第24章 圆 单元测试卷 2025-2026学年沪科版九年级数学下册

这是一份第24章 圆 单元测试卷 2025-2026学年沪科版九年级数学下册，共12页。
第24章 圆 单元测试卷满分150分 时间120min一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)1．下列天气图形符号是中心对称图形的是(　　)2．如果⊙O的直径为8 cm，点P到圆心O的距离为5 cm，那么点P与⊙O的位置关系是(　　)A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内 D．不能确定3．用反证法证明命题“钝角三角形中至少有一个内角不大于45°”时，首先应假设这个钝角三角形中(　　)A．每一个内角都小于45°B．每一个内角都大于45°C．有一个内角大于45°D．有一个内角小于45°4．如图，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△DEC，点A、B的对应点分别是点D、E，连接AD，点E恰好落在线段AD上．若AB＝1，AE＝3，则CE2的值是(　　)A．4 B．5 C．8 D．10(第4题)　　　(第6题)5．已知圆锥的母线长为5 cm，高为4 cm，则该圆锥侧面展开图的圆心角是(　　)A．216° B．90° C．135° D．108°6．如图，⊙O的周长为6π，则该圆内接正六边形ABCDEF的边心距OG等于(　　)A．3 eq \r(3) B.eq \f(3,2) C.eq \f(3 \r(3),2) D．37．如图，AB是⊙O的直径，点E，C在⊙O上，点A是eq \o(EC,\s\up8(︵))的中点，过点A作⊙O的切线，交BC的延长线于点D，连接EC.若∠ADB＝58°，则∠ACE的度数为(　　)A．58° B．42° C．32° D．29°8．为了测量圆形工件的直径．甲：如图①，在工作台上用边长相同的两个正方体小木块顶在圆形工件的两侧，测得两木块间的距离b和小木块的边长a即可；乙：如图②，把两个小木块换成两个相同的小圆柱，量得圆柱的半径n和两个圆心之间的距离m即可．下面的说法正确的是(　　)A．甲对乙不对 B．甲不对乙对C．两人都不对 D．两人都对9．如图，AB 是⊙O的直径，点C在⊙O上，点I为△ABC的内心，若∠BIO＝2∠AIO，IO＝1，则AO的长是(　　)A.eq \r(2)＋1 B.eq \r(3)＋1 C．2 eq \r(2) D.eq \r(5)10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4 eq \r(2)，D为AB的中点，点P在AC上，且CP＝1，将CP绕点C在平面内旋转，点P的对应点为点Q，连接AQ，DQ，当∠ADQ＝90°时，AQ的最大值为(　　)A．2 B.eq \r(5) C．5 D.eq \r(41)(第10题)　　　(第11题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11．如图，AB，CD是⊙O的两条弦，若∠AOB＝∠COD，AB＝2，则CD＝________.12．如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠AOC＝100°，则∠ADC＝_____.(第12题)　　(第13题)13．小明计划绘制一个具有小太阳笑脸特征的图案，如图①.为此，他首先绘制了一个边长为10的正十二边形，再以该正十二边形的每个顶点为圆心，边长的一半为半径，画12个扇形，这些扇形共同构成如图②所示的“太阳”轮廓，那么这个“太阳”轮廓的总长度是________.14．如图，已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，AC＝10，点P是Rt△ABC的内心.(1)点P到边AB的距离为 ________；(2)点Q是Rt△ABC的外心，连接PQ，则PQ的长为 __________．三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB相交于点E，∠ADC＝26°，求∠CAB的度数.16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5，4)，B(0，3)，C(2，1).(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将△A1B1C1绕点C1按顺时针方向旋转90°所得的△A2B2C1.四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分)17．如果从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为eq \f(1,5)圆周长的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，求这个圆锥的高.18．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，求该正六边形的外接圆与其内切圆所形成的圆环的面积.五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分)19．如图，在△ABC中，D是BC上一点，以BD为直径的⊙O经过点A，且∠CAD＝∠ABC.(1)请判断直线AC是不是⊙O的切线，并说明理由；(2)若CD＝2，CA＝4，求⊙O的直径.20．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，∠BEC＝30°，过点C作CF⊥AB于点F，CF的延长线交⊙O于点D.(1)求∠ABC的度数；(2)若⊙O的半径为5，求CD的长．六、(本题满分12分)21．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，点M在PA上，连接MO交⊙O于点D.(1)尺规作图：过点P作⊙O的另一条切线PB，切点为B(保留作图痕迹，不写作法)；(2)若MO∥PB，PA＝9，DM＝2，求⊙O的半径．七、(本题满分12分)22．某公司设计制作一款摇椅，图①为效果图，图②为其侧面示意图，其中FC为椅背，EC为坐垫，C，D，A，B为焊接点，连接AB，且CD与AB平行，支架AC，BD所在直线交于圆弧形底座所在圆的圆心O.已知A，B两点间的距离为70 cm，C，D两点间的距离为50 cm，A，C两点间的距离为25 cm.经研究，当∠OCF＝53°时，舒适感最佳．为安全起见，摇椅后摇至底座与地面相切于点A时(如图③)，点F比点E在竖直方向上至少高出10 cm.在舒适感最佳的情况下，若椅背FC与坐垫EC的长均为60 cm，试判断此设计是否合理，并说明理由．(参考数据：sin 53°≈0.8，cos 53°≈0.6，tan 53°≈1.3)八、(本题满分14分)23．【问题提出】(1)如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝48°，D是△ABC外一点，且AD＝AC.以点A为圆心，AB长为半径作圆，则∠BDC的度数为________；【问题探究】(2)如图②，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是边AB的中点，F是边BC上的一个动点，将△BEF沿EF折叠得到△B′EF，连接B′C，求线段B′C长度的最小值；【问题拓展】(3)如图③，在正方形ABCD中，AB＝10，动点M，N分别在边BC，CD上移动，且满足CM＝DN.连接AN和DM，交于点O.当点N从点D开始运动到点C时，点O也随之运动，直接写出点O的运动路径长．参考答案一、1.B　2.A　3.B　4.B　5.A6.C　点拨：设⊙O的半径为R，则2πR＝6π，∴R＝3.连接OC和OD，则OC＝OD＝3.∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠COD＝eq \f(360°,6)＝60°，∴△OCD是等边三角形，∴CD＝OC＝3.又∵OG⊥CD，∴CG＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(3,2)，∴OG＝eq \r(OC2－CG2)＝eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2)＝eq \f(3 \r(3),2).7.C　8.D　9.D　10.D二、11.2　12.130°　13.50π14.（1）2　（2）eq \r(5)　点拨：（1）如图，连接AP，BP，CP，过点P分别作PD⊥AB于点D，PE⊥BC于点E，PF⊥AC于点F.在Rt△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10，∴BC＝eq \r(AC2－AB2)＝8.∵点P是Rt△ABC的内心，∴PD＝PE＝PF.∵S△ABC＝eq \f(1,2)BC·AB＝eq \f(1,2)×8×6＝24，∴eq \f(1,2)×PD×6＋eq \f(1,2)×PE×8＋eq \f(1,2)×PF×10＝24，∴PD＝2，∴点P到边AB的距离为2.（2）由（1）知PD＝PE＝PF＝2，∴易得四边形BEPD是正方形，∴BD＝2.∵AB＝6，∴AD＝4.∵点P是Rt△ABC的内心，∴易得AF＝AD＝4.∵点Q是Rt△ABC的外心，∴AQ＝eq \f(1,2)AC＝5，∴FQ＝1，在Rt△FPQ中，根据勾股定理得PQ＝eq \r(PF2＋FQ2)＝eq \r(22＋12)＝eq \r(5).三、15.解：连接BC.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠ABC＝∠ADC＝26°，∴∠CAB＝90°－26°＝64°.16.解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所作，其中点C1的坐标为（－2，－1）.（2）如图所示，△A2B2C1即为所作.四、17.解：∵从半径为5 cm的圆形纸片上剪去弧长为eq \f(1,5)圆周长的一个扇形，∴留下的扇形的弧长为eq \f(4×2π×5,5)＝8π（cm）.∵圆锥底面圆的周长等于留下的扇形弧长，∴圆锥底面圆的半径为eq \f(8π,2π)＝4（cm），∴圆锥的高为eq \r(52－42)＝3（cm）.18.解：连接OA，OB，过点O作OM⊥AB于点M，如图所示.易得∠AOB＝eq \f(360°,6)＝60°，∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝AB＝2，∴AM＝eq \f(1,2)AB＝1，∴OM＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，即正六边形外接圆的半径为2，内切圆的半径为eq \r(3)，∴圆环的面积＝π[22－（eq \r(3)）2]＝π.五、19.解：（1）直线AC是⊙O的切线.理由如下：如图，连接OA.∵BD为⊙O的直径，∴∠BAD＝90°，∴∠OAB＋∠OAD＝90°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠ABC.又∵∠CAD＝∠ABC，∴∠OAB＝∠CAD，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∴OA⊥AC.又∵OA是⊙O的半径，∴直线AC是⊙O的切线.（2）由（1）知OA⊥AC，在Rt△OAC中，由勾股定理，得OC2＝AC2＋OA2，设OA＝OD＝x，则OC＝OD＋CD＝x＋2，∴（x＋2）2＝42＋x2，∴x＝3，∴OA＝3，∴BD＝2OA＝6，∴⊙O的直径为6.20.解：（1）如图，连接AC，∵eq \o(BC,\s\up8(︵))＝eq \o(BC,\s\up8(︵))，∠BEC＝30°，∴∠BAC＝∠BEC＝30°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°－∠BAC＝90°－30°＝60°.（2）∵⊙O的半径为5，∴AB＝10，在Rt△ACB中，∠BAC＝30°，∴BC＝eq \f(1,2)AB＝5.∵AB是⊙O的直径，CF⊥AB，∴CF＝FD＝eq \f(1,2)CD.在Rt△CBF中，∠FBC＝60°，∴∠FCB＝30°，∴FB＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(5,2)，∴FC＝eq \r(BC2－FB2)＝eq \f(5 \r(3),2)，∴CD＝2FC＝5 eq \r(3).六、21.解：（1）如图所示，PB即为所求.（2）如图所示，连接OA.∵MO∥PB，∴∠MOP＝∠BPO.∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠APO＝∠BPO，OA⊥PA，∴∠MPO＝∠MOP，∴OM＝PM，设⊙O的半径是r，则PM＝OM＝OD＋DM＝r＋2，∴AM＝PA－PM＝9－（r＋2）＝7－r.在Rt△AOM中，AO2＋AM2＝OM2，∴r2＋（7－r）2＝（r＋2）2，解得r＝3或r＝15（舍去），∴⊙O的半径是3.七、22.解：此设计合理，理由如下：过点O作OG⊥AB于点G，如图①，设OA＝OB＝r cm，∵OG⊥AB，∴AG＝eq \f(1,2)AB＝35 cm.∵CD∥AB，∴△OCD∽△OAB，∠OAB＝∠OCE，∴eq \f(OC,OA)＝eq \f(CD,AB)，∴eq \f(r－25,r)＝eq \f(50,70)，∴r＝87.5，∴OA＝OB＝87.5 cm，∴cos∠OCE＝cos∠OAB＝eq \f(AG,AO)＝eq \f(35,87.5)＝0.4，过点F作FP⊥OA于点P，过点E作EQ⊥OA于点Q，如图②，则PF∥QE，∵摇椅后摇至底座与地面相切于点A，∴OA垂直于地面，∴PF、QE平行于地面，在Rt△CEQ中，CQ＝CE·cos∠OCE＝60×0.4＝24（cm），在Rt△CPF中，CP＝CF·cos∠OCF＝CF·cos 53°≈60×0.6＝36（cm），∴PQ＝CP－CQ≈36－24＝12（cm），∴点F比点E在竖直方向上高出12 cm，大于10 cm，∴此设计合理.八、23.解：（1）24°（2）如图①，连接AC，CE，∵在菱形ABCD中，AB＝4，∴BC＝AB＝4.∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形.∵E是边AB的中点，∴BE＝AE＝2，CE⊥AB，∴CE＝eq \r(BC2－BE2)＝2 eq \r(3)，由折叠的性质可得，BE＝B′E＝2，∴点B′在以点E为圆心，半径为2的圆上，作出该圆.∵B′C≥CE－B′E，∴当B′，C，E三点共线时，B′C长度最小，为CE－B′E＝2 eq \r(3)－2.（3）点O的运动路径长为eq \f(5π,2).　点拨：如图②，连接AC，BD交于点P，取AD的中点E，连接EP，OE.∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝∠ADC＝90°，AD＝CD＝10， AP＝DP.∵CM＝DN，∴△ADN≌△DCM，∴∠CDM＝∠DAN，∴∠CDM＋∠DNA＝∠DAN＋∠AND＝90°，∴∠AOD＝90°.∵E为AD的中点，∴OE＝eq \f(1,2)AD＝AE＝DE＝5，∴点O在以E为圆心，半径为5的圆上运动，点A，D，O三点共圆，画出该圆，当点N运动到点C时，则点M与点B重合，此时点O与点P重合，∴点O的运动路径为eq \o(DP,\s\up8(︵)).∵AP＝DP，E为AD的中点，∴PE⊥AD，∴∠DEP＝90°，∴eq \o(DP,\s\up8(︵))的长为eq \f(90π,180)×5＝eq \f(5π,2)，即点O的运动路径长为eq \f(5π,2).