陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷（解析版）

这是一份陕西省咸阳市实验中学2025-2026学年高二上学期第二次质量检测数学试卷（解析版），共20页。试卷主要包含了 下列命题为真命题的是， 已知圆，则下列结论正确的有等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟.
2.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级和准考证号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效.
4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效.
5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则实数（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据平面的位置关系可得法向量关系，根据坐标运算可求结果.
【详解】因为，所以，
所以，所以，
故选：D.
2. 若直线与直线平行，则与之间的距离是（ ）
A. 3B. 1C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】先利用平行直线的判定可求出，再利用平行直线间的距离公式可得答案.
【详解】对于 ：斜率 ，
对于 ：，斜率 ，
因为，所以，
即：，
因此， 的方程为：，即，
两条平行直线之间的距离为：
.
故选：A
3. 已知定点，，动点满足，则动点的轨迹方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】题目条件符合椭圆的定义，求出即可写出轨迹方程
【详解】结合椭圆定义可知，动点的轨迹为以，为焦点且长轴长为6的椭圆，，，所以，动点的轨迹方程为.
故选：B
4. 如图是济新高速黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地针式回转缆悬索桥.大桥主跨长约500米，主塔高约100米，缆悬索是以为顶点且开口向上的抛物线的一部分，若为抛物线的焦点，则主塔端点到焦点的距离约为（ ）

A. 1350米B. 758米C. 725米D. 558米
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，建立直角坐标系，求出其准线方程，结合抛物线的定义即可求解.
【详解】以为原点，直线为轴，过且与主塔平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，
连接，，则，
设抛物线的方程为，
则，解得，
因此抛物线的焦点为，
准线方程为，
利用抛物线的定义得：.
故选：C

5. 在空间直角坐标系中，定义：经过点且一个方向向量为的直线的方程为，经过点且一个法向量为的平面的方程为.现给出平面的方程为，经过点的直线的方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】求出直线的一个方向向量和平面的一个法向量，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.
【详解】直线的方程可化为，所以直线的一个方向向量为，
易知平面的一个法向量为，
所以.
因此，直线与平面所成角的正弦值为.
故选：B.
6. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线左支上一点，点，则周长的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由双曲线的定义得出，即得出的周长为，由点为线段与双曲线的交点时，周长取最小值，即可求解.
【详解】如下图所示：

在双曲线中，，，则，则、，
由双曲线的定义可得，所以，
所以的周长为
，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时，等号成立，
故周长的最小值为.
故选：C.
7. 已知圆上到直线的距离等于1的点恰有两个，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断圆心到直线的距离，利用距离公式列不等式即解得参数的取值范围.
【详解】圆的圆心是，半径，
而圆上恰有两个点到直线的距离等于1，
所以圆心到直线的距离，满足，
即，解得或.
故选：D.
8. 已知椭圆的右顶点，上顶点和上焦点分别是，若轴恰与过三点的圆相切，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用过三点的圆恰与轴相切，求出圆的标准方程，再利用点在圆上，坐标适合方程即可求解．
【详解】由已知可得：，，，
线段的垂直平分线方程为，过三点的圆恰与轴相切，
所以圆心坐标为，圆的半径为，
所以经过三点的圆的方程为，
在圆上，所以，
整理得：，所以，所以，
化为：，由，解得．
故选：B．
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 已知向量，则任意向量都不能与构成空间的一个基底
B. 若直线的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则
C. “存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件
D. 已知是空间的一个基底，且，则点在平面内，且为的重心
【答案】ACD
【解析】
【分析】A：根据空间的基底的概念作出判断；B：根据直线在平面内和不在平面内讨论；C：根据互相推出关系作出判断；D：先化简得到证明点在面内，再根据重心是中线的交点作出判断.
【详解】对于A：因为，所以共线，所以任意向量与都共面，
所以任意向量都不能与构成空间的一个基底，故A正确；
对于B：因为，所以，所以，
此时或，所以不一定成立，故B错误；
对于C：“存在实数，使”可以推出“与共面”，
但“与共面”不一定能推出“存在实数，使”，
例如：当共线但与不共线时，与共面，但不存实数，使，
所以“存在实数，使”是“与共面”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：因为，所以，
所以，所以，
所以共面且有公共点，所以点在平面内；
取中点，则有，
同理取中点，则有，
所以为的重心，故D正确；

故选：ACD.
10. 已知圆，则下列结论正确的有（ ）
A. 的取值范围为
B. 若，则点在圆内
C. 若，则直线与圆相离
D. 若，圆关于直线对称的圆的方程为
【答案】ABD
【解析】
【分析】A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程.
【详解】，圆心，半径，
对于A：因为，所以，故正确；
对于B：因为，，
所以，所以点在圆内，故正确；
对于C：当时，，圆心到直线的距离，
所以直线与圆相切，故错误；
对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆，
所以圆的方程为，故正确；
故选：ABD.
11. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）
A. 直线的斜率为B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由，求得，为钝角即可判断D选项.
【详解】
对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，
代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；
对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，
设，则，则，代入抛物线得，解得，则，
则，B错误；
对于C，由抛物线定义知：，C正确；
对于D，，则为钝角，
又，则为钝角，
又，则，D正确.
故选：ACD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知双曲线的离心率是，则双曲线的实轴长为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据离心率的公式以及可求解出的值，则结果可知.
【详解】因为，解得，所以实轴长为，
故答案为：.
13. 已知两点分别在圆和圆上，则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】判断出两圆外离，根据求解即可.
【详解】因为，，
所以，
所以圆与圆外离，

所以.
故答案为：
14. 已知正方体棱长为，点是正方体外接球的球面上一点，为正方体内切球的球面上的两点，若，则__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据的长度判断出其为内切球的直径，然后通过化简可得，代入外接球和内切球的半径可计算出结果.
【详解】因为正方体棱长为，所以外接球的半径为，内切球的半径，
因为，所以是内切球的直径，如图所示，设两个球心均为，
所以，
所以，
故答案为：.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15. 已知的三个顶点的坐标分别为.
（1）求边上的高所在直线的一般式方程；
（2）求的平分线所在直线的斜截式方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出直线的斜率，可得出边上的高所在直线的斜率，可得出边上的高所在直线的点斜式方程，化为一般式方程即可；
（2）由图可知，所以的平分线所在直线的斜率为，可得到的平分线所在直线的点斜式方程，化为斜截式方程即可.
【小问1详解】
因为点、，则，
所以，边上的高所在直线的斜率为，
又，所以边上的高所在直线的方程为，即，
即边上的高所在直线的一般式方程为.
【小问2详解】

如图，可得，所以的平分线所在直线的倾斜角为，斜率为，
又，所以的平分线所在直线的方程为，即，
即的平分线所在直线的斜截式方程为.
16. 已知双曲线的焦距为，其渐近线方程为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点的直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；
（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.
【小问1详解】
由题意知，，
解得，故双曲线的方程为.
【小问2详解】
①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，
则点必在轴上，这与矛盾；
②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，
设，因为点为线段的中点，
所以，
因为在双曲线上，所以，
则，
所以，
则所求直线方程为，即.
经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.
17. 已知圆的方程为，其中.
（1）若圆和圆的公共弦长为，求的值；
（2）若过点的圆与圆相切，切点为，求圆的标准方程.
【答案】（1）或
（2）
【解析】
【分析】（1）将两圆方程作差可得相交弦所在直线的方程，求出圆心到相交弦所在直线的距离，再利用勾股定理可得出关于的等式，解之即可；
（2）记点、，分析可知圆心为直线和线段垂直平分线的交点，联立这两条直线的方程，可得出圆心的坐标，进而可得出圆的半径，即可得出圆的方程.
【小问1详解】
因为圆的方程为，则，解得，
将两圆方程作差可得，即为两圆相交弦所在直线的方程，
圆的圆心为，半径为，
由勾股定理可知，圆心到直线的距离为，
由点到直线的距离公式可得，解得或.
【小问2详解】
由题意可知，点在圆上，则，解得，
故圆的方程为，其标准方程为，

记点、，
由圆的几何性质可知，圆心在直线上，
且，所以直线的方程为，即，
因为圆过点、两点，所以圆心在线段的垂直平分线上，
线段的中点为，，
故线段的垂直平分线的方程为，即，
联立，解得，即圆心，
所以，圆的半径为，
故圆的方程为.
18. 如图1，在等腰直角中，分别为的中点.将沿向平面上方翻折，得到如图2所示的四棱锥，且.记的中点为，动点在线段上运动.

（1）证明：平面；
（2）若，求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求动点到直线的距离的取值范围.
【答案】（1）见解析 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；
（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；
（3）根据向量共线求出，利用空间向量表示出点到直线距离，利用二次函数性质求范围即可．
【小问1详解】
因为折叠前为中点，，所以，折叠后，，
所以，所以，在折叠前分别为中点，
所以，又因为折叠前，所以，
所以在折叠后，，；
以为坐标原点， 、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，

则，，，，，
为中点，所以，，
设平面的法向量为，又，，
所以，即，令，则，，所以，
所以，则，
所以平面；
小问2详解】
设，由（1）知，，因为动点Q在线段上，
且，所以，所以，
所以，，，所以，，
，设平面的法向量为，
，即，令，则，，所以，
设平面的法向量为，
所以，
所以平面与平面夹角的余弦值为；
【小问3详解】
设，，，动点Q在线段上，
所以，，即，即，
所以，，，
设点Q到线段距离为，，
，，
，，令，，
则，，根据二次函数的性质可知，
所以，由此可知动点Q到线段的距离的取值范围为．
19. 已知椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆的左焦点作不与轴重合的直线与椭圆相交于两点，过点作直线的垂线为垂足.求：
①已知直线过定点，求定点的坐标；
②点为坐标原点，求面积的最大值.
【答案】（1）
（2）①；②
【解析】
【分析】（1）根据题意，利用椭圆的几何性质，得到，结合，求得的值，即可求得椭圆的标准方程；
（2）①设直线为，联立方程组，求得，求得直线的方程为，令，得到，即可得到直线过定点；.
②利用韦达定理求得，得到，令，转化为，结合的单调性，即可求解.
【小问1详解】
解：由椭圆上的点到两焦点的最大矩离和最小距离分别为3和1，
由椭圆的几何性质，可得，解得，则，
所以椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
解：①由题意，根据椭圆的对称性可得，点必在上，且，
设直线的方程为，且，
联立方程组，整理得，
所以，可得，
又由，所以直线的方程为，
令，则，
所以直线过定点.
②由①知：，
可得，
所以，
令，则，所以，
因为函数在上为单调递增函数，
所以在上为单调递减函数，
故当时，面积取得最大值，最大值为.
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值与范围问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）单调性法；（4）三角换元法；（5）导数法等，要特别注意自变量的取值范围；
（3）涉及直线与圆锥曲线的综合问题：通常设出直线方程，与圆锥曲线联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时抓住直线与圆锥曲线的几何特征应用.