数学七年级上册（2024）几何图形学案

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考点01 立体图形与平面图形
立体图形：
立体图形的概念：
有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等），它们的各部分不都在同一个平面内，这样的几何体就是立体图形。
常见的立体图形及其构成：
①柱体：分为圆柱体和棱柱体。
②椎体：分为圆锥体和棱锥体。
③台体：分为圆台和棱台。
④球体：一个曲面组成。
平面图形的概念：
一个图形（如：线段、角、三角形、正方形、圆等）的各部分都在同一个平面内，则这样的图形叫做平面图形。
考点02 常见几何体的三视图与展开图：
1．常见几何体的三视图：
几何体的三视图的概念：
正视图：从几何体正面看得到的图形叫做正视图，可以得到物体的长度和高度。
左视图：从几何体左面看得到的图形叫做侧视图，可以得到物体的宽度和高度。
俯视图：从几何体上面看得到的图形叫做俯视图，可以得到物体的长度和宽度。
注意：中间有看得见的线条用实线表示，有看不见的线条用虚线表示。
常见几何体的三视图：

常见几何体的展开图：
正方体的11种展开图：

正方体展开图找相对面的两种方法：
①间隔面法：若在一条线上存在三个或四个面，则中间间隔一个面的那两个面正方体的相对面。
②“Z”字两端法：若两个面能够构成“2”字的两端，则这两个面试正方体的相对面。
在判断相对面时，优先用间隔面法。
考点03 点、线、面、体：
点、线、面、体之间的关系：
体与体相交成面，面与面相交成线，线与线相交成点。或点动成线，线动成面，面动成体。面可以经过移动或旋转成为体。点、线、面、体组成几何图形。
平面图形旋转而成立体：
平面图形不仅可以通过平移得到几何体，还可以通过旋转得到几何体。在旋转平面图形时，旋转轴不同则得到的几何体也不同。
考点04 直线、射线、线段：
直线、射线、线段基本认识
直线与线段的基本事实：
①经过两点有且只有1条直线。简单说成两点确定一条直线。经过一点有无数条直线。
②两点之间，线段最短。即连接两点间的所有连线中，线段是最短的。这条线段的长度叫做这两点间的距离。
点与直线的位置关系：
点与直线有2种位置关系，分别是点在直线上和点在直线外。
直线的相交：
当两条不同的直线有公共点时，我们称这两条直线相交，这个点叫做他们的交点。
线段的长度比较方法：
①度量法：即用直尺度量比较。
②叠合法：即将两条线段的其中一个端点重合，另一个端点朝同一侧，另一个端点离重合端点越远线段越长。
线段的和与差：
线段的中点的定义：
线段上把线段分成相等的两部分的点叫做线段的中点。又叫线段的二等分点。
即：如图，若点P是线段AB的中点，
则或
线段的其他等分点：
三等分点：线段上把线段分成相等的三部分的点；
四等分点：线段上把线段分成相等的四部分的点；
以此类推。
考点05 角
角的定义：
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。
动态定义：把一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。
角的表示方法：
表示方法1：用表示顶点的大写字母表示。此方法只能用于表示该顶点只有一个角的情况
表示方法2：用三个大写字母表示。
表示方法3：用希腊字母或阿拉伯数字表示。
角度制的换算：
角的单位：
角的单位有度“°”；分“′”；秒“″”。
角的单位换算：
1周角＝360°＝2平角，1平角＝180°＝2直角，1直角＝90°。1°＝60′，1′＝60″。
若把以“度”为单位的角化成以“度分秒”来表示，先把不足1°的部分化成分，在把不足1′的部分化成秒。
若把“度分秒”为单位的角化为以“度”为单位，先把秒为单位的部分化作分，加上以分为单位的部分，再把他们的和化成以度为单位，加上以度为单位的部分即可。
方向角的定义：
从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90°的角叫做方向角。方向角通常用南偏东多少度，南偏西多少度，北偏西多少度，北偏东多少度来表示。
若是45°时，可以用东南方向和西南方向来表示。
角的大小比较
方法1：叠合法：把角的顶点和其中一边重合，角的另一边放在重合边的同一侧，离重合边越远角度越大，反之越小。
方法2：度量法：直角用量角器度量比较。
注意：角的大小只与角两边的张开程度有关，与两边的长度无关。
角的平分线：
从角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线。
如图：若∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB
则OC是角∠AOB的平分线。
反之，若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC＝∠BOC＝12∠AOB。
角的等分线：
角的内部把角分成相等的角的射线，叫做角的等分线。把角分成了相等的几部分，就叫做角的几等分线。
余角与补角
余角：
如果两个角的和等于90°，则这两个角互余。
即若∠1＋∠2＝90°，则∠1与∠2互余或∠1是∠2的余角或∠2是∠1的余角。
补角：
如果两个角的和等于180°，则这两个角互补。
即若∠1＋∠2＝180°，则∠1与∠2互补或∠1是∠2的补角或∠2是∠1的补角。
注意：余角和补角都是两个角的数量关系。
余角和补角的性质：
同角的余角相等。
同角的补角相等。
等角的余角相等。
等角的补角相等。
一个角的补角比这个角的余角大90°。
题型01 判断立体图形与平面图形
1．下列几何体中属于棱柱的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【解答】解：依题意，属于棱柱的有：
故选：B．
2．如图是一张几何创意小桌，其组成部分可抽象为几种常见几何体．在这些抽象出的几何体中不包括（ ）
A．圆柱B．球C．圆锥D．四棱柱
【答案】C
【解答】解：根据图形可知，其组成部分可抽象为：圆柱、四棱柱、球，
故在这些抽象出的几何体中不包括：圆锥．
故选：C．
3．下面几种几何图形中，属于平面图形的有（ ）
①三角形；②长方形；③正方体；④圆；⑤四棱锥；⑥圆柱；⑦线段；⑧点．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解答】解：由有些几何图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等）的各部分不都在同一个平面内，这就是立体图形可得：
①三角形；②长方形；④圆；⑦线段；⑧点，它们的各部分都在同一个平面内，属于平面图形；
③正方体；⑤四棱锥；⑥圆柱属于立体图形．
故选：D．
4．如图，构成该图案的几何图形有 三角形、正方形、长方形（答案不唯一） ．（任写三个）
【答案】三角形、正方形、长方形（答案不唯一）．
【解答】解：构成该图案的几何图形有三角形、正方形、长方形、圆，四边形等，
故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）．
题型02 几何体与三视图
1．中央电视台有一个非常受欢迎的娱乐节目：墙来了！选手需按墙上的空洞造型（如图所示）摆出相同姿势，才能穿墙而过，否则会被推入水池．类似地，一个几何体恰好无缝隙地以3个不同形状的“姿势”穿过“墙”上的3个空洞，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解答】解：A、三视图分别为正方形，三角形及长方形，故A选项符合题意；
B、三视图分别为三角形，三角形，圆及圆心，故B选项不符合题意；
C、三视图分别为长方形，长方形及圆，故C选项不符合题意；
D、三视图分别为三角形，三角形，矩形及对角线，故D选项不符合题意；
故选：A．
2．作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从上面看到的图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：根据视图的定义，选项B中的图形符合题意，
故选：B．
3．某物体的三种视图如图所示，则这个物体是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解答】解：结合该几何体的三视图可确定这个物体是
．
故选：C．
4．一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，从左面和上面看到的这个几何体的形状图如图所示，则所搭几何体所需小立方块个数不可能是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】D
【解答】解：由俯视图易得最底层有4个立方块，由左视图易得第二层最多有3个立方块和最少有1个立方块，
那么小立方块的个数可能是5个或6个或7个，不可能是8个．
故选：D．
5．一个几何体由几个大小相同的小立方体搭成，从正面、左面、上面观察这个几何体，看到的形状如图所示，则该几何体中小立方体的个数是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】B
【解答】解：根据图形可知一共有2行3列立方块，
第一行前面有1个立方块，第二行前面有1个立方块，第三行前面有1个立方块，后面有2个立方块，一共5块立方块．
故选：B．
题型03 几何体与展开图
10．如图所示为几何体的平面展开图，从左到右，其对应的几何体名称分别为（ ）
A．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱
B．圆柱，正方体，四棱柱，圆锥
C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱
D．正方体，圆锥，圆柱，三棱柱
【答案】A
【解答】解：根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱柱，圆柱；
故选：A．
11．如图是某个几何体的展开图，则这个几何体是（ ）
A．圆柱B．正方体C．长方体D．三棱柱
【答案】D
【解答】解：从展开图可知，该几何体有五个面，两个三角形的底面，三个长方形的侧面，
因此该几何体是三棱柱．
故选：D．
题型04 正方体的展开图与展开图和相对面
1．下列图形中，不是正方体展开图的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解答】解：由题意，不是正方体展开图的是：
故选：B．
2．如图是一个正方体的表面展开图，则该正方体可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解答】解：根据正方体的表面展开图，可知该正方体可能为：
．
故选：D．
3．如图是悠悠设计的抽奖盒子，部分面上进行了装饰．图（ ）是抽奖盒的展开图．
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：由题意可知，带实心圆的面，带花的面和带阴影部分的面三者相邻，
B．带花的面和带阴影的面相对，不符合题意；
C．带花的面和带实心圆的面相对，不符合题意；
当实心圆的面朝上时，带花的面在带阴影的面的左侧，D展开图符合这一特点，A展开图不符合这一特点，
故选：D．
4．如图是一个正方体的平面展开图，六个面分别写着“我爱重庆一中”这六个字，则折叠后与汉字“重”相对的面上的汉字是（ ）
A．我B．爱C．一D．中
【答案】C
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，
“重”与“一”是对面，
故选：C．
5．如图，是一个正方体的表面展开图，若相对面上两个数字的和都相等，则y2＝（ ）
A．1B．10C．4D．﹣5
【答案】A
【解答】解：根据题意，x与﹣5相对，y与4相对，﹣2与7相对，
∵原正方体中相对的面上的两个数字之和相等，
∴y+4＝﹣2+7，
解得y＝1，
∴y2＝12＝1．
故选：A．
6．如图是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A，B，C内分别填入适当的数，使折成的正方体相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次是（ ）
A．3，﹣2，﹣1B．﹣1，﹣2，3C．﹣2，﹣1，3D．﹣2，3，﹣1
【答案】A
【解答】解：由正方体表面展开图的“相间、Z端是对面”可知，“A”与“﹣3”，“B”与“2”，“C”与“1”是相对面，
由于相对面上的两个数均互为相反数，则填入正方形A，B，C的三个数依次3，﹣2，﹣1．
故选：A．
题型05 生活现象的数学原理
1．农民插秧时，为使插种的秧苗更整齐，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是（ ）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．线段可以比较大小D．线段有两个端点
【答案】B
【解答】解：农民插秧时，先在水田的对边各固定一根木桩，中间拉紧一条细线，然后沿着细线插秧，这里所运用的数学原理是两点确定一条直线．
故选：B．
2．在飘着墨香的书院门，书法家写毛笔字时，笔尖（可看作一个点）在纸上移动形成笔画．这一现象符合哪一个数学原理？（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．面面相交成线
【答案】A
【解答】解：将“笔尖”看作一个点，笔尖在纸上移动形成笔画，体现的数学原理是点动成线．
故选：A．
3．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动一个扇面便形成了，这种现象可以用数学原理解释为（ ）
A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．线动成体
【答案】B
【解答】解：如图这种现象可以用数学原理解释为线动成面，
故选：B．
4．如图，从A地到B地有a，b，c三条道路，人们通常会选择距离最短的道路b，这样做依据的数学原理是 两点之间，线段最短 ．
【答案】两点之间，线段最短．
【解答】解：这样做依据的数学原理是两点之间，线段最短，
故答案为：两点之间，线段最短．
题型06 直线、射线、线段的基本性质的认识
1．如图，下列说法正确的是（ ）
A．射线OA和射线OB是同一条射线
B．直线AB和直线BA不是同一条直线
C．线段OA和线段AO不是同一条线段
D．点O在线段AB的延长线上
【答案】A
【解答】解：A．∵射线OA和射线OB是同一条射线，∴此选项的说法正确，故此选项符合题意；
B．∵直线AB和直线BA是同一条直线，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意；
C．∵线段OA和线段AO是同一条线段，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意；
D．∵点O在线段AB的反向延长线上，∴此选项的说法不正确，故此选项不符合题意；
故选：A．
2．下列给出的直线，射线，线段，能相交的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解答】解：A、射线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意；
B、直线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意；
C、射线和直线延伸后两直线不能相交，故本选项不符合题意；
D、射线延伸后两直线能相交，故本选项符合题意；
故选：D．
3．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在直线BD外
B．点A到点C的距离是线段AC的长度
C．射线AC与射线BC是同一条
D．直线AC和直线BD相交于点B
【答案】C
【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意；
选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意；
选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意；
选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意；
故选：C．
4．下列叙述中，正确的是（ ）
A．直线a，b相交于点n
B．延长射线AB到点C
C．画直线AB，使AB＝2cm
D．在射线AB上截取AC，使AC＝1cm
【答案】D
【解答】解：A、交点应该用大写字母，故本选项错误；
B、射线一旁是无限延伸的，只能反向延长，本选项错误；
C、直线是向两方无限延伸的，无限长，画直线AB＝2cm错误；故本选项错误；
D、在射线AB上截取线段AC，使AC＝1cm，所以D选项符合题意．
故选：D．
5．下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．如图1所示，延长线段BA到点C
B．如图2所示，射线BC经过点A
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A
D．如图4所示，射线CD和线段AB没有交点
【答案】C
【解答】解：A．如图1所示，延长线段BA到点C，几何图形与相应语言描述不相符；
B．如图2所示，射线BC不经过点A，几何图形与相应语言描述不相符；
C．如图3所示，直线a和直线b相交于点A，几何图形与相应语言描述相符；
D．如图4所示，因为射线CD可以延伸，会有交点，几何图形与相应语言描述不相符；
故选：C．
题型07 线段的相关计算
1．A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝4cm，BC＝3cm，那么A、C两点的距离是（ ）
A．1cmB．7cm
C．1cm或7cmD．以上答案都不对
【答案】C
【解答】解：如图，当点C在线段BA的延长线上时，
∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴A、C两点的距离是AC＝AB﹣BC＝1cm；
如图，当点C在AB的延长线上时，
∵AB＝4cm，BC＝3cm，
∴A、C两点的距离是AC＝AB+BC＝7cm；
∴A、C两点的距离是：1cm或7cm，
故选：C．
2．如图，C是线段AB的中点，若AB＝10cm，则AC的长为（ ）
A．4cmB．5cmC．6cmD．7cm
【答案】B
【解答】解：∵点C是线段AB的中点，
∴AC=BC=12AB=5cm．
故选：B．
3．如图，线段AC＝6cm，线段BC＝15cm，点M是AC的中点，在CB上取一点N，使得CN：NB＝1：2，则MN的长为（ ）
A．5B．13C．7D．8
【答案】D
【解答】解：∵点M是AC的中点，AC＝6cm，
∴CM=12AC=3cm，
∵CN：NB＝1：2，BC＝15cm，
∴CN=13BC=13×15=5cm，
∴MN＝CM+CN＝3+5＝8cm，
∴MN的长为8cm，
综上所述：D选项符合题意，
故选：D．
4．如图所示，点C在线段AB上，AB＝15，AC：CB＝2：3，点M，N分别是AB，CB的中点．
（1）求CN的长度；
（2）求MN的长度．
【答案】（1）CN＝9；
（2）MN＝3．
【解答】解：（1）∵AB＝15，AC：CB＝2：3，
∴AC=15×22+3=15×25=6，
∴BC＝AB﹣AC＝15﹣6＝9，
∵点N是CB的中点，
∴CN=BN=12BC=12×9=4.5；
（2）∵点M是AB的中点，
∴BM=12AB=12×15=7.5，
∴MN＝BM﹣BN＝7.5﹣4.5＝3．
5．如图，C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD．
（1）若AB＝12，BC＝15，求AD的长．
（2）若AB＝2BD，AB+DC＝36，E是AC的中点，求BE的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）C为线段AB延长线上一点，D为线段BC上一点，DC＝4BD．
∵DC＝4BD，
∴BC＝5BD．
∵BC＝15，
∴BD＝3．
∵AB＝12，
∴AD＝AB+BD＝15．
（2）∵AB＝2BD，DC＝4BD，
∴DC＝2AB．
∵AB+DC＝36，
∴AB＝12，DC＝24，
∴BD＝6，
∴AC＝AB+BD+DC＝42．
∵E是AC的中点，
∴AE=12AC=21，
∴BE＝AE﹣AB＝9．
6．已知线段AB＝24，P为线段AB的中点．
（1）E为线段AB上一点，D为线段AE的中点．
①若PE＝3，求线段PD的长．
②若AD＝3PE，求线段EB的长．
（2）若C为直线AB上一点，BC=13AC，Q为线段BC的三等分点，求PQ的长（直接写出结果）．
【答案】（1）①线段PD的长为92或152；
②线段EB的长为967或485；
（2）PQ的长为4或2或20或16．
【解答】解：（1）①解：∵AB＝24，P为线段AB的中点，
∴AP=AB2=242=12，
∵PE＝3，E在线段AB上，
∴AE＝AP+PE＝12+3＝15或AE＝AP﹣PE＝12﹣3＝9，
∵D为线段AE的中点，
∴AD=AE2，即AD=152或AD=92，
∴PD=|AP−AD|=|12−152|=92或PD=|12−92|=152，
答：线段PD的长为92或152；
②设线段AE的长为x，则AD=x2，
∵PE＝|AP﹣AE|＝|12﹣x|，且AD＝3PE，
∴x2=3|12−x|，
分两种情况讨论：
当x≤12时，|12﹣x|＝12﹣x，方程变为x2=3(12−x)，
解得：x=727，
当x＞12时，|12﹣x|＝x﹣12，方程变为x2=3(x−12)，
解得：x=725，
∴EB＝AB﹣AE＝24﹣x，
即：当x=727时，EB=24−727=967，
，当x=725时，EB=24−725=485．
答：线段EB的长为967或485；
（2）∵C为直线AB上一点，BC=13AC，
分两种情况讨论：
C在线段AB上：
∵AC+BC＝AB＝24，且BC=13AC，
∴AC+13AC=24，
解得：AC＝18，BC＝24﹣18＝6，
∵Q为线段BC的三等分点，
∴BQ=13BC=2或BQ=23BC=4，
∵P为AB中点，AP＝12，AC＝18，
∴C点坐标（设A为原点）为18，
∴当BQ＝2时，Q点坐标为18﹣2＝16，PQ＝|16﹣12|＝4，
当BQ＝4时，Q点坐标为18﹣4＝14，PQ＝|14﹣12|＝2，
C在AB的延长线上（B点右侧）：
∵AC＝AB+BC＝24+BC，且BC=13AC，
∴BC=13(24+BC)，
解得：BC＝12，AC＝24+12＝36，
∵Q为线段BC的三等分点，
∴BQ=13BC=4或BQ=23BC=8，
∵C点坐标为24+12＝36，
∴当BQ＝4时，Q点坐标为36﹣4＝32，PQ＝|32﹣12|＝20，
当 BQ＝8时，Q点坐标为36﹣8＝28，PQ＝|28﹣12|＝16．
答：PQ的长为4或2或20或16．
题型08 角的表示与单位换算
1．如图，在∠AOC内部作了一条射线，下列说法错误的是（ ）
A．∠AOC不可以用∠O表示B．这条射线记作射线BO
C．∠1与∠AOB是同一个角D．∠AOC＝∠AOB+∠2
【答案】B
【解答】解：A、∠AOC不可以用∠O表示，该选项正确，不合题意；
B、这条射线记作射线OB，该选项错误，符合题意；
C、∠1与∠AOB是同一个角，该选项正确，不合题意；
D、∠AOC＝∠AOB+∠2，该选项正确，不合题意；
故选：B．
2．下列式子中错误的是（ ）
A．38.78°＝38°46′48″
B．50°42′＝50.7°
C．98°45′+2°35′＝101°20′
D．108°18′﹣57°23′＝51°55′
【答案】D
【解答】解：A、38.78°＝38°46′48″，故A正确；
B、50°42′＝50.7°，故B正确；
C、98°45′+2°35′＝101°20′，故C正确；
D、108°18′﹣57°23′＝50°55′，故D错误；
故选：D．
3．在同一平面上，若∠α＝60.3°，∠β＝20°30'，则∠α+∠β＝（ ）
A．81°3′B．80°33′C．80.8°D．80.6°
【答案】C
【解答】解：根据题意∠α+∠β＝60.3°+20°30′＝60.3°+20.5°＝80.8°＝80°48′，
故选：C．
4．已知∠α＝46°24′，∠β＝46.24°，∠γ＝46.4°，则相等的两个角是（ ）
A．∠α＝∠βB．∠α＝∠γC．∠β＝∠γD．无法确定
【答案】B
【解答】解：A、∵∠α＝46°24′，
∴∠α＝46.4°，
∴∠α≠∠β＝46.24°，选项说法错误，不符合题意；
B、∵∠α＝46°24′，
∴∠α＝46.4°，
∴∠α＝∠γ，原选项符合题意；
C、∵∠β＝46.24°，∠γ＝46.4°，
∴∠β≠∠γ，选项说法错误，不符合题意；
D、选项说法错误，不符合题意．
故选：B．
5．计算：
（1）48°39′+67°31′；
（2）180°﹣（58°35′+70.3°）．
【答案】（1）116°10′；
（2）51°7′．
【解答】解：（1）48°39′+67°31′
＝115°+70′
＝115°+1°10′
＝116°10′；
（2）180°﹣（58°35′+70.3°）
＝180°﹣（58°35′+70°18′）
＝180°﹣128°53′
＝51°7′．
题型09 方向角与钟面角计算
1．如图，小明从学校出发，步行去少年宫，下列描述行走路线正确的是（ ）
A．向南偏西50°行走600米
B．向南偏东50°行走400米
C．向北偏东50°行走600米
D．向北偏西30°行走400米
【答案】A
【解答】解：小明从学校出发去少年宫的方向是南偏西50°，
由图可知，比例尺为1个单位长度代表200米，从学校到少年宫有3个单位长度，
所以距离为3×200＝600米．
综上，小明从学校出发去少年宫的行走路线是向南偏西50°行走600米．
故选：A．
2．如图是小明家相对于学校的位置图，下列描述能确定小明家位置的是（ ）
A．在距离学校1.5km处
B．在学校的北偏西25°方向
C．在学校的北偏西65°方向1.5km处
D．在学校的北偏西25°方向1.5km处
【答案】D
【解答】解：如图，小明家在学校的北偏西25°方向1.5千米处，
故选：D．
3．如图所示，钟表上显示的时间是10时10分，此时，时针和分针的夹角的度数是（ ）
A．100°B．105°C．115°D．120°
【答案】C
【解答】解：∵时针在钟面上每分钟转0.5°，分针每分钟转6°，
∴钟表上10时10分钟时，时针从10时转过10分钟转了0.5°×10＝5°，此时时针与垂直线的夹角为60°﹣5°＝55°，分针从12的位置顺时针转了6°×10＝60°，
∴10时10分钟时分针与时针的夹角55°+60°＝115°．
故选：C．
4．当时钟指向上午8：30时，时针与分针的较小夹角为 75 度．
【答案】75．
【解答】解：如图，由钟面角的定义可知，
∠AOB＝∠BOC=360°12=30°，∠COD＝30°×3060=15°，
∴∠AOD＝30°×2+15°＝75°，
即时钟指向上午8：30时，时针与分针的较小夹角为75°，
故答案为：75．
题型10 余角与补角
1．已知∠α＝35°，则∠α的余角的度数是（ ）
A．35°B．55°C．145°D．155°
【答案】B
【解答】解：∵∠α＝35°，
∴∠α的余角＝90°﹣35°＝55°；
故选：B．
2．下列关于∠A的结论中，正确的有（ ）
①若∠A＝53°，则∠A的余角度数为47°；
②若∠A＝105°32′，则∠A的补角度数为74°28′；
③若∠A与∠B互余，∠B与∠C互补，则∠A＝∠C﹣90°．
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【答案】B
【解答】①若∵∠A＝53°，则∠A的余角为90°﹣53°＝37°，错误，选项不符合题意；
②若∠A＝105°32′，则∠A的补角为180°﹣105°32′＝179°60′﹣105°32′＝74°28′，正确，选项符合题意；
③若∠A与∠B互余，
∴∠A+∠B＝90°；
∵∠B与∠C互补，
∴∠B+∠C＝180°；
∴∠B＝180°﹣∠C，代入得：∠A+（180°﹣∠C）＝90°，
∴∠A＝∠C﹣90°，正确，选项符合题意．
故选：B．
3．若∠α的补角是∠α的余角的三倍，则∠α是（ ）
A．60°B．45°C．55°D．50°
【答案】B
【解答】解：若∠α的补角是∠α的余角的三倍，
则180°﹣∠α＝3（90°﹣∠α），
解得∠α＝45°，
故选：B．
题型11 角的相关计算
1．如图，点A，O，B在同一条直线上，∠COD=13∠AOC，OE平分∠BOD，若∠COD＝10°，则∠COE的度数为（ ）
A．80°B．70°C．60°D．50°
【答案】A
【解答】解：∵∠COD=13∠AOC，∠COD＝10°，
∴∠AOC＝3∠COD＝30°，
∴∠BOD＝180°﹣∠AOC﹣∠COD＝140°，
∵OE平分∠BOD，
∴∠DOE=12∠BOD＝70°，
∴∠COE＝∠COD+∠DOE＝80°．
故选：A．
2．如图，∠AOB是平角，∠AOC＝32°，∠BOD＝58°，OM，ON分别是∠AOC，∠BOD的平分线，则∠MON＝（ ）
A．130°B．135°C．110°D．120°
【答案】B
【解答】解：∵∠AOC＝32°，OM是∠AOC的平分线，
∴∠AOM=12∠AOC＝16°，
∵∠BOD＝58°，ON是∠BOD的平分线，
∴∠BON=12∠BOD＝29°，
∵∠AOB是平角，
∴∠AOM+∠MON+∠BON＝180°，
∴∠MON＝180°﹣（∠AOM+∠BON）＝180°﹣（16°+29°）＝135°．
故选：B．
3．如图，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠（点F在线段BC上，且不与B，C重合），使点C落在长方形内部点E处，若∠BFH：∠EFH＝1：2，∠GFC＝x，则∠EFH的度数是（ ）
A．120°−32xB．120°−43xC．90°−32xD．90°−43x
【答案】B
【解答】解：∵∠BFH：∠EFH＝1：2，
∴∠EFH=23∠EFB，
∠C沿着GF折叠，点C落在长方形内部点E处，∠GFC＝x，
∴∠GFC＝∠GFE＝x，
∴∠CFE＝∠GFC+∠GFE＝2x，
∴∠EFB＝180°﹣∠CFE＝180°﹣2x，
∴∠EFH=23∠EFB=23（180°﹣2x）＝120°−43x．
故选：B．
4．如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．
（1）求∠AOC的度数；
（2）过点O作射线OD，若∠AOD=12∠AOB，求∠COD的度数．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵∠AOC：∠BOC＝1：2，∠AOB＝120°，
∴∠AOC=13∠AOB=13×120°＝40°；
（2）∵∠AOD=12∠AOB，
∴∠AOD＝60°，
当OD在∠AOB内时，
∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝20°，
当OD在∠AOB外时，
∠COD＝∠AOC+∠AOD＝100°．
故∠COD的度数为20°或100°．
5．如图，∠COD＝20°，∠COD=13∠COB，OB平分∠AOC．
（1）求∠AOD的度数；
（2）若射线OE在∠AOB的内部，∠DOE＝4∠AOE，试说明OB是∠DOE的平分线．
【答案】（1）∠AOD＝100°；
（2）OB是∠DOE的平分线．
【解答】解：（1）∵∠COD＝20°，∠COD=13∠COB，
∴∠COB＝3∠COD＝3×20°＝60°，
∵OB平分∠AOC，
∴∠AOC＝2∠COB＝2×60°＝120°，
∴∠AOD＝∠AOC﹣∠COD＝120°﹣20°＝100°；
（2）∵∠DOE＝4∠AOE，∠AOD＝∠DOE+∠AOE＝4∠AOE+∠AOE＝5∠AOE＝100°，
∴∠AOE=15∠AOD=15×100°＝20°，
∴∠DOE＝4∠AOE＝4×20°＝80°，
∵∠COD＝20°，∠COB＝60°，
∴∠BOD＝∠COB﹣∠COD＝60°﹣20°＝40°=12×80°，
∴∠BOD=12∠DOE，
∴OB是∠DOE的平分线．
6．刘星对几何中角平分线等兴趣浓厚，请你和他一起探究下面问题吧．已知∠AOB＝100°，射线OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线．
（1）如图1，若射线OC在∠AOB的内部，且∠AOC＝30°，求∠EOF的度数；
（2）如图2，若射线OC在∠AOB的内部绕点O旋转，求∠EOF的度数；
（3）若射线OC在∠AOB的外部绕点O旋转（旋转中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究∠EOF的大小．
【答案】（1）50°；
（2）50°；
（3）50° 或 130°．
【解答】解：（1）∵OE 是∠AOC 的平分线，∠AOC＝30°，
∴∠COE=12∠AOC=15°
∴∠AOB＝100°
∴∠COB＝∠AOB﹣∠AOC＝70°
∵OF是∠COB 的平分线，
∴∠COF=12∠COB=35°，
∴∠EOF＝∠COE+∠COF＝15°+35°＝50°，
（2）∠AOB＝100°，
∴∠AOC+∠COB＝100°，
∵∠COE=12∠AOC ∠COF=12∠COB，
∴∠EOF=∠COE+∠COF=12(∠AOC+∠COB)=50°，
（3）∵OE 是∠AOC 的平分线，OF是∠COB 的平分线，
∴∠COE=12∠AOC，∠COF=12∠COB，
①延长BO至点D，当OC在∠AOD 的内部，
∴∠AOB＝100°
∴∠COB﹣∠AOC＝100°
∴∠EOF=∠COF−∠COE=12(∠COB−∠AOC)=50°；
②延长BO至点D，延长AO至点M，当OC在∠DOM 内部，
∠AOB＝100°
∴∠COB+∠AOC＝360°﹣∠AOB＝260°，
∴∠EOF=∠COF+∠COE=12(∠COB+∠AOC)=130°；
③延长AO至点M，当OC在∠BOM 内部，
∵∠AOB＝100°，
∴∠AOC﹣∠COB＝100°，
∴∠EOF=∠COE−∠COF=12(∠AOC−∠COB)=50°，
综上，度数为 50° 或 130°．
教学目标
熟练掌握有理数全章知识点；
熟练运用全章知识点解决相应的题目题型；
教学重难点
重点
（1）常见几何体的三视图与展开图；
（2）线段的比较与有关计算；
（3）角度的比较与有关计算以及余角和补角。
2. 难点
（1）正方体的展开图与相对面；
（2）线段与角度的计算。
定义
图示
表示方法
特点
直线
可以朝两边无限延伸的线叫做直线
①用一个小写字母来表示。即表示为直线l。
②用直线上的两个大写字母表示。即表示为直线AB。
①无限延伸
②没有端点
③无长度，无法度量，无法比较
射线
直线上一点和它一旁的部分叫做射线，这个点叫做射线的端点。
①用一个小写字母表示。即表示为射线l。
②用含端点的两个大写字母表示。且表示端点字母在前。即表示为射线AB。
①朝一端无限延伸
②有一个端点
③有方向
④无长短，无法度量，无法比较。
注意：端点相同，延伸方向相同的射线是同一条射线。
线段
直线上两点及两点间的部分是线段。
①用一个小写字母表示。即表示为线段a。
②用表示端点的两个大写字母表示。即表示为线段AB或线段BA。
①无法延伸
②两个端点
③有长度，可度量，可比较。
名称
定义
图示
线段的和
在直线上做线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作
AC=a+b
线段的差
在直线上做线段AB=a，再在线段AB上作线段AC=b，线段BC就是a与b的差，记作
BC=a－b