+2)=-9+12=3；（2）先算乘方：9×(-\(\frac{2}{3}\)) + 4÷\(\frac{1}{4}\)，再算乘除：-6 + 16，最后算加减：10。答案：（1）3；（2）10。简便运算例题：计算（1）25×(-\(\frac{1}{8}\)) + 25×\(\frac{1}{2}\) - 25×\(\frac{3}{8}\)；（2）[(-4)×(-\(\frac{1}{2}\)) - 3×(-\(\frac{1}{3}\))]÷(-1)。解析：（1）反向用乘法分配律：25×[(-\(\frac{1}{8}\))+\(\frac{1}{2}\)-\(\frac{3}{8}\)]=25×\(\frac{1}{4}\)=\(\frac{25}{4}\)；（2）先算括号内：2 + 1=3，再算括号外：3÷(-1)=-3。答案：（1）\(\frac{25}{4}\)；（2）-3。（三）实际应用题例题：某水库的水位变化情况如下（上升为正，下降为负，单位：米）：+0.5，-0.3，+0.2，-0.4，+0.1。若初始水位为 100 米，求最终水位；若每上升 1 米需注水 2000 立方米，求这期间总的注水量（下降不注水）。解析：（1）最终水位 = 100 + (0.5-0.3+0.2-0.4+0.1)=100 + 0.1=100.1 米；（2）上升总量 = 0.5+0.2+0.1=0.8 米，总注水量 = 0.8×2000=1600 立方米。答案：最终水位 100.1 米，总注水量 1600 立方米。练习：某商店一周内的营业额（盈利为正，亏损为负，单位：元）：+1200，-800，+500，-1000，+300，-600，+400。求一周总盈利，若盈利部分需按 10% 缴纳税费，求实际盈利。（四）科学记数法与规律探索例题：（1）将 32000000 用科学记数法表示，将 - 2.5×10⁻⁴还原为原数；（2）观察：2¹=2，2²=4，2³=8，2⁴=16，…，求 2²⁰的个位数字。解析：（1）32000000=3.2×10⁷，-2.5×10⁻⁴=-0.00025；（2）个位数字周期为 4（2,4,8,6），20÷4=5，故个位数字为 6。答案：（1）3.2×10⁷，-0.00025；（2）6。三、易错点总结与规避概念类易错点易错 1：混淆 “(-a)ⁿ” 与 “-aⁿ”，如 (-2)²=4，-2²=-4；规避：明确底数是否带括号，带括号则底数为 - a，否则为 a。易错 2：科学记数法中 a 的范围错误（a 需满足 1≤|a|＜10），如 15×10⁶不是科学记数法，应改为 1.5×10⁷；规避：先确定 a 的取值，再数小数点移动位数确定 n。易错 3：认为 “带负号的数就是负数”，如 - a 不一定是负数（a 为负时，-a 为正）；规避：结合 a 的取值范围分析符号。运算类易错点易错 1：乘除混合运算不按左到右顺序，如 12÷3×4 误算为 12÷12=1，正确为 4×4=16；规避：牢记乘除同级，严格按左到右计算。易错 2：分配律漏乘，如 2×(3-4) 误算为 6-4=2，正确为 6-8=-2；规避：括号内每一项都要与括号外的数相乘。易错 3：符号判断错误，如负数乘负数得负，如 (-3)×(-4) 误算为 - 12；规避：牢记 “同号得正，异号得负”，先定符号再算绝对值。四、综合检测卷（节选）选择题：（1）下列各数中，最小的数是（ ）A. -3 B. 0 C. 2 D. -\(\frac{1}{2}\)；（2）若 | x-2| + |y+3|=0，则 x+y 的值为（ ）A. -1 B. 1 C. 5 D. -5。填空题：（1）-\(\frac{2}{3}\)的相反数是______，绝对值是______；（2）用科学记数法表示 0.00000123 为______。计算题：（1）(-\(\frac{1}{2}\))×(-8) + (-6)÷(-\(\frac{1}{3}\))；（2）[(-2)³ - (1 - 5)]×(-\(\frac{1}{2}\))。应用题：某登山队从海拔 2000 米处出发，第一天上升 500 米，第二天下降 300 米，第三天上升 400 米，第四天下降 200 米，求此时登山队的海拔高度。五、复习总结与展望知识回顾：本章核心是有理数的概念与运算，需熟练掌握分类、数轴、相反数、绝对值等概念，以及加、减、乘、除、乘方的运算法则和运算律，能运用科学记数法简化数的表示。能力提升：通过复习，强化 “先定符号，再算绝对值” 的运算习惯，提升符号意识与运算准确性；能运用有理数知识解决实际问题，培养数学应用能力。后续衔接：本章是代数学习的基础，后续将学习代数式、方程等知识，需熟练掌握有理数的运算，为后续学习做好铺垫。作业布置完成综合检测卷剩余题目，核对答案并订正错题，分析错误原因。整理本章错题本，将典型错题（概念辨析、运算错误、应用题）分类记录，标注错误点与正确解法。尝试用本章知识解决一个生活中的实际问题（如家庭收支计算、气温变化分析），写出完整的解题过程。2025-2026学年2024湘教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： . 2. 用正、负数表示具有相反意义的量.1. 大于 0 的自然数和分数（或小数）就是正数； 在正数前面添上“-”(读作“负号”) 的数叫做负数； 0 既不是正数，也不是负数； 正数和 0 统称为非负数.一、正数和负数二、有理数1. 正整数、零和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数.有理数正整数负整数负分数正有理数负有理数正分数零有理数正整数正分数整数分数零负整数自然数2. 有理数的分类负分数(1) 按定义分类(2) 按符号分类3. 数轴(4) 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.(5) 任何一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点 来表示.(1) 画一条直线（通常把它水平放置），在直线上取一点 O ，把点 O 叫作原点，用原点表示数 0.(2) 选定直线的正方向（标上箭头）.(3) 选择适当的长度为单位长度.4. 相反数 (1) 两个数只有符号不同，那么其中一个数叫作另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数. (2) 表示互为相反数的两个数的点，在数轴上分别位于原点的两侧，并且到原点的距离相等.0 的相反数是 0.5.绝对值 (1) 一个数的绝对值表示这个数在数轴上的对应点与原点之间的距离. 数 a 的绝对值，记作 |a|. (2) 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0. 互为相反数的两个数的绝对值相等. (3) 一般地，如果 a 表示一个数，则 ①当 a 是正数时，|a| = a； ②当 a = 0 时，|a| = 0； ③当 a 是负数时，|a| = -a. 6. 倒数若两个有理数的乘积等于 1，则把其中一个数叫作另一个数的倒数，也称它们互为倒数，0 没有倒数. 7. 有理数大小的比较(2) 在以向右为正方向的数轴上，右边的点表示的数比左边的点表示的数大．(1) 正数大于负数，0 大于负数； 两个负数，绝对值大的反而小．三、有理数的运算1. 有理数的加法(1) 加法法则两个负数相加，结果是负数，并且把它们的绝对值相加.异号两数相加，当正数的绝对值较大时，得正数，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；当负数的绝对值较大时，得负数，并用较大的绝对值减去较小.互为相反数的两个数相加得 0；一个数与 0 相加，仍得这个数.(2) 加法的运算律交换律 a+b = b+a结合律 a+b+c = (a+b)+c = a+(b+c)2. 有理数的减法减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.3. 有理数的乘法(1) 乘法法则异号两数相乘得负数，并且把绝对值相乘.任何数与 0 相乘，仍得 0.同号两数相乘得正数，并且把绝对值相乘.(2) 几个不等于 0 的数相乘，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正.(3) 乘法的运算律 (2) 同号两数相除得正数，异号两数相除得负数，并把它们的绝对值相除；0 除以任何一个不等于 0 的数都得 0.4. 有理数的除法 (3) 除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数. (1) 对于两个有理数 a，b，其中 b ≠ 0，如果有一个有理数c，使得 cb = a，那么规定 a÷b = c，且把 c 叫作 a 除以 b 的商.5. 有理数的乘方 (1) 求 n 个相同因数的积的运算，叫作乘方. 乘方的结果叫作幂. 在 an 中，a 叫作底数，n 叫作指数. (2) 正数的任何正整数次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何正整数次幂都是 0.特别地，a2 通常读作 a 的平方，a3 通常读作 a 的立方.规定 a1 等于 a.(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如果有括号，就先进行括号里面的运算 (先小括号，再中括号，最后大括号).6. 有理数的混合运算四、科学记数法(2) n 为原数的整数位数减去 1.例1 如果 +4 米表示向东走 4 米，那么向西走 2 米记作 .-2 米【解析】根据题意，可知向东记为正，向西记为负，故向西走 2 米记做 -2 米. 总结：根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负.注意带单位1. 下列语句中，含有相反意义的两个量是（ ）A. 盈利 1 千元和收入 2 千元 B. 上升 8 米和后退 8 米C. 存入 1 千元和取出 2 千元 D. 超出 2 cm 和上涨 2 cmC-82. 上升 9 记作 +9，那么下降 8 记作 .例2 判断：①不带“－”号的数都是正数 （ ）④一个有理数不是正数就是负数 （ ） ⑤ 0 ℃ 表示没有温度 （ ） ②如果 a 是正数，那么－a 一定是负 （ ）③不存在既不是正数，也不是负数的数（ ） ××××√【解析】① 0 不带“－”号，但 0 不是正数，故①错误；考点二 正、负数的概念②正数的相反数是负数，故②正确；③同①，故③错误；④同③，故④错误； ⑤ 0 ℃ 并不是表示没有温度，它是介于正温度与负温度之间，故⑤错误. 0 既不是正数也不是负数，0 的相反数是它本身. 0 不仅能表示没有，而且表示正、负之间的分界值.例3 将下列各数分别填入下列相应的圈内：正数负数整数分数3.5，| -2 |，0.5-3.5，-2，0，| -2 |，-23.5，0.5-3.5，............考点三 有理数的分类2【解析】负分数不仅是负数而且是分数，注意小学学过的小数也属于分数. 故只有 2 个.例4 填表3.5| -2 |0-3.5-20.5考点四 相反数、倒数、绝对值4. 的倒数是 ； 的相反数是 ；-3–5 的绝对值是 .5考点五 数轴例5 请你将下面的数在数轴上表示出来：解：表示如下：3.5-3.50| -2 |0.55. 在数轴上，点 A 所表示的数为 2，那么到点 A 的距离等于 3 个单位长度的点所表示的数是________.-1 或 5例6 请你将下面的数用“＞”连接起来：解法一：将各数在数轴上表示出来，右边的大于左边的，然后从大到小排列解法二：正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．6. 某日零点，北京、上海、重庆、宁夏的气温分别是 -4℃、5℃、6℃、-8℃，当时这四个城市中气温最低的是 ( ) A．北京 B．上海 C．重庆 D．宁夏D例7 将数13 445 000 000 000 km 用科学记数法表示为_____________m.1.3445×1016注意单位变化7. 某年末上海市常住人口总数为 2615.27万人，用科学记数法表示为 人.2.61527×107例8 计算：1. 把减法转化为加法时，要注意符号．2. 对几个有理数相加减的题目，要注意观察，将哪些数放在一起会使计算简便.解：注意符号问题= 21 - 27 + 30 - 10= 14. 先确定商的符号，再把绝对值相除= -2×12×12= -288. 注意：1. 底数是带分数时，要先将带分数化成假分数.2. 区分 (-24) 与 (-2)4.8. 计算：答案：(1) -17.(2) 33.(3) -3.3.(1) -3 + 8 - 7 - 15；(2) 23 - 6×(-3) + 2×(-4)；考点1 正、负数 BA. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回2. 下列说法正确的是( )D  返回考点2 有理数 CA. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 返回考点3 数轴及其应用 C   返回考点4 有理数的大小比较5. 某药品说明书上贴有如图的标签，若要存放该药品，则下列温度符合要求的是( )B  返回考点5 相反数、绝对值、倒数    返回考点6 科学记数法7. 据联合国《世界人口展望2024》报告称，世界人口将在2080年代中期达到顶峰约103亿,则103亿用科学记数法表示是___________.  返回考点7 有理数的加减运算 CA. 加法交换律 B. 加法结合律C. 加法交换律和结合律 D. 以上均不对 返回9. 仔细观察资料卡中的信息，可以发现水银的凝固点比酒精的凝固点高( )B  返回10.计算:     返回考点8 有理数的乘除运算 CA. 段① B. 段②C. 段③ D. 段④ 返回 D   返回考点9 有理数的乘方13. 下列各组数中，不相等的一组是( )A  返回14.手工拉面是我国的传统面食.制作时，拉面师傅拿一根很粗的面条，把两头捏合在一起拉伸，再捏合，再拉伸，反复几次，就把这根很粗的面条拉成了许多细细的面条，如图所示.则第六次捏合后可拉出面条____根.64  返回考点10 有理数的混合运算15.计算：       返回16. 根据背景素材，探索解决问题.  【任务1】 求露营基地在家的哪个方向，并求出与家的距离； 【任务2】 计算炸鸡店到面包店所用的车费； 【任务3】 该路线如何正确使用优惠券，使总车费最低，求最低总车费. 答：水果店到奶茶店用八折券，奶茶店到露营基地用七折券，总车费最低，最低总车费为52.8元. 返回思想1 数形结合思想 B A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 返回思想2 分类讨论思想       返回思想3 从特殊到一般的思想  55   返回正有理数负有理数有理数点与数的对应倒数科学记数法有理数运算减法加法乘法乘方除法交换律、结合律转 化加法乘法混合运算按顺序进行转 化交换律、结合律、分配律必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！