4.2.2 合并同类项的应用（课件）冀教版2025-2026学年七年级数学上册

幻灯片 1：封面标题：4.2.2 合并同类项的应用幻灯片 2：学习目标能运用合并同类项解决实际问题中的数量计算，理解其在简化运算中的作用。掌握通过合并同类项化简多项式后求值的方法，提高计算效率。学会利用合并同类项解决多项式中的系数问题，培养综合运用知识的能力。幻灯片 3：情境引入 —— 合并同类项的实用价值展示场景：某商店销售三种文具：笔记本每本 5 元，买了 x 本；钢笔每支 8 元，买了 y 支；橡皮每块 2 元，买了 x 块。计算总费用时，如何简化计算？化简多项式 3x² + 2x - 5 + 4x² - x + 7，若不合并同类项直接代入 x=2 计算，与合并后再计算，哪种更简便？提问：合并同类项在实际问题和代数式计算中能发挥怎样的作用？引入：合并同类项不仅是一种代数运算，更能简化实际问题的计算和代数式的求值过程，本节课我们将学习合并同类项的具体应用。幻灯片 4：应用场景 1—— 解决实际问题中的费用、数量计算核心思路：在实际问题中，先根据题意列出含同类项的多项式，再通过合并同类项化简，最后代入数值计算结果。步骤：分析问题，确定数量关系，列出代数式（含多个同类项）。合并同类项，简化代数式。代入已知条件，计算实际结果并解释意义。实例：某班购买运动会道具，买了 a 个单价为 15 元的花环，b 个单价为 8 元的气球，又买了 a 个单价为 5 元的彩带。列代数式：总费用 = 15a + 8b + 5a。合并同类项：(15a + 5a) + 8b = 20a + 8b。若 a = 10，b = 20，总费用 = 20×10 + 8×20 = 200 + 160 = 360（元）。幻灯片 5：例题 1—— 实际购物费用计算题目：某超市促销，苹果每千克 6 元，香蕉每千克 4 元。妈妈买了 x 千克苹果和 y 千克香蕉，后来又买了 2 千克苹果。（1）用含 x、y 的代数式表示妈妈购买水果的总费用；（2）若 x = 3，y = 2，计算总费用。解答过程：（1）第一次买苹果费用 6x 元，香蕉费用 4y 元，第二次买苹果费用 6×2 = 12 元，总费用 = 6x + 4y + 12。合并同类项后仍为 6x + 4y + 12（无其他同类项）。（2）当 x = 3，y = 2 时，总费用 = 6×3 + 4×2 + 12 = 18 + 8 + 12 = 38（元）。答案：（1）总费用为（6x + 4y + 12）元；（2）总费用为 38 元。幻灯片 6：应用场景 2—— 化简多项式后求值核心思路：对于复杂多项式，先通过合并同类项化简为最简形式，再代入字母的值计算，可减少运算步骤和错误。优势：化简后多项式项数减少，系数简化，代入计算更快捷，尤其适合含多个同类项的多项式。步骤：对多项式进行合并同类项化简。将字母的具体值代入化简后的多项式。计算结果。幻灯片 7：例题 2—— 化简求值题目：先合并同类项，再求值：多项式 3x²y - 2xy² + 5xy - 3x²y + xy² - 2xy，其中 x = 2，y = -1。解答过程：合并同类项：(3x²y - 3x²y) + (-2xy² + xy²) + (5xy - 2xy)= 0x²y - xy² + 3xy= -xy² + 3xy。代入求值：当 x = 2，y = -1 时，原式 = -2×(-1)² + 3×2×(-1)= -2×1 + (-6)= -2 - 6 = -8。答案：化简结果为 - xy² + 3xy，值为 - 8。幻灯片 8：应用场景 3—— 解决多项式中的系数问题核心思路：若多项式化简后不含某类项，则该类项的系数为 0，据此可求解字母参数的值。关键：合并同类项后，令不含的项的系数等于 0，建立方程求解。步骤：合并多项式中的同类项。找出题目中 “不含的项”，令其系数为 0。解方程求出字母参数的值。幻灯片 9：例题 3—— 多项式不含某项求系数题目：已知多项式 2x² + ax - y + 6 - (bx² - 3x + 5y - 1) 化简后不含 x² 项和 x 项，求 a、b 的值。解答过程：去括号（后续将学习去括号法则，此处暂按分配律处理）：2x² + ax - y + 6 - bx² + 3x - 5y + 1。合并同类项：(2x² - bx²) + (ax + 3x) + (-y - 5y) + (6 + 1)= (2 - b) x² + (a + 3) x - 6y + 7。不含 x² 项和 x 项，令系数为 0：2 - b = 0 → b = 2；a + 3 = 0 → a = -3。答案：a = -3，b = 2。幻灯片 10：应用场景 4—— 几何图形中的面积、周长计算核心思路：在几何图形问题中，用字母表示边长、半径等，列出面积或周长的多项式，合并同类项后简化表达式，再代入计算。实例：一个长方形的长为 (3x + 2) 厘米，宽为 (x - 1) 厘米，另一个长方形的长为 (2x - 1) 厘米，宽为 x 厘米。求两个长方形的面积之和。面积之和 = (3x + 2)(x - 1) + (2x - 1) x（后续学习整式乘法后可展开），展开后合并同类项得简化结果。幻灯片 11：例题 4—— 几何图形周长计算题目：一个三角形的三边长分别为 (2a + b) 厘米、(a - 2b) 厘米和 (3a + b) 厘米，求该三角形的周长。若 a = 3，b = 1，周长是多少厘米？解答过程：周长 = (2a + b) + (a - 2b) + (3a + b)。合并同类项：2a + b + a - 2b + 3a + b= (2a + a + 3a) + (b - 2b + b)= 6a + 0b = 6a。代入求值：当 a = 3，b = 1 时，周长 = 6×3 = 18（厘米）。答案：周长为 6a 厘米，当 a = 3，b = 1 时，周长为 18 厘米。幻灯片 12：易错点提醒实际问题列代数式错误：忽略同类项的存在，列出的代数式未包含所有同类项，例如购物问题中遗漏第二次购买的同类商品费用。化简不彻底：合并同类项时未将所有同类项合并，导致后续代入计算复杂，例如遗漏常数项的合并。系数为 0 的理解错误：在 “不含某项” 的问题中，误将该项的字母或指数去掉，而不是令系数为 0，例如认为不含 x² 项则 x² 项消失，而非系数为 0。代入数值符号错误：代入负数或分数时未加括号，导致计算错误，例如代入 y = -1 到 - xy² 中写成 - x -1²，而非 - x×(-1)²。几何图形公式记错：在几何应用中，误用面积或周长公式，导致列出的多项式错误，影响后续合并。幻灯片 13：巩固练习题目 1：某工厂第一天生产零件 (5x + 2y) 个，第二天生产零件 (3x - y) 个，第三天生产零件 (2x + 3y) 个。（1）三天共生产零件多少个？（用含 x、y 的代数式表示）（2）若 x = 100，y = 50，三天共生产零件多少个？题目 2：先合并同类项，再求值：5a² - 4a²b + 7a² - 4a²b - 6ab²，其中 a = -1，b = 2。题目 3：若多项式 (2x² + mx - 8) - (nx² - 2x + 7) 化简后不含 x² 项和 x 项，求 m + n 的值。解答：（学生解答后展示正确答案）题目 1 答案：（1）(5x + 2y) + (3x - y) + (2x + 3y) = 10x + 4y；（2）当 x = 100，y = 50 时，10×100 + 4×50 = 1000 + 200 = 1200（个）。题目 2 答案：合并得 (5a² + 7a²) + (-4a²b - 4a²b) - 6ab² = 12a² - 8a²b - 6ab²；代入得 12×(-1)² - 8×(-1)²×2 - 6×(-1)×2² = 12 - 16 + 24 = 20。题目 3 答案：化简得 (2 - n) x² + (m + 2) x - 15；不含 x² 项和 x 项，故 2 - n = 0，m + 2 = 0 → n = 2，m = -2；m + n = 0。幻灯片 14：课堂总结实际问题应用：列代数式→合并同类项→代入求值，简化费用、数量等计算。化简求值应用：先合并同类项化简多项式，再代入计算，减少运算量。系数问题应用：合并后令不含项的系数为 0，求解字母参数。几何应用：结合图形公式列多项式，合并后简化表达式再计算。核心价值：合并同类项是简化代数式和解决实际问题的重要工具，能提高计算准确性和效率。幻灯片 15：作业布置教材课后对应提升习题，练习合并同类项的各类应用。某小区计划种植两块草坪，第一块草坪面积为 (3x² - 2xy + y²) 平方米，第二块草坪面积为 (x² + 4xy - 2y²) 平方米。（1）两块草坪的总面积是多少平方米？（2）若 x = 5，y = 3，总面积是多少平方米？已知多项式 3x³ + mx² + nx + 42 能被多项式 x² - 5x + 6 整除（即化简后不含余式），且合并同类项后 x² 项和 x 项的系数为 0，求 m、n 的值。2024冀教版数学七年级上册授课教师： . 班 级： . 时 间： .   方法一 方法二观察上面两种解法，哪种方法更简单？  在通常情况下，先化简，再求值比较简单。 例 某学校组织七、八年级全体同学参观革命老区西柏坡．七年级租用45座大巴车x辆，60座大巴车y辆；八年级租用60座大巴车x辆，30座中巴车y辆(以上三种车型，座位均不含司机)．当每辆车恰好坐满时：(1)用含x，y的代数式表示该学校七、八年级学生人数．(2)当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有多少学生？(1)用含x，y的代数式表示该学校七、八年级学生 人数．解：由题意可得七年级有学生(45x+60y)人， 八年级有学生(60x+30y)人． 七、八年级共有学生的人数为 45x+60y+60x+30y=105x+90y (2)当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有多少学生？当x=4，y=7时，105x+90y=105 × 4+90×7=1050答：当x=4，y=7时，该学校七、八年级共有1050名学生.1.合并同类项： x3－x2y+xy2+x2y－xy2+y32.当a= －2时，求4a+3a3－6a－2a3+13的值解：原式= x3+y3解：原式=－2a+a3+13 当a=－2时，原式=4+（－8）+13=9.3.已知5ab－a2+2a2－7ab－6a2=ma2+nab.求m+n的值.解：由题可知n=－2， m=－5∴m+n=－2+(－5)=-74.已知x+y=1，求3（x+y）2-7（x+y）+8（x+y）2+6（x+y）的值.解：原式=11（x+y）2+7（x+y）因为x+y=1，所以原式=18.   B  1 返回   377 返回4. 教材P142例2 先化简，再求值：      返回    返回   960 返回通过本节课的学习你有哪些感悟和收获？ 必做作业：从教材习题中选取；选做作业：完成练习册本课时的习题.谢谢观看！