四川省成都市玉林中学2025-2026学年高二上学期12月期中数学试卷（Word版含解析）

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命题人：宋永祥 审题人：彭晓夏 审核人：陈虹君
（时间：120 分钟；总分：150 分）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选
项是正确的.
1. 直线 的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用一般式直线方程求出斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线方程 ，则直线的斜率为 ，即为倾斜角的正切值，
所以倾斜角的大小为 .
故选：D
2. 已知空间三点 ， ， ，若 三点共线，则 （ ）．
A. B. 1 C. D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】求出向量 与向量 的坐标，根据 三点共线，可得向量 与向量 共线，由此即可
求出结果.
【详解】因为 ， ，且 三点共线，
所以向量 与向量 共线，
所以 ，得 ．
故选：C.
3. 下列命题中是假命题的是（ ）
A. 有 ， ， 三种个体按 的比例分层抽样调查，如果抽取的 个体数为 9，则样本容量为 18
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B. 一组数据 2，1，4，3，5，3 的平均数、众数、中位数相同
C. 如果一组数据的方差为零，则这组数据的极差可能不为零
D. 若样本数据 的标准差为 8，则数据 的标准差为 16
【答案】C
【解析】
【分析】由分层抽样公式求样本容量判断 A 选项；分别计算这组数据的平均数、众数、中位数，即可判断
B 选项；根据方差和极差的定义判断 C 选项；利用方差的性质可求得变化之后数据的标准差判断 D 选项.
【详解】对于 A：设样本容量为 ，则 ，解得 ，故 A 为真命题；
对于 B：平均数为 ，众数为 3，中位数为 ，故 B 为真命题；
对于 C：如果一组数据的方差为零，则这组数据中的每个数据都相等，所以这组数据的极差一定为零，故 C
为假命题.
对于 D： ，则 ，
故数据 的标准差为 16，故 D 为真命题.
故选：C
4. 直线 ： 被圆 ： 所截得的弦长为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出弦心距，然后根据圆的弦长公式直接求解即可.
【详解】圆 ： ，所以圆心 ，半径 ，
所以弦心距为 ，
所以弦长为 .
故选：B
5. “ ”是“直线 与直线 平行”的（ ）
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A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行的条件，判断“ ”和“直线 与 平行”之间的
逻辑关系，即可得答案.
【详解】当 时，直线 与 平行；
当直线 与 平行时，
有 ，解得 或 ，
当 时， 与 重合，不合题意；
当 时，直线 与 平行；
故“ ”是“直线 与 平行”的充要条件，
故选：C
6. 如图，用 K、A1、A2 三类不同的元件连接成一个系统．当 K 正常工作且 A1、A2 至少有一个正常工作时，
系统正常工作，已知 K、A1、A2 正常工作的概率依次是 0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为
A. 0.960 B. 0.864 C. 0.720 D. 0.576
【答案】B
【解析】
【详解】A1、A2 同时不能工作的概率为 0.2×0.2＝0.04，所以 A1、A2 至少有一个正常工作的概率为 1－0.04
＝0.96，所以系统正常工作的概率为 0.9×0.96＝0.864.故选 B.
考点：相互独立事件的概率.
7. 已知点 ， .若直线 ： 与线段 相交，则 的范围是（ ）
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A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先求出直线 过定点 ，再求出临界点处直线的斜率，结合图象得到不等式组，解得即可.
【详解】因为直线 ： ，即 ，
令 ，解得 ，
所以直线 过定点 ，
又 ， ，直线 的斜率为 ，
要使直线 与线段 有公共点，由图可知 ，即 的取值范围是 .
故选：A
8. 已 知 ， 且 ， 则 代 数 式
的最小值为（ ）
A. B. 18 C. 12 D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】设 与 ， 为 的中点，可证明点 在以 为圆心，
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为 半 径 的 圆 上 ， 由
，结合两点
距离的几何意义即可求解.
【详解】
设 与 为圆 上一点，
则 ，得 ，
，即 为等腰直角三角形，
设 为 的中点，则 ，
得 ，即点 在以 为圆心， 为半径的圆上，
故 ，
所以点 到定点 的距离的最小值为 ，
因此 的最小值为 .
故选：D
二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
9. 圆 ： 与圆 ： 相交，则 的值可以是（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
【答案】ABC
【解析】
【分析】根据圆与圆的位置关系列不等式即可得 的取值范围，从而得所求.
【详解】因为圆 ： 的圆心为 ，半径为 ，
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圆 ： 的圆心 ，半径为 ，
由于两圆相交，则 ，
所以 ，解得 ，
故 的值可以是 4,5,6.
故选：ABC.
10. 设 ， 是同一试验中的两个事件，下列说法正确的是（ ）
A. 如果 ，那么 与 相互对立
B. 若 ，则 ， 是互斥事件
C. 从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，则事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”
是对立事件
D. 已知事件 ， 发生的概率分别为 ， 且 ，则事件 ， 相互独立
【答案】BD
【解析】
【分析】举反例判断 A；根据互斥事件的概念及加法概率公式判断 B；根据对立事件的概念判断 C；根据独
立事件的概念判断 D.
【详解】选项 A：设连续掷一枚质地均匀的硬币 2 次的试验中，
设 “至少有一次正面向上”， “两次都是正面”，
显然 ，但 与 不是对立事件，故 A 错误；
选项 B：由 ， ，
得 ，所以 ， 是互斥事件，故 B 正确；
选项 C：从装有两个红球和三个黑球的袋子中任取两个球，有如下结果：
一个红球和一个黑球；两个都是红球；两个都是黑球；
故事件“恰好有一个黑球”与事件“恰好有两个黑球”是互斥事件，不是对立事件，故 C 错误；
选项 D：根据相互独立事件的定义，若事件 与 满足 ，则 与 相互独立，
因为 ， ， ，满足 ，
因此事件 ， 相互独立，故 D 正确.
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故选： BD
11. 已知直线 ： ，圆 ： ，动点 在直线 上，过点 作圆 的两条切
线；切点分别为 、 ，则下列描述正确的有（ ）
A. 若 ，则 B. 圆 上有 2 个点到直线 的距离为 1
C. 存在点 ，使得 D. 直线 过定点
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用切线长公式求解判定 A；圆心到直线的距离及点与圆的位置关系可判定 B；由切线长定理结合
正弦函数的单调性确定 的最大值即可判定 C，根据两圆的位置关系及公共弦方程可得直线 方程
判定 D.
【详解】圆 ： 圆心 ，半径 ，连接 ，
对于 A，若 ，则 ，故 A 错误；
对于 B，点 到直线 的距离 ，故直线 与圆 相离，
因为 ，所以圆 上有 2 个点到直线 的距离为 1，故 B 正确；
对于 C，由切线长定理知， ，而 ，
又 是锐角，正弦函数 在 上单调递增，则 的最大值为 ，
当且仅当 时取等号，因此 的最大值为 ，故存在点 ，使得 ，故 C 正确；
对于 D，设 ，则以 为直径的圆的方程为 ，
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即 ，
与已知圆的方程相减可得直线的方程为 ，
即 ，由 ，解得 ，
即直线 过定点 ，故 D 正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 已知 是直线 的方向向量， 是平面 的法向量，如果 ，则 ______.
【答案】
【解析】
【分析】利用线面平行的向量性质，将几何问题转化为向量的数量积运算问题，通过解方程求解实数 即
可.
【详解】因为直线 的一个方向向量为 ，平面 的一个法向量为 ，
当 ，可得 ，所以 ，
即 ，所以 ，解得 .
故答案为： .
13. 为了估计某自然保护区中天鹅的数量，使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，例如 200
只，给每只天鹅做上记号，不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让其和保护区中其余的天
鹅充分混合；再从保护区中捕捉一定数量的天鹅，例如 150 只，查看其中有记号的天鹅，设有 20 只.根据上
述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量为________.
【答案】1500 只
【解析】
【分析】根据样本数据估计总体数据即可.
【详解】由题可设该自然保护区中天鹅的数量的估计值为 ，
从而可得 ，解得 ，
故该自然保护区中天鹅的数量估计值为 1500 只.
故答案为：1500 只.
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14. 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯
圆是他的研究成果之一.阿波罗尼斯圆指的是：若平面内动点 与两定点 ， 的距离之比
，那么点 的轨迹是圆.已知动点 与定点 和定点 的距离之
比为 2，动点 的轨迹方程为 .若点 在直线 上，则 的最小值为
______.
【答案】
【解析】
【分析】令 ，应用两点距离公式列方程求 轨迹，结合已知圆的方程求出 及点 的坐标，再由
，数形结合求目标式最小值.
【详解】设 ，依题意， ，即 ，
整理得 ，则 ，解得 ，即 ，
点 到直线 的距离为 ，
由 得 ，
当且仅当 三点共线时取等号，
此时直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ，即 ，
圆心 到直线 的距离为 ，故存在点 使得 三点共线，
所以 最小值为 .
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故答案为：
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知直线 ．
（1）求经过点 ，且垂直于直线 的直线的方程；
（2）求与直线 平行，且到直线 的距离为 的直线的方程．
【答案】（1） ；
（2） 或 .
【解析】
【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系好点斜式方程可得；
（2）设出所求方程，利用平行直线的距离公式求解可得.
【小问 1 详解】
由题知，直线 的斜率为 ，所以，所求直线的斜率为 ，
又直线过点 ，由点斜式方程得所求直线方程为 ，
整理得 ．
【小问 2 详解】
设所求直线方程为： ，
则 ， ， 或 ，
或 为所求．
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16. 已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）从点 向圆 C 作切线，求切线方程．
【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆
相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【小问 1 详解】
由题可知 ,所以线段 的中垂线的斜率等于 1，
又因为 的中点为 ，
所以线段 的中垂线的直线方程为 ，
即 ，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于 ,所以圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
设圆 的半径为 ，则 ，
若直线的斜率不存在，因为直线过点 ，
所以直线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线 距离 ，
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解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
所以切线方程 或 .
17. 某高校承办了 2025 怒江傈僳“阔时”文化节志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了 100 名候选者的面试
成绩，并分成五组：第一组 ，第二组 ，第三组 ，第四组 ，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为 0.7，第一组和第五组的频率相同.
（1）求 的值；
（2）估计这 100 名候选者面试成绩的众数和 分位数（分位数精确到 0.1）；
（3）在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取 5 人，然后再从这 5 人中选出 2 人，以确
定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】（1） ，
（2）众数为 70； 分位数为 71.7
（3）
【解析】
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为 1 可得 ；
（2）根据频率分布直方图中百分位数和中位数的计算求解即可；
（3）先由分层抽样得出第四、第五两组志愿者抽取的人数，再利用古典概型的概率公式求解．
【小问 1 详解】
因为第三、四、五组的频率之和为 0.7，
所以 ，解得 ，
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所以前两组的频率之和为 ，即 ，所以 .
【小问 2 详解】
根据频率直方图可知，众数为 ；
前两个分组频率之和为 0.3，前三个分组频率之和为 0.75，
所以 分位数在第三组，且为 ．
【小问 3 详解】
第四、第五两组志愿者分别有 20 人，5 人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为 4，分别设为 ，第五组志愿者人数为 1，设为 ，
这 5 人中选出 2 人，所有情况有
，共有 10 种情况，
其中选出的两人来自不同组的有 ，共 4 种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为 ．
18. 如图，在四棱锥 中， ， ， ， ，
， ， ，点 是 的中点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）求平面 与平面 夹角的余弦值；
（3）是否存在正数 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ?若存在，求出 的值；否则，请
说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）存在，
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【解析】
【分析】（1）取 中点 ，连接 ， ，根据等腰三角形得 ，再根据几何计算结合勾股定
理逆定理可得 ，由线面垂直判定定理得 平面 ，再根据面面垂直判定定理证得结论；
（2）建立空间直角坐标系，计算平面平面 与平面 的法向量，利用空间向量坐标运算即可得平面
与平面 夹角的余弦值；
（3）确定平面 的法向量以及直线 的方向向量，根据线面夹角正弦值与向量夹角余弦值关系列方程
求解 的值即可得结论.
【小问 1 详解】
取 中点 ，连接 ， ，
因为 ，点 为 中点，
所以 ，
则 ，所以 ，
因为 ， ， ，所以 ，
又 ，则 ，故 ，
因为 平面 ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ；
【小问 2 详解】
由（1）可得 平面 ，如图作 ，以 为原点， 所在直线分别为 轴建立空间
直角坐标系，
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则 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
则 ，令 ，得 ，
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
则 ，令 ，得 ，
所以 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ；
【小问 3 详解】
设平面 的一个法向量为 ，
又 ，
则 ，令 ，得 ，
因为 ，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
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所以 ，
整理得 ，解得 ，
故存在 时，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 .
19. 已知 的两个顶点 ， ，直角顶点 C 的轨迹记为曲线 T，过点 的直线 l
与曲线 T 相交于 M，N 两点．
（1）求曲线 T 的方程；
（2）若点 ，记 的面积为 ，求 的取值范围；
（3）是否存在 x 轴上的定点 ，使得 为定值？若存在，求出所有这样的 Q 点坐标；若不
存在，说明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）存在 ， ，
【解析】
【分析】（1）设动点坐标，方法 1 由直线垂直斜率乘积为 求得轨迹方程；方法 2 由直角三角形斜边上的
中线得到 即可求得轨迹方程；方法 3,由勾股定理建立方程求得轨迹方程；
（2）方法 1 设 ，联立方程组整理得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出 的
代数式，然后借助双勾函数的单调性求得最值；方法 2 讨论斜率是否存在，设直线方程，联立方程组整理
得一元二次方程，由三角形面积公式结合韦达定理列出 的代数式，换元后借助二次函数求出最值；
（3）由（2）中方法 1 得到交点 纵坐标的关系，列出 代数式，由圆的方程和直线方程消
元，将 代数式整理成关于 纵坐标的式子，然后代入韦达定理的结论，由 为定
值得到方程，解得参数 ，即解得 Q 点坐标
【小问 1 详解】
法 1：设 ，由题意 、 存在，
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∴ ，
∴曲线 T 的方程为： ．
法 2：由 ，得 ，∴曲线 T 的方程为： ．
法 3：∵ ，∴ ，
即曲线 T 的方程为： ．
【小问 2 详解】
法 1：由题意可知：直线 l 一定与 T 相交于不同的两点，且直线 l 的斜率不为 0，
不妨设 ， ， ，
由 ，解得 ．
由韦达定理得： ， ．
∵
．
令 ，则 ， ．
又∵ ，∴ ，∴ ．
法 2：当直线不存在斜率时，即 ，
则 ， ， ；
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当直线存 斜率时，不妨设 ， ， ，
由 ，解得： ，
由韦达定可得： ， ，
则 ， ，
则 ，
令
则 ， ，则 ，
综上所述，∴ ．
【小问 3 详解】
由（2）中方法 1 可知， ， ，
，
因为 ，所以 ，
同理 ，
所以 ，
将 ， 代入上式，可得
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使得 为定值，则 ，则 或 或 ，
即存在 ， ， 满足要求．
【点睛】关键点睛：本题考查了圆的轨迹方程，动直线与圆交点形成的交点三角形，以及圆中动点问题.本
题的关键在于找到设动直线方程，与圆的方程联立方程组，借助韦达定理，即可解答本题.
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