北京市朝阳区高三上学期期末质量检测数学试题（原卷版）-A4

这是一份北京市朝阳区高三上学期期末质量检测数学试题（原卷版）-A4，共5页。试卷主要包含了 已知全集，集合，则， 在复平面内，复数对应的点位于， 函数的图象的一个对称中心是等内容，欢迎下载使用。
2025.1
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知全集，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3. 已知抛物线．若其焦点到准线距离为4，则抛物线的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的图象的一个对称中心是（ ）
A. B. C. D.
5. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
6. 已知圆，过点的直线与圆交于两点．当取最小值时，直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 沙漏是一种古代计时仪器．如图，某沙漏由上下两个相同圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为6cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的，则这些细沙的体积为（ ）

A. B. C. D.
8. 若函数,恰有两个零点，则实数取值范围是（ ）
A. B. C. D.
9. “三分损益法“是古代中国发明制定音律时所用的方法，现有一古琴是以一根确定长度的琴弦为基准，第二根琴弦的长度是第一根琴弦长度的，第三根琴弦的长度是第二根琴弦长度的，第四根琴弦的长度是第三根琴弦长度的，第五根琴弦的长度是第四根琴弦长度的．琴弦越短，发出的声音音调越高，这五根琴弦发出的声音按音调由低到高分别称为“宫，商，角，徵，羽“，则“宫“与“角“所对琴弦长度之比为（ ）
A. B. C. D.
10. 设是无穷数列，若存在正整数使得对任意，均有，则称是间隔递减数列，其中称为数列的间隔数．给出下列三个结论：
①若，则是间隔递减数列；
②若，则是间隔递减数列；
③若，则是间隔递减数列且的间隔数的最小值是．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③
第二部分（非选择题共110分）
二，填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在的展开式中，的系数为__________．（用数字作答）
12. 双曲线的渐近线方程是__________；设是双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则__________．
13. 使不等式成立一个的值是__________．
14. 已知为所在平面内一点，满足，且，，设为向量的夹角，则__________；__________．
15. 在棱长为1正方体中，点在线段上（不与重合），于于，以下四个结论：
①平面；
②线段与线段的长度之和为定值；
③面积的最大值为；
④线段长度的最小值为．
其中所有正确的结论的序号是_________．
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 在中，．
（1）求；
（2）若，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积．
条件①：；条件②：；条件③：
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.
17. 随着科技的飞速发展，人工智能已经逐渐融人我们的日常生活．在教育领域，AI的赋能潜力巨大.为了解教师对AI大模型使用情况，现从某地区随机抽取了200名教师，对使用A、B、C、D四种AI大模型的情况统计如下：
在上述样本所有使用3种AI大模型的40人中，统计使用A、B、C、D的AI大模型人次如下：
用频率估计概率.
（1）从该地区教师中随机选取一人，估计至少使用两种AI大模型（A、B、C、D中）的概率；
（2）从该地区使用3种AI大模型（A、B、C、D中）的教师中，随机选出3人，记使用B的有人，求的分布列及其数学期望；
（3）从该地区男，女教师中各随机选一人，记他们使用AI大模型（A、B、C、D中）的种数分别为，比较的数学期望的大小．（结论不要求证明）
18. 如图，在五面体中，平面，，，，，，分别为的中点，连接．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19. 已知函数，其中是常数，．
（1）当时，求曲线y=fx在点1,f1处的切线方程；
（2）求的极值．
20. 已知椭圆的离心率为，右顶点为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过原点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点．已知点，直线与椭圆的另一个交点分别为．证明：直线过定点．
21. 已知无穷数列，给定正整数，若数列满足以下两个性质，则称数列：①；②
（1）已知和分别为数列和数列，且，求和；
（2）已知正整数数列是数列.
（i）无穷数列满足且为奇数，其中，证明：对于任意的，；
（ii）求满足条件的，并写出与对应的所有可能取值．
使用AI大模型的种数
性别
0
1
2
3
4
男
4
27
23
16
10
女
6
48
27
24
15
AI大模型种类
A
B
C
D
人次
32
30
30
28