2025-2026学年四川天府新区实外高级中学高二上学期第二次段考数学试卷（含答案）

这是一份2025-2026学年四川天府新区实外高级中学高二上学期第二次段考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+ 3y−1=0的倾斜角为( )
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.某地区有大型商铺50家，中型商铺150家.为调查营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本容量为20的样本，则应抽取中型商铺( )
A. 5家B. 10家C. 15家D. 20家
3.已知向量a=(−3,2,x)，b=(6,y,2)，若a//b，则x−y=( )
A. 3B. −3C. 5D. −5
4.已知直线l1:(m+2)x+3y=2−m，l2:x+my=1，若l1⊥l2，则实数m=( )
A. 2B. −3C. −12D. −2
5.已知点P(1,2)为圆x2+y2+x−4y+m=0外一点，则实数m的取值范围为( )
A. (2,+∞)B. [2,+∞)C. 2,174D. 2,174
6.已知圆x2+y2=4与圆(x−5)2+y2=9，则两圆公切线的条数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
7.当圆C:x2−4x+y2−5=0截直线l:x−my+m−3=0所得的弦长最短时，实数m=( )
A. 2B. −1C. − 2D. 1
8.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)四个顶点构成的四边形的面积为16 2，直线l:x−2y+6=0与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为(−2,2)，则椭圆C的方程是( )
A. x216+y28=1B. x232+y24=1C. x232+y216=1D. x264+y22=1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 直线y=2x−1在y轴上的纵截距为−1
B. 直线mx−y−m+3=0必过定点(1,3)
C. 已知直线l1：ax−y+2=0，直线l2：x−ay+2=0，若l1//l2，则a=1或a=−1
D. 过点(2,1)且在坐标轴上截距相等的直线方程为x+y−3=0
10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知A(−4,2),B(2,2)，点P满足|PA||PB|=2，设点P的轨迹为圆C，则下列说法正确的是( )
A. 圆C的方程是(x−4)2+(y−2)2=4
B. 若x，y满足圆C的方程，则x−y的最大值是2+4 2
C. 若圆C上存在4个点到直线l:x−y+m=0的距离为1，则m∈(−3 2−2,3 2−2)
D. 过直线3x+4y=60上的一点P向圆C引切线PM，PN，则四边形PMCN的面积的最小值为16 3
11.如图，已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，点P是线段AC的中点，点Q是线段B1C上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( )
A. PQ//平面A1C1D
B. Q到平面A1C1D的距离为 2
C. PQ与A1D所成角的取值范围为π6,π2
D. 三棱锥B−PCQ外接球体积的最小值为4π3
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.过点(1,−3)且与直线x−2y+1=0平行的直线方程是 ．
13.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为
14.已知F1，F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点，B为椭圆短轴的一个端点，BF1⋅BF2⩾14F1F22，则椭圆离心率的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，求圆C的标准方程；
(2)已知椭圆C的方程为16x2+9y2=144.求椭圆C的长轴长、离心率、焦点坐标．
16.(本小题15分)
“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组[25,35)，第2组[35,45)，第3组[45,55)，第4组[55,65]，如图所示．
(1)求a的值；
(2)估计这组数据的中位数；
(3)估计这组数据的平均数．
17.(本小题15分)
已知圆C1:(x+4)2+(y−3)2=25．
(1)求过点P(1,4)且与圆C1相切的直线方程．
(2)若圆C1与圆C2:x2+y2+2x−6=0相交于M，N两点，求直线MN的方程以及公共弦MN的长．
18.(本小题17分)
如图1所示，在等腰梯形ABCD，BC//AD,CE⊥AD，垂足为E，AD=3BC=3,EC=1，将▵DEC沿EC折起到▵D1EC的位置，如图2所示.点G为棱AD1上一个动点，平面D1EC⊥平面ABCE．

(1)求证：AE//平面BCD1；
(2)求直线CD1与平面ABD1所成角的正弦值；
(3)在棱AD1(不包括端点)上是否存在点G，使平面ABD1与平面GEC的夹角的余弦值为 66，若存在，求出AGAD1的值，若不存在，请说明理由．
19.(本小题17分)
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)，F1,F2分别是左、右焦点，焦距为2，点M(1,32)在椭圆C上，过点F2作直线l交椭圆于A、B两点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若直线l的倾斜角为π4，求线段AB的长；
(3)求▵F1AB的面积最大值．
参考答案
1.D
2.C
3.A
4.C
5.D
6.C
7.B
8.A
9.AB
10.BCD
11.ACD
12.x−2y−7=0
13.x281+y272=1
14.0, 33
15.【详解】(1)设圆心坐标为C(a,0)，半径为r．
因为圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，所以|CA|=|CB|，
即 (5−a)2+(1−0)2= (1−a)2+(3−0)2，解得a=2，
所以圆心坐标为C(2,0)，此时r=|CA|= (5−2)2+(1−0)2= 10，
故圆C的标准方程为(x−2)2+y2=10．
(2)椭圆C的方程16x2+9y2=144可化为x29+y216=1．
所以a2=16，b2=9，c2=a2−b2=7，即a=4，b=3，c= 7，
所以长轴长为2a=2×4=8，离心率e=ca= 74，
因为a>b，所以焦点在y轴上，焦点坐标为0,± 7．
因此，椭圆C的长轴长为8、离心率为 74、焦点坐标为0,± 7．

16.【详解】(1)由题意可得(0.01+0.02+a+0.04)×10=1，解得a=0.03．
(2)因为0.01×10+0.02×10=0.30.5，
所以中位数在[45,55)内，故中位数为45+0.5−0.03×100.03×10×10=1553．
(3)平均数为(0.01×30+0.02×40+0.03×50+0.04×60)×10=50．

17.【详解】(1)因为(1+4)2+(4−3)2>25，所以P(1,4)在圆C1外；
当切线斜率存在时，设切线y−4=k(x−1)，即kx−y+4−k=0，
所以|−4k−3+4−k| k2+1=5，解得k=−125，即切线方程为12x+5y−32=0；
当切线斜率不存在时，切线方程为x=1，且1−(−4)=5，故满足条件，
综上所述，切线方程为12x+5y−32=0或x=1．
(2)C1:(x+4)2+(y−3)2=25⇔C1:x2+y2+8x−6y=0，
将C1,C2的方程相减可得6x−6y+6=0，即x−y+1=0，
所以直线MN的方程为x−y+1=0；
因为C1的圆心为(−4,3)，半径为5，
所以|MN|=2 52−|−4−3+1| 22=2 7．

18.【详解】(1)∵AD//BC，
∴AE//BC，又BC⊂平面BCD1，AE⊄平面BCD1，
∴AE//平面BCD1．
(2)由DE⊥EC⇒D1E⊥EC，
∵平面D1EC⊥平面ABCE，平面D1EC∩平面ABCE=EC，D1E⊥EC，D1E⊂平面D1EC，
∴D1E⊥平面ABCE，又AE,CE⊂平面ABCE，
∴D1E⊥AE,D1E⊥CE.因此，EA,EC,ED1两两互相垂直，
以E为坐标原点，EA,EC,ED1为x,y,z轴，建立空间直角坐标系E−xyz．

在等腰梯形ABCD中，AD=3BC=3,EC=1,CE⊥AD，
因此易证得CB=1,EA=2,ED1=1，故A(2,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),D1(0,0,1)，
则AB=(−1,1,0),AD1=(−2,0,1),CD1=(0,−1,1)．
设平面ABD1的法向量为n1=(x,y,z)，则AB⋅n=0AD1⋅n=0,
即−x+y=0−2x+z=0，取x=1，则y=1,z=2，则n1=(1,1,2)．
设直线CD1与平面ABD1所成角为α，则sinα=|cs |=|n1⋅CD1||n1|⋅|CD1|=1 6⋅ 2= 36．
(3)EC=(0,1,0)，设AG=λAD1=(−2λ,0,λ),0