四川省成都市实验外国语学校2024−2025学年高二下学期第二阶段考试 数学试题（含解析）

这是一份四川省成都市实验外国语学校2024−2025学年高二下学期第二阶段考试 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．在等差数列中，已知，则数列的前项之和为（ ）
A．B．C．D．
2．先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为），记事件“第一次掷出的点数小于4”，事件“两次点数之和大于4”，则（ ）
A．B．C．D．
3．2025年2月深圳福田区推出基于DeepSeek开发的AI数智员工，并上线福田区政务大模型2．0版，该模型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出20名AI数智员工（假定这20名AI数智员工没有区别），分别从事三个服务项目，若每个项目至少需要5名AI数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A．21B．18C．15D．12
4．在棱长为1的正方体中，点P，Q分别为平面，平面的中心，则点B到平面APQ的距离为（ ）
A．B．C．D．
5．各项均为正数的等比数列的前5项和为，且，则（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．若的展开式中的系数为12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A．16B．32C．48D．64
7．已知函数，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转，，后所得的三条曲线及围成的，若，则下列说法错误的是（ ）

A．开口向上的抛物线的方程为
B．四叶图上的点到点的距离的最大值为
C．动直线被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2
D．四叶图的面积小于32
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．B．在上单调递增
C．有最小值D．有两个零点
10．暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为，下列说法正确的是（ ）
A．甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B．甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C．甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D．若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
11．在数列中，，，，是数列的前项和，则（ ）
A．数列是等比数列B．数列是等差数列
C．D．
三、填空题
12．设等差数列的前项和分别为，若，则 .
13．已知分别为双曲线的左，右焦点，以为直径的圆与其中一条渐近线在第一象限交于点，过点作另一条渐近线的垂线，点恰在此垂线上，则双曲线的离心率为 ．
14．现将8个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳8个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形卡槽内，这8个小球分别为2个红球、4个白球、2个黑球，若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，则共有 种不同的放法；若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，则共有 种不同的放法．
四、解答题
15．为迎接校篮球社团组织的“李宁杯”三人篮球赛，某班甲、乙两位同学决定提前训练，为比赛做准备.在投篮训练中，甲、乙两位同学各自投篮，甲投一次得3分、2分、0分的概率分别为，乙投一次得3分、2分、0分的概率分别为，且甲、乙两人每次投篮的得分情况相互独立.
（1）若甲、乙两人各进行两次投篮，求甲、乙的总得分不少于11分的概率；
（2）若甲、乙两人各进行一次投篮，记两人的总得分为，求的分布列及数学期望.
16．如图，在三棱柱中，平面，是边长为2的正三角形，，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的余弦值.
17．正项数列的前项和为，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若对于任意正整数，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，求证：点到直线的距离为定值．
19．已知函数（其中e为自然对数的底数）.
(1)求函数的最小值；
(2)若，且在R上恒成立，求的最大值；
(3)求证：.
参考答案
1．【答案】C
【详解】设等差数列的前项和为，则.
故选C.
2．【答案】B
【分析】利用条件概率公式即可求得的值.
【详解】由题意可知，
事件与事件同时发生，
有共12种可能，
，所以.
故选B.
3．【答案】A
【详解】先每组分5名员工，然后剩余5名分成三组，
采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置，
所以不同的分配方法种数为种.
故选A
4．【答案】B
【详解】如图，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，
则，
因点P，Q分别为平面，平面的中心，则，
于是，，
设平面的法向量为，
则，
故可取，又，
则点B到平面APQ的距离为.
故选B.
5．【答案】A
【详解】设等比数列的首项为，公比为（），
根据题意即，解得（舍），
而，故，所以
选选：A.
6．【答案】C
【详解】的展开式中的系数为，所以，
所以令，所以展开式中所有项的系数的和为48.
故选C.
7．【答案】A
【详解】因为，
所以函数为偶函数，
，
令，则，
所以函数，
即当时，，
所以函数在上单调递增，
所以.
故选A.
8．【答案】C
【详解】对于A，若，则抛物线，
若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为，
即，开口向上，故A正确；
对于B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称，
可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点，
解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为，故B正确；
对于C，设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
设直线与抛物线相切于点，
由，消去得，由，
得，切点，
直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故C错误.

对于D，抛物线，求导得，
则抛物线在点处的切线斜率为，
抛物线在点处的切线方程为，即，
该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于，
所以四叶图的面积小于，故D正确.

故选C.
9．【答案】BC
【详解】的定义域为，，
对于A，，错误；
对于B和C，由，得，当，，单调递减，
当，，单调递增，
所以当时，取得最小值，故BC正确；
对于D，由在上单调递减，在单调递增，且的最小值为，
所以无零点，错误．
故选BC．
10．【答案】ACD
【详解】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件A2，
“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为B．
对于A，A1与A2不能同时发生，故A正确；
对于B，因为，，但，故，故B错误；
对于C，由，，，，，，
由全概率公式得：
．故C正确；
对于D，由题意可知所求概率为；故D正确．
故选ACD．
11．【答案】ABD
【详解】由，得，
则数列是首项为，公比为2的等比数列，A正确.
根据等比数列的通项公式得，即，则，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，B正确.
根据等差数列的通项公式得，即，
所以，C错误.
由，
，D正确.
故选ABD
12．【答案】
【详解】因为，所以.
13．【答案】2
【详解】
如图，设为与渐近线的交点，
由题意：，，
所以Q是线段的中点，
所以.
又直线，是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知，
所以，所以，
所以，
所以离心率.
14．【答案】1728 3840
【详解】由题意可将把8个小球放入卡槽内的过程转化为这8个小球位置上的排列组合问题，
若4个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，
先排红球和黑球共有种方法，再排其中1个白球有种方法，
最后排剩余的3个白球有种方法，所以共有种不同的放法．
若2个红球之间恰好有白球和黑球各1个，先任选1个白球，1个黑球放入2个红球中间，有种方法，
又2个红球的放法有种，
再将1个白球，1个黑球和2个红球进行捆绑与剩余的4个小球进行全排列有种，
所以共有种不同的放法．
15．【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【详解】（1）设事件为“甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于11分”，
则事件包含甲、乙两人各投两次且两人两次全得3分，或者一人两次全得3分，另一人一次得3分，一次得2分两种情况.
故，
故甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于11分的概率为.
（2）甲、乙两人各进行一次投篮的总得分的所有可能取值为0，2，3，4，5，6，
则；
；
；
；
；
.
故的分布列为
所以.
16．【答案】（1）证明见解析.
（2）
【详解】（1）在三棱柱中，由底面,平面，得，
由为等边三角形，为的中点，得，
而平面，所以平面.
（2）取中点，连结，由为的中点，得，
由（1）知平面，平面，则，而，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，，
，，设平面的法向量，
则 ，令，得，而，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的余弦值为.

17．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）当时，，
有，
整理得，又，有，
所以，
当时，，整理得，得（舍）或，
所以数列是等差数列，首项，公差为，，
因此数列的通项公式；
（2）由（1）知，
①
②
①—②得，
所以；
（3）若不等式恒成立，即，
等价于恒成立，
设，则有，
对，所以，即，
可知数列是递减数列，
数列的最大值为，所以，
因此实数的取值范围为．
18．【答案】（1）
（2）证明见解析
【详解】（1）由题意，得双曲线的渐近线方程为，右顶点为．又，
且，
所以，故．
又，解得，
所以双曲线的方程为．
（2）设，
当直线和轴线平行时，，
解得，
所以点到直线的距离为．
当直线和轴线不平行时，设直线的方程为，
由得
所以．
又，
所以
解得．
又点到直线的距离为，则，故，即点到直线的距离为．
综上所述，点到直线的距离为定值．
19．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）因为，所以，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以.
（2）令，，
由得出；由得出，
所以；所以，所以，
令，；，
时，，单调递增；时，，单调递减，
则是的极大值点，所以，的最大值为；
（3）证明：要证，
只需证明：对于恒成立，
令，则，
当时，令，则，
在上单调递增，即在上为增函数.
又因为，，
所以存在使得
由，得即，即.
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，
令，则，
所以在上单调递增，所以，
所以，所以，即.0
2
3
4
5
6