四川省成都市玉林中学2022-2023学年高三理科数学高考模拟考试试题（Word版附解析）

成都市玉林中学高2020级高考模拟考试

理科数学

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 使成立的一个充分不必要条件是（    ）

A.  B.

C. x<2 D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式不等式的解法以及充分不必要条件的概念求解.

【详解】由得，

所以“”是“”的即不充分也不必要条件，故A错误；

“”是“”的充分不必要条件，故B正确；

“”是“”的即不充分也不必要条件，故C错误；

“”是“”的充要条件，故D错误.

故选：B.

2. 某工厂有甲乙两条生产线生产同一型号的机械零件，产品的尺寸分别记为X，Y，已知X，Y均服从正态分布，，，其正态分布密度曲线如图所示，则下列结论中正确的是（    ）

A. 甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性

B. 甲生产线产品的稳定性低于乙生产线产品的稳定性

C. 甲生产线的产品尺寸平均值大于乙生产线的产品尺寸平均值

D. 甲生产线的产品尺寸平均值小于乙生产线的产品尺寸平均值

【答案】A

【解析】

【分析】根据正态分布密度曲线的对称轴为，图像越瘦高数据越稳定可得.

【详解】由图知甲乙两条生产线的平均值相等，甲的正态分布密度曲线较瘦高，所以甲生产线产品的稳定性高于乙生产线产品的稳定性.

故选：A

3. 设是纯虚数，若是实数，则的虚部为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 3

【答案】D

【解析】

【分析】设，代入并化简，再结合是实数求解即可.

【详解】设，

则，

因为是实数，

所以，即，

所以，故的虚部为3.

故选：D.

4. 羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为7cm，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将圆台补成圆锥，由相似求出小圆锥的母线长，结合圆心角公式求解即可.

【详解】将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面的面积为大、小圆锥的侧面积之差，

设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为x＋7，由相似得，即x＝，

所以可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为.

故选：C.

5. 如图，的值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由位置可将转化为，求出利用诱导公式即可.

【详解】 

设，

则，，

因，则，

故，

，

故选：B

6. 我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1，2，…，9填入的方格内，使三行､三列､对角线的三个数之和都等于15，如图所示.

一般地.将连续的正整数1，2，3，…，n2填入个方格中，使得每行､每列､每条对角线上的数的和相等，这个正方形叫做n阶幻方.记n阶幻方的数的和即方格内的所有数的和为Sn，如图三阶幻方记为，那么（    ）

A. 3321 B. 361 C. 99 D. 33

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意利用等差数列求和公式得结果.

【详解】由题意知，,

故选：A

7. 若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为（    ）

A. 9 B. 8 C. 7 D. 6

【答案】B

【解析】

【分析】利用赋值法，令，，两式相加即可求解.

【详解】，

令，,

令,

相加可得.

故选：B.

【点睛】本题考查了赋值法求部分项系数和问题，属于基础题.

8. 德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点，是的边上的两个定点，是边上的一个动点，当在何处时，最大？问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时最大，人们称这一命题为米勒定理.已知点，的坐标分别是，，是轴正半轴上的一动点.若的最大值为，则实数的值为（    ）

A. 2 B. 3 C. 或 D. 2或4

【答案】C

【解析】

【分析】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点；再根据圆的性质得到为等边三角形，从而求出的值.

【详解】根据米勒定理，当最大时，的外接圆与轴正半轴相切于点.

设的外接圆的圆心为，则，圆的半径为.

因为为，所以，即为等边三角形，

所以，即或，解得或.

故选：C.

9. 已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由函数的奇偶性可排除A、B，结合导数判断函数的单调性可判断C，即可得解.

【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

10. 已知函数 在 上单调递增，则f（x）在上的零点可能有（    ）

A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

【答案】A

【解析】

【分析】根据条件求出的取值范围，再运用整体代入法求解.

【详解】由，，即只能取0，得 ，

因为在 上单调递增，则 解得，

由 ，则 ，设，

则 ，因为，，

所以函数在 上的零点最多有2个；

故选：A.

11. 将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先得到，，，从而得到和，AB错误，利用条件概率公式得到C错误，D正确.

【详解】将《三国演义》､《西游记》､《水浒传》､《红楼梦》4本名著全部随机分给甲､乙､丙三名同学，共有（个）基本事件，

《三国演义》连同另一本书分给同学甲，则三本书和三名同学进行全排列，有种情况，

同学甲只分一本《三国演义》，则将三本书分为2组，再分给乙和丙，故有种情况，

故事件A包含的基本事件数为，则，

同理，，

《三国演义》和《西游记》分给同学甲，则剩余两本书，分给乙丙，则事件包含的基本事件数为，则，

《三国演义》分给同学甲，《西游记》分给同学乙，若剩余两本书给丙，则有种情况，

若剩余两本书其中一本给丙，另一本给甲或乙，则有种情况，

故事件包含的基本事件数为，则，

A选项，因为，故A错误；

B选项，因为，故B错误；

C选项，因为，故C错误.

D选项，因为，故D正确；

故选：D

12. 对于非空实数集，记.设非空实数集合，若时，则.现给出以下命题：

①对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

②对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

③对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必有；

④对于任意给定符合题设条件的集合M､P，必存在常数，使得对任意的，恒有，

其中正确的命题是（    ）

A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④

【答案】B

【解析】

【分析】根据集合定义得为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.利用集合定义得到新集合，利用集合关系判断①，利用特殊集合判断②③，利用特例法结合集合定义判断④.

【详解】由已知，为不小于集合中最大值的所有数构成的集合.

①因为，设集合M和P中最大值分别为m和p，则，故有，正确；

②设，则，故，错误；

③设，则，故，错误；

④令，则对任意的，，故恒有，正确.

故选：B

二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知S是ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若＝，则x＋y＋z＝ _______．

【答案】0

【解析】

【分析】以为基底表示向量，再根据＝求解.

详解】如图所示：

，

，

，

又因为＝，

所以，

所以，

故答案为：0

14. 写出一个同时满足下列条件①②的等比数列的通项公式__________.

①；②

【答案】（答案不唯一）

【解析】

【分析】可构造等比数列，设公比为，由条件，可知公比为负数且，再取符合的值即可得解.

【详解】可构造等比数列，设公比为，

由，可知公比为负数，

因为，所以，

所以可取设，

则.

故答案为：.

15. 经过椭圆中心的直线与椭圆相交于M，N两点（点M在第一象限），过点M作x轴的垂线，垂足为点E，设直线NE与椭圆的另一个交点为P，则∠NMP的大小为___________.

【答案】##

【解析】

【分析】设出相关点的坐标，利用点差法得出，利用斜率公式得出相关直线的斜率即可求解.

【详解】设，则，

所以，

，

所以，所以.

所以，所以，所以.

故答案为：

16. 已知长方体ABCD－A1B1C1D1的高为，两个底面均为边长为1的正方形，过BD1作平面分别交棱AA1，CC1于E，F，则四边形BFD1E面积的最小值为________．

【答案】

【解析】

【分析】先确定四边形BFD1E为平行四边形，连接BD1，设△BFD1中BD1边上的高为h，于是，因此只需求h的最小值即可．

【详解】如图所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h．

由题意得，长方体对面平行，所以截面BFD1E为平行四边形，

则，

当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小，h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离．

易知平面，故到平面的距离即为的最小值，

，.

故四边形BFD1E面积的最小值为．

故答案为：.

三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

17. 如图，在三棱柱中，平面，，，，点、分别在棱和棱上，且，，为棱的中点.

（1）求证：；

（2）求二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

【分析】（1）证明出平面，即可证得；

（2）计算出的边上的高，并求出点到平面的距离，由此可得出二面角的正弦值为.

【详解】（1）在三棱柱中，平面，则平面，

平面，则，

，则，为的中点，则，

，平面，

平面，因此，；

（2），，，所以，，

同理可得，

取的中点，连接，则，

因为且，故四边形为矩形，则，

所以，，

由余弦定理可得，则，

所以，的边上的高，

平面，平面，则，

，，平面，

因为，平面，平面，故平面，

，故点到平面的距离，

设二面角为，则.

18. 如图是某企业2016年至2022年的污水净化量（单位：吨）的折线图.

注：年份代码1~7分别对应年份2016~2022.

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y和t的关系，请建立y关于t的回归方程，并预测2025年该企业的污水净化量；

（2）请用相关指数说明回归方程预报的效果.

参考数据：；

参考公式：线性回归方程；

相关指数：

【答案】（1），58.5吨   

（2）答案见解析

【解析】

【分析】（1）结合题目数据利用最小二乘法求出线性回归直线方程，代入计算即可；

（2）利用已知数据求出相关指数，利用统计知识说明即可.

【小问1详解】

由折线图中的数据得，，

，

所以，

所以y关于t的线性回归方程为，

将2025年对应的t=10代入得，

所以预测2025年该企业污水净化量约为58.5吨.

【小问2详解】

因为，

所以“污水净化量的差异”有87.5%是由年份引起的，说明回归方程预报的效果是良好的.

19. 在△ABC中，D为边BC上一点，，，．

（1）求；

（2）若，求内切圆的半径．

【答案】（1）   

（2）2

【解析】

【分析】（1）设，在利用余弦定理结合已知条件即可求解；

（2）结合（1）的结论得到，然后在中利用余弦定理得到，然后利用三角形面积相等即可求解.

【小问1详解】

设，

∴，，

在中，由正弦定理可得，

在中，，又，

所以，

∴，

∴，

∴．

【小问2详解】

∵，

∴，又易知为锐角，

∴，∴，，

∵，∴，∴中，，

又，

在中，由余弦定理可得，

∴．

设的内切圆半径为r，则，

则.

20. 已知双曲线E：与直线l：相交于A、B两点，M为线段AB的中点．

（1）当k变化时，求点M的轨迹方程；

（2）若l与双曲线E的两条渐近线分别相交于C、D两点，问：是否存在实数k，使得A、B是线段CD的两个三等分点？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．

【答案】（1），其中或   

（2）存在，

【解析】

【分析】（1）设，，，联立直线l与双曲线E的方程，消去y，得，根据已知直线l与双曲线E相交于A、B两点，得且，即且，由韦达定理，得，

则，，联立消去k，得，再根据的范围得出的范围，即可得出答案；

（2）设，，根据双曲线E的渐近线方程与直线l的方程联立即可得出，，则，即线段AB的中点M也是线段CD的中点，若A，B为线段CD的两个三等分点，则，结合弦长公式列式得，即可化简代入得出，即可解出答案.

【小问1详解】

设，，，

联立直线l与双曲线E的方程，得，

消去y，得．

由且，得且．

由韦达定理，得．

所以，．

由消去k，得．

由且，得或．

所以，点M的轨迹方程为，其中或．

【小问2详解】

双曲线E的渐近线方程为．

设，，联立得，同理可得，

因为，

所以，线段AB的中点M也是线段CD的中点．

若A，B为线段CD的两个三等分点，则．

即，．

而，．

所以，，解得，

所以，存在实数，使得A、B是线段CD的两个三等分点．

21. 已知函数.

（1）当时，求在区间上的值域；

（2）若有唯一的极值点，求的取值范围.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据的正负可确定的单调性，由此可确定最值点，根据最值可得值域；

（2）将问题转化为讨论的变号零点，令，分别在和的情况下，结合的单调性和零点存在定理的知识可说明的正负，从而得到单调性，由极值点定义可确定满足题意的的范围.

【小问1详解】

当时，，则，

当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，，

又，，，

在上的值域为.

【小问2详解】

，的极值点即为的变号零点，

设，；

①若，与上单调递减，

在上单调递减；

，，

存在唯一的，使得，

又定义域为，，

，且当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减，

存在唯一的极大值点，符合题意；

②若，定义域为，

当时，，，，单调递减，

（i）当时，，，即，

在上无极值点；

（ii）当时，，，即，

在上无极值点；

（iii）当时，，，

存在唯一的，使得，即，

当时，，即；当时，，即；

是的极大值点，此时在上有一个极值点；

当时，；令，解得：，

则当时，；当时，；

在上单调递增，在上单调递减；

令，解得：，

（i）当时，若，，，

当时，，

，，使得，

则当时，，即；当时，，即；

上单调递增，在上单调递减，

此时在上有两个极值点；

若，则，，则，

此时上无极值点；

不符合题意；

（ii）当时，，，，

存在唯一的，使得，

则当时，，则；当时，，则；

在上单调递增，在上单调递减，

为唯一极大值点，此时在有一个极值点，

则符合题意；

（iii）当时，，；

当时，；

存在唯一的，使得，

当时，，则；当时，，则；

在上单调递增，在上单调递减，

为的极大值点，此时在有一个极值点，不合题意；

综上所述：的取值范围为.

【点睛】思路点睛：本题考查利用导数研究函数的极值点的问题，解题基本思路是将问题转化为讨论导函数的变号零点个数的问题，可以结合函数中的零点存在定理的知识来说明变号零点的个数，从而得到函数的单调性和极值点个数.

22. 在直角坐标系中，已知曲线（为参数），曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（1）曲线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程；

（2）已知是曲线上的两个动点（异于原点），且，若曲线与直线有且仅有一个公共点，求的值.

【答案】（1），   

（2）

【解析】

【分析】（1）先求曲线的直角坐标方程，再由写成极坐标方程；由写出曲线的直角坐标方程；

（2）根据曲线与直线有且仅有一个公共点，得出是直角三角形斜边上的高，根据等面积法转化为求解即可.

【小问1详解】

由曲线（为参数），

消去参数，得，

所以曲线的直角坐标方程为.

又由，得，

所以曲线的极坐标方程为.

由曲线，得，即，

所以曲线的普通方程为.

【小问2详解】

由题意，设，则，

又曲线与直线有且仅有一个公共点，故为点到直线的距离，

由曲线的极坐标方程，得，

所以，，

所以，即，所以；

又，

所以，

即所求实数的值为.