四川省成都市实验外国语学校2024-2025学年高二下学期第二阶段考试数学试卷（Word版附解析）

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满分：150 分 时间：120 分钟
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮
擦擦干净后，再选涂其它答案标号.
3．答非选择题时，必须使用 0.5 毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.
5．考试结束后，只将答题卡交回.
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项符合题目要求.
1. 在等差数列 中，已知 ，则数列 的前 项之和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的求和公式可求得结果.
【详解】设等差数列 的前 项和为 ，则 .
故选：C.
2. 先后两次掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面分别标记为 ），记事件 “第一次掷出的点
数小于 4”，事件 “两次点数之和大于 4”，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用条件概率公式即可求得 的值.
【详解】由题意可知 ，
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事件 与事件 同时发生，
有 共 12 种可能，
，所以 .
故选：B.
3. 2025 年 2 月深圳福田区推出基于 DeepSeek 开发的 AI 数智员工，并上线福田区政务大模型 2．0 版，该模
型能进一步驱动政务效能全面跃升．某地也准备推出 20 名 AI 数智员工（假定这 20 名 AI 数智员工没有区
别），分别从事 三个服务项目，若每个项目至少需要 5 名 AI 数智员工，则不同的分配方法种数为（ ）
A. 21 B. 18 C. 15 D. 12
【答案】A
【解析】
【分析】先每组分 5 名员工，然后剩余 5 名分成三组，采用隔板法即可.
【详解】先每组分 5 名员工，然后剩余 5 名分成三组，
采用隔板法，五名员工和两个隔板，共有七个位置，
所以不同的分配方法种数为 种.
故选：A
4. 在棱长为 1 的正方体 中，点 P，Q 分别为平面 ，平面 的中心，则点
B 到平面 APQ 的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用正方体建系，分别求出相关点和向量的坐标，计算出平面 APQ 的法向量坐标，利用点到平面
距离的向量公式计算即得.
【详解】如图，以点 为坐标原点，建立空间直角坐标系 ，
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则 ，
因点 P，Q 分别为平面 ，平面 的中心，则 ，
于是， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
故可取 ，又 ，
则点 B 到平面 APQ 的距离为 .
故选：B.
5. 各项均为正数的等比数列 的前 5 项和为 ，且 ，则 （ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】
【分析】利用等比数列的通项公式和等比数列的前 项和公式求解即可.
【详解】设等比数列的首项为 ，公比为 （ ），
根据题意 即 ，解得 （ 舍），
而 ，故 ，所以
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选选：A.
6. 若 展开式中 的系数为 12，则其展开式中所有项的系数的和为（ ）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知系数列式求出 ，再应用赋值法计算系数和即可.
【详解】 的展开式中 的系数为 ，所以 ，
所以令 ，所以展开式中所有项的系数的和为 48.
故选：C.
7. 已知函数 ，则 ， ， 的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】易得函数为偶函数，利用导数判断函数 在 上的单调性，再根据函数的单调性和奇偶
性即可得解.
【详解】因为 ，
所以函数 为偶函数，
，
令 ，则 ，
所以函数 ，
即当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，
所以 .
故选：A.
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8. 如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线 绕其顶点分别逆时针旋转 ，
， 后所得的三条曲线及 围成的，若 ，则下列说法错误的是（ ）
A. 开口向上的抛物线的方程为
B. 四叶图上的点到点 的距离的最大值为
C. 动直线 被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为 2
D. 四叶图的面积小于 32
【答案】C
【解析】
【分析】由题意可得 ，可求得逆时针旋转 的抛物线方程判断 A； 与 的
交点 到原点的距离最大，计算可判断 B；分别求出抛物线 与抛物线 斜率为 1 的切线方程，
再求出它们的距离即可判断 C；.求出抛物线 在点 处的切线，求出该切线与 x 轴及直线
所围成三角形面积，再结合对称性即可推理得证.
【详解】对于 A，若 ，则抛物线 ，
若抛物线 绕其顶点逆时针旋转 ，可得抛物线方程为 ，
即 ，开口向上，故 A 正确；
对于 B，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于 ， 轴， 轴对称，
可知 与 的交点 到原点的距离是四叶图上的点到点 的距离最大的点，
解方程组可求得 ，所以 ，所以四叶图上的点到点 的距离的最大值为 ，故 B 正确；
对于 C，设直线 与抛物线 相切于点 ，
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由 ，消去 得 ，由 ，
得 ，切点 ，
设直线 与抛物线 相切于点 ，
由 ，消去 得 ，由 ，
得 ，切点 ，
直线 的斜率为 ，即直线 与直线 平行或重合，
所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为 ，故 C 错误.
对于 D，抛物线 ，求导得 ，
则抛物线在点 处的切线斜率为 ，
抛物线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
该切线交 轴于点 ，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于 ，
所以四叶图的面积小于 ，故 D 正确.
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故选：C.
【点睛】思路点睛：理解题意，结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象
单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解.
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 已知函数 ，则（ ）
A. B. 在 上单调递增
C. 有最小值 D. 有两个零点
【答案】BC
【解析】
【分析】首先求函数的导数，计算导数值即可判断 A；利用导数求出函数的单调区间及函数的最小值即可
判断 BC；结合函数的单调性利用最小值大于零即可判断 D.
【详解】 的定义域为 ， ，
对于 A， ，错误；
对于 B 和 C，由 ，得 ，当 ， ， 单调递减，
当 ， ， 单调递增，
所以当 时， 取得最小值 ，故 BC 正确；
对于 D，由 在 上单调递减，在 单调递增，且 的最小值为 ，
所以 无零点，错误．
故选：BC．
10. 暑假期间，甲同学早上去图书馆有三种方式：骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁，概率分别为
；又知道他骑共享自行车，乘公交车，或乘地铁时，到达图书馆能立即找到空座位的概率分别为
，下列说法正确的是（ ）
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A. 甲同学今天早上骑共享自行车出行与乘公交车出行是互斥事件
B. 甲同学今天早上乘公交车出行与乘地铁出行相互独立
C. 甲同学到达图书馆能立即找到空座位的概率大于
D. 若甲同学今天早上到达图书馆立即找到了空座位，则他是骑共享自行车出行的概率为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对 A，根据互斥事件的定义判断；对 B，根据相互独立事件的定义判断；对 C，由全概率公式求解
判断；对 D，由条件概率的计算公式求解判断.
【详解】设“甲同学今天早上骑共享自行车出行”为事件 A1，“甲同学今天早上乘公交车出行”为事件 A2，
“甲同学今天早上乘地铁出行”为事件 ，“甲同学到达图书馆能立即找到空座位”的事件为 B．
对于 A，A1 与 A2 不能同时发生，故 A 正确；
对于 B，因为 ， ，但 ，故 ，故 B 错误；
对于 C，由 ， ， ， ， ， ，
由全概率公式得：
．故 C 正确；
对于 D，由题意可知所求概率为 ；故 D 正确．
故选：ACD．
11. 在数列 中， ， ， ， 是数列 的前 项和，则（ ）
A. 数列 是等比数列 B. 数列 是等差数列
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据已知递推式得 ，结合等比、等差数列的定义判断 A、B；应用分
组求和及等差、等比数列前 n 项和公式求和判断 C、D.
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【详解】由 ，得 ，
则数列 是首项为 ，公比为 2 的等比数列，A 正确.
根据等比数列的通项公式得 ，即 ，则 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 1 的等差数列，B 正确.
根据等差数列的通项公式得 ，即 ，
所以 ，C 错误.
由 ，
，D 正确.
故选：ABD
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 设等差数列 的前 项和分别为 ，若 ，则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】根据等差数列的通项公式和前 n 项和公式可得出 ，然后即可得出答案.
【详解】因为 ，所以 .
故答案为： .
13. 已知 分别为双曲线 的左，右焦点，以 为直径的圆与其中一条渐
近线在第一象限交于点 ，过点 作另一条渐近线的垂线，点 恰在此垂线上，则双曲线 的离心率为
______．
【答案】2
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【解析】
【分析】由已知可推得 ，然后得出 ，即可根据 的关系得出
离心率.
【详解】
如图，设 为 与渐近线的交点，
由题意： ， ，
所以 Q 是线段 的中点，
所以 .
又直线 ， 是双曲线的渐近线，由双曲线对称性知 ，
所以 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 .
故答案为：2
14. 现将 8 个体积相同但质量均不同的小球放入恰好能容纳 8 个小球且底面圆直径与小球直径相同的圆柱形
卡槽内，这 8 个小球分别为 2 个红球、4 个白球、2 个黑球，若 4 个白球互不相邻，且其中一个白球不能放
入卡槽的两端，则共有______种不同的放法；若 2 个红球之间恰好有白球和黑球各 1 个，则共有______种
不同的放法．
【答案】 ①. 1728 ②. 3840
【解析】
【分析】依题意可将把 8 个小球放入卡槽内的过程转化为这 8 个小球位置上的排列组合问题，若 4 个白球
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互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，先排红球和黑球，再利用插空法排白球，按照分步乘法
计数原理计算可得；若 2 个红球之间恰好有白球和黑球各 1 个，先任选 1 个白球，1 个黑球放入 2 个红球中
间，再将 1 个白球，1 个黑球和 2 个红球进行捆绑与剩余的 4 个小球进行全排列，按照分步乘法计数原理计
算可得.
【详解】由题意可将把 8 个小球放入卡槽内的过程转化为这 8 个小球位置上的排列组合问题，
若 4 个白球互不相邻，且其中一个白球不能放入卡槽的两端，
先排红球和黑球共有 种方法，再排其中 1 个白球有 种方法，
最后排剩余的 3 个白球有 种方法，所以共有 种不同的放法．
若 2 个红球之间恰好有白球和黑球各 1 个，先任选 1 个白球，1 个黑球放入 2 个红球中间，有 种方
法，
又 2 个红球的放法有 种，
再将 1 个白球，1 个黑球和 2 个红球进行捆绑与剩余的 4 个小球进行全排列有 种，
所以共有 种不同的放法．
故答案 ： ；
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为迎接校篮球社团组织的“李宁杯”三人篮球赛，某班甲、乙两位同学决定提前训练，为比赛做准备.在投
篮训练中，甲、乙两位同学各自投篮，甲投一次得 3 分、2 分、0 分的概率分别为 ，乙投一次得 3
分、2 分、0 分的概率分别为 ，且甲、乙两人每次投篮的得分情况相互独立.
（1）若甲、乙两人各进行两次投篮，求甲、乙的总得分不少于 11 分的概率；
（2）若甲、乙两人各进行一次投篮，记两人的总得分为 ，求 的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，数学期望为
【解析】
【分析】（1）甲、乙的总得分不少于 11 分包含甲、乙两人各投两次且两人两次全得 3 分，或者一人两次全
得 3 分，另一人一次得 3 分，一次得 2 分两种情况.根据相互独立事件概率公式求解即可；
（2）甲、乙两人各进行一次投篮的总得分 的所有可能取值为 0，2，3，4，5，6，分别对每一个取值求
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概率即可得随机变量的分布列与数学期望.
【小问 1 详解】
设事件 为“甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于 11 分”，
则事件 包含甲、乙两人各投两次且两人两次全得 3 分，或者一人两次全得 3 分，另一人一次得 3 分，一
次得 2 分两种情况.
故 ，
故甲、乙两人各进行两次投篮，总得分不少于 11 分的概率为 .
【小问 2 详解】
甲、乙两人各进行一次投篮的总得分 的所有可能取值为 0，2，3，4，5，6，
则 ；
；
；
；
；
.
故 的分布列为
0 2 3 4 5 6
所以 .
16. 如图，在三棱柱 中， 平面 ， 是边长为 2 的正三角形， ，
， 分别为 ， 的中点.
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（1）求证： 平面 ；
（2）求直线 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析.
（2）
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推理得证.
（2）以 D 为原点建立空间直角坐标系 ，求出平面 的法向量，再利用空间向量求出线面角的
正弦即可.
【小问 1 详解】
在三棱柱 中，由 底面 , 平面 ，得 ，
由 为等边三角形， 为 的中点，得 ，
而 平面 ，所以 平面 .
【小问 2 详解】
取 中点 ，连结 ，由 为 的中点，得 ，
由（1）知 平面 ， 平面 ，则 ，而 ，
以点 原点，直线 分别为 轴建立空间直角坐标系 ，
则 ， ，
， ，设平面 的法向量 ，
则 ，令 ，得 ，而 ，
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设直线 与平面 所成角为 ，则 ，
所以直线 与平面 所成角的余弦值为 .
17. 正项数列 的前 项和为 ， ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 ；
（3）在（2）的条件下，若对于任意正整数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当 时， ，与题目式子联立化简得 ，
从而 ，再求出 ，根据等差数列的定义求出通项公式即可；
（2）先求出 ，然后利用错位相减法求和即可；
（3）由题意得 恒成立，设 ，进而得数列 是递减数列，求出数列 的
最大值为 ，即可求解.
小问 1 详解】
当 时， ，
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有 ，
整理得 ，又 ，有 ，
所以 ，
当 时， ，整理得 ，得 （舍）或 ，
所以数列 是等差数列，首项 ，公差为 ， ，
因此数列 的通项公式 ；
【小问 2 详解】
由（1）知 ，
①
②
①—②得 ，
所以 ；
【小问 3 详解】
若不等式 恒成立，即 ，
等价于 恒成立，
设 ，则有 ，
对 ，所以 ，即 ，
可知数列 是递减数列，
数列 的最大值为 ，所以 ，
因此实数 的取值范围为 ．
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18. 已知双曲线 的离心率为 2，右顶点 到一条渐近线的距离为 ．
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线 交于 两点，且 为坐标原点，求证：点 到直线 的距离为定
值．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）由题意得双曲线 的渐近线方程为 ，右顶点为 ，利用点到直线的距离得
，又离心率 ，即可求解；
（2）当直线 和轴线平行时得点 到直线 距离为 ，当直线 和轴线不平行时，设直线 的方程为
，与双曲线联立，由韦达定理有 ，又 得
，最后由点到直线的距离即可得证.
【小问 1 详解】
由题意，得双曲线 的渐近线方程为 ，右顶点为 ．又 ，
且 ，
所以 ，故 ．
又 ，解得 ，
所以双曲线 的方程为 ．
【小问 2 详解】
设 ，
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当直线 和轴线平行时， ，
解得 ，
所以点 到直线 的距离为 ．
当直线 和轴线不平行时，设直线 的方程为 ，
由 得
所以 ．
又 ，
所以
解得 ．
又点 到直线 的距离为 ，则 ，故 ，即点 到直线 的距离为 ．
综上所述，点 到直线 的距离为定值 ．
19. 已知函数 （其中 e 为自然对数的底数）.
（1）求函数 的最小值；
（2）若 ，且 在 上恒成立，求 的最大值；
（3）求证： .
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【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对 求导，根据单调性可得 的最小值；
（2）令 ，求导得到 的最小值，令 ，得到 ，再令
，求导得到 的最大值，即得结果；
（3）令 ，对 求导，通过分析 的单调性即可求证.
【小问 1 详解】
因为 ，所以 .
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 .
【小问 2 详解】
令 ， ，
由 得出 ；由 得出 ，
； ， ，
令 ， ； ，
时， ， 单调递增； 时， ， 单调递减，
则 是 的极大值点， ， 的最大值为 ；
【小问 3 详解】
证明：要证 ，
只需证明： 对于 恒成立，
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令 ，则 ，
当 时，令 ，则 ，
在 上单调递增，即 在 上为增函数.
又因为 ， ，
所以存在 使得 .
由 ，得 即 即 ，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，所以 ，即 .
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