第24章 圆 综合素质评价卷（含答案）2025-2026学年沪科版九年级数学下册

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第24章综合素质评价一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1. 窗棂是中国传统木构建筑的重要元素，既散发着古典之韵，又展现了几何之美．下列窗棂图案中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是(　　)2．如图，AB是⊙O的直径，若∠CDB＝60°，则∠ABC的度数等于(　　)A．30° B．45° C．60° D．90°3．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆(　　)A．与x轴相离，与y轴相切 B．与x轴相离，与y轴相交C．与x轴相切，与y轴相交 D．与x轴相切，与y轴相离4．如图，A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝140°.在这个图中，画出下列度数的圆周角：40°，50°，80°，140°，仅用无刻度的直尺就能画出的圆周角的度数有(　　)A．40°，50°，80° B．40°，80°，140° C．50°，80°，140° D．40°，50°，140°5．如图，点A，B，C在半径为5的⊙O上，AB＝6，则cosC的值为(　　)A.eq \f(3,5) B.eq \f(4,5) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)6．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O外一点，CB，CD分别与圆相切于点B，D，点E是eq \o(ABD,\s\up8(︵))上任意一点，连接AE，DE，若∠C＝70°，则∠AED＝(　　)A．50° B．40° C．25° D．35°7．如图，在△ABC中，AB＋AC＝eq \f(5,3)BC，AD⊥BC于点D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为r，AD的长为h，则eq \f(r,h)的值为(　　)A.eq \f(3,8) B.eq \f(2,7) C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)8. 如图，已知AB∥MN，以AB为弦的⊙O与MN相切于点P，直径PQ交AB于点E，连接PA，PB，C是eq \o(PB,\s\up8(︵))上一点，连接AC交PB于点D，连接BC，则下面结论不一定成立的是(　　)A．∠APQ＝∠BPQ B．PA＝PBC．若AC为直径，PA＝4eq \r(,5)，AC＝10，则BC＝6D．若AC平分∠PAB，PA＝10，BC＝6，则AC＝eq \f(31,3)9. 同一平面内，存在点P使得点P到⊙O上的点的最远距离为5，则⊙O的半径r的取值范围是(　　)A．r>5 B．2.5＜r＜5 C．0＜r≤2.5 D．0＜r≤510．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是以A为圆心，2为半径的圆上一动点，连接CE，AE，点P为CE的中点，连接BP，AP，若AC＝a，BD＝b，则BP的最大值为(　　)A.eq \f(a,2)＋1 B.eq \f(b,2)＋1 C.eq \f(a＋b,2) D.eq \f(a＋b,2)＋1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC＝45°.若⊙O的半径为2，则劣弧BC的长为________．12．如图，在半径为1的⊙O中有三条弦，它们所对的圆心角分别为60°，90°，120°，那么以这三条弦长为边长的三角形的面积是________．13．如图，AB为直径，点C，D，E都在半圆O上，若AE＝DE＝x，CB＝CD＝eq \r(,2)x，AB＝2y，则y与x之间的函数关系为________________．14．如图是以点O为圆心，AB为直径的圆形纸片，点C在⊙O上，将该圆形纸片沿直线CO对折，点B落在⊙O上的点D处(不与点A重合)，展开后连接CB，CD，AD，CD与直径AB交于点E.若AD＝ED，则∠B＝________度，eq \f(BC,AD)的值等于 ________．三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)15．如图，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝90°，将△OAB绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△OA′B′，连接A′A ，A′B.(1)当α＝30°时，求A′B的长度；(2)当A′A＝A′B时，求α的度数．16．如图，在10×10的网格图中，每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上．(1)在网格图中画出△ABC的外接圆圆O，并在网格图中标出圆心O的位置；(2)在网格图中画出把线段AC绕点C按逆时针方向旋转90°后得到的线段CD，判断点D是否落在圆O上，若点D落在圆O上，直接写出eq \o(CD,\s\up8(︵))的长．四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17．如图，用一个半径为12 cm，面积为48π cm2的扇形铁皮，制作一个无底的圆锥(不计损耗)．(1)求扇形圆心角的度数；(2)求圆锥的高．18. 某数学兴趣小组探究只用一张矩形纸条和刻度尺能否测量出一次性纸杯杯口的直径．小聪同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴在杯口上，纸条的边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽3.5 cm，AB＝3 cm，CD＝4 cm.请你帮忙计算纸杯杯口的直径．五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19．如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB＋2∠ABC＝180°.(1)求证：OC∥AD；(2)若AD＝2，BC＝2eq \r(3)，求AB的长．20．如图，点C为△ABD外接圆上的一动点(点C不在弧BAD上，且不与点B，D重合)，∠ACB＝∠ABD＝45°.(1)求证：BD是该外接圆的直径；(2)连接CD，猜想AC，BC，CD三条线段满足什么样的等量关系，并证明．六、(本题满分12分)21．在△ABC中，以AB为直径的⊙O交边AC于点D，交边BC于点E，AD＝BE，过点B作⊙O的切线PB，过点A作AP∥BC，交BP于点P.(1)如图①，若M为AP的中点，连接BM.求证：四边形ACBM是菱形；(2)如图②，若AD＝2，BC＝3，求AB的长．七、(本题满分12分)22. 【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图①.【问题提出】部件从正面看到的图形如图②所示，由于图①中的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到l的长度的方案，以检测该部件中l的长度是否符合要求．【方案设计】兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法．测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱(圆柱)．操作步骤：如图③，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图④，⊙O分别与AC，AD相切于点B，D.用游标卡尺测量出CC′的长度y.【问题解决】已知∠CAD＝∠C′A′D′＝60°，l的长度要求是1.9 cm～2.1 cm.(1)求∠BAO的度数．(2)已知钢柱的底面圆半径为1 cm，现测得y＝7.52 cm.根据以上信息，通过计算说明该部件l的长度是否符合要求．(参考数据：eq \r(3)≈1.73)【结果反思】(3)本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由．八、(本题满分14分)23．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC，BD交于点E.已知⊙O的半径为3，CD＝3，∠AEB＝75°.(1)求∠CBD的度数；(2)求AB的长；(3)当△EBC的面积最大时，求eq \r(3)BE＋eq \r(2)CE的值．答案一、1. C　2. A　3. A　4. D　5. B6. D　【点拨】如图，连接BD，∵CB，CD分别与圆相切于点B，D，∴CB＝CD，∴∠CBD＝∠CDB.∵∠C＝70°，∴∠CBD＝eq \f(1,2)×(180°－70°)＝55°.∵AB是圆的直径，且CB与圆相切于点B，∴∠ABC＝90°，∴∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝90°－55°＝35°，∴∠AED＝∠ABD＝35°.7. A　8. D9. D　【点拨】如图①，当点P在圆内时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r≤5，,2r＞5，))即2.5＜r≤5；　　如图②，当点P在圆上时，2r＝5，即r＝2.5；如图③，当点P在圆外时，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2r＜5，,r＞0，))即0＜r＜2.5，综上所述，0＜r≤5，故选D.10. B　【点拨】如图，连接OP.∵四边形ABCD是平行四边形，AC，BD相交于点O，∴AO＝CO＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2)a，BO＝DO＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)b.∵点P为CE的中点，∴OP∥AE，且OP＝eq \f(1,2)AE＝1，∴随着点E的运动，点P的运动轨迹是以O为圆心、1为半径的圆，∴当B，O，P三点共线时，BP的值最大，为BO＋OP＝eq \f(b,2)＋1.故选B.二、11. π　12. eq \f(\r(2),2) 　13. y＝eq \f(\r(10),2)x 　14. 36；eq \f(3＋\r(5),2)　三、15. 【解】(1)∵将△OAB绕点O逆时针旋转α(0°＜α＜90°)得到△OA′B′，OA＝OB，α＝30°，∴A′O＝AO＝OB，∠AOA′＝30°.∵∠AOB＝90°，∴∠A′OB＝60°，∴△A′OB是等边三角形，∴A′B＝BO＝2.(2)在△A′OB和△AOA′中，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\al\co1(A′O＝AO，,A′B＝AA′，,BO＝A′O，)))∴△A′OB≌△AOA′，∴∠BOA′＝∠AOA′＝eq \f(1,2)∠AOB＝45°，∴α＝45°.16. 【解】(1)圆O和圆心O的位置如图所示．(2)线段CD如图所示．点D落在圆O上，eq \o(CD,\s\up8(︵))的长为eq \f(\r(13),2)π.四、17.【解】(1)设扇形圆心角为n°，∵扇形铁皮的半径为12 cm，面积为48π cm2，∴eq \f(nπ·122,360)＝48π，解得n＝120，∴扇形圆心角的度数为120°.(2)设圆锥的底面圆半径为r cm，根据题意得2πr＝eq \f(120π×12,180)，解得r＝4.∵eq \r(122－42)＝eq \r(128)＝8eq \r(,2)(cm)，∴圆锥的高为8eq \r(,2) cm.18 .【解】如图，设纸杯杯口所在圆的圆心为O，过点O作MN⊥AB于点N，交CD于点M，连接OD，OB，则MN＝3.5 cm，BN＝eq \f(1,2)AB＝eq \f(1,2)×3＝1.5 (cm)．∵CD∥AB，MN⊥AB，∴MN⊥CD，∴DM＝eq \f(1,2)CD＝eq \f(1,2)×4＝2 (cm)．设OM＝x cm，则ON＝MN－OM＝(3.5－x) cm.∵OM2＋MD2＝OD2，ON2＋BN2＝OB2，OD＝OB，∴OM2＋MD2＝ON2＋BN2，∴x2＋22＝(3.5－x)2＋1.52，解得x＝1.5，即OM＝1.5 cm，∴OD＝eq \r(OM2＋MD2)＝eq \r(1.52＋22)＝2.5 (cm)，∴纸杯杯口的直径为2.5×2＝5 (cm)．五、19. (1)【证明】∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB＋2∠ABC＝180°，　∴∠DAB＋∠AOC＝180°，∴OC∥AD.(2)【解】如图，连接BD，交OC于点E.∵AB是半圆O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∵OC∥AD，∴OC⊥BD，∴点E为BD的中点．又∵O是AB的中点，∴OE是△ABD的中位线，∴OE＝eq \f(1,2)AD＝1.设半圆的半径为r，则CE＝r－1.由勾股定理知，OB2－OE2＝BE2＝BC2－CE2，即r2－1＝(2eq \r(3))2－(r－1)2，解得r1＝3，r2＝－2(舍去)．∴AB＝2r＝6.20 . (1)【证明】∵弧AB＝弧AB，∴∠ADB＝∠ACB.又∵∠ACB＝∠ABD＝45°，∴∠ABD＝∠ADB＝45°，∴∠BAD＝90°，∴BD是该外接圆的直径．(2)【解】猜想：eq \r(2)AC＝BC＋CD.证明：如图，把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△AEB，则AC＝AE，BE＝CD，∠CAE＝90°，∠ABE＝∠ADC.∵∠ABC＋∠ADC＝180°，∴∠ABC＋∠ABE＝180°，∴点E在CB的延长线上，∴CE＝BC＋BE＝BC＋CD.∵AE＝AC，∠EAC＝90°，∴△ACE为等腰直角三角形，∴易得CE＝eq \r(2)AC，∴eq \r(2)AC＝BC＋CD.六、21. (1)【证明】∵PB是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，∴∠ABP＝90°.∵M为AP的中点，∴BM＝AM＝eq \f(1,2)AP，∴∠ABM＝∠BAM.∵AD＝BE，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BE,\s\up8(︵))，∴eq \o(AE,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴∠ABC＝∠CAB.∵AP∥BC，∴∠ABC＝∠BAM，∴∠ABM＝∠BAC，∴AC∥BM，∴四边形ACBM是平行四边形．又∵BM＝AM，∴四边形ACBM是菱形．(2)【解】如图，连接BD.∵AD＝BE，∴eq \o(AD,\s\up8(︵))＝eq \o(BE,\s\up8(︵))，∴eq \o(AE,\s\up8(︵))＝eq \o(BD,\s\up8(︵))，∴∠ABC＝∠CAB，∴AC＝BC.∵BC＝3，∴AC＝3.又∵AD＝2，∴CD＝AC－AD＝3－2＝1.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠BDC＝90°.在Rt△ABD中，BD2＝AB2－AD2，在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2，∴AB2－AD2＝BC2－CD2，即AB2－22＝32－12，解得AB＝2eq \r(3)(负值已舍去)．七、22. 【解】(1)∵⊙O分别与AC，AD相切于点B，D，∠CAD＝60°，∴∠OAB＝∠OAD＝eq \f(1,2)∠CAD＝30°.(2)∵钢柱的底面圆半径为1 cm，∴BC＝OB＝1 cm.∵AC与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°.∵∠OAB＝30°，∴AB＝eq \f(OB,tan 30°)＝eq \r(3)(cm)，∴AC＝BC＋AB＝(1＋eq \r(3))cm，同理A′C′＝(1＋eq \r(3))cm，∴l＝7.52－2(1＋eq \r(3))≈2.06(cm)．∵1.9＜2.06＜2.1，∴该部件l的长度符合要求．(3)能，将圆柱换成正方体．如图，设正方体的棱长为a，用游标卡尺测量出CF的长度y.∴BC＝BD＝a.∵∠CAD＝60°，∴AB＝eq \f(BD,tan 60°)＝eq \f(\r(3)a,3)，∴AC＝a＋eq \f(\r(3)a,3)，∴l＝y－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(\r(3)a,3)))＝y－eq \f(2(3＋\r(3))a,3).(选取的几何体不唯一)八、23. 【解】(1)如图①，连接OC，OD.∵⊙O的半径为3，CD＝3，∴OC＝OD＝CD＝3，∴△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°.∵∠CBD＝eq \f(1,2)∠COD，∴∠CBD＝30°.(2)如图②，连接OA，OB，则OA＝OB＝3.∵∠CBD＝∠CAD，∠CBD＝30°，∴∠CAD＝30°.∵∠AEB＝∠CAD＋∠ADB＝75°，∴∠ADB＝45°.∵∠AOB＝2∠ADB，∴∠AOB＝90°，∴易得AB＝eq \r(2)OA＝3eq \r(,2).(3)如图③，过点E作EF⊥BC于点F.∵∠ACB＝∠ADB＝45°，∴∠CEF＝45°，∴易得EF＝CF，∴CE＝eq \r(2)EF.∵∠CBD＝30°，EF⊥BC，∴BE＝2EF，∴BF＝eq \r(BE2－EF2)＝eq \r(3)EF，∴BC＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))EF，∴S△EBC＝eq \f(1,2)BC·EF＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))·EF2.∵EF>0，∴当EF的值最大时，△EBC的面积最大．∵⊙O的半径为3，∴BC≤6，∴eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)＋1))EF≤6，∴EF≤eq \f(6,\r(3)＋1)，即EF≤3eq \r(3)－3，∴EF的最大值为3eq \r(3)－3，此时BE＝2EF＝6eq \r(3)－6，CE＝eq \r(2)EF＝3eq \r(6)－3eq \r(2)，∴eq \r(3)BE＋eq \r(2)CE＝eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6\r(3)－6))＋eq \r(2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\r(6)－3\r(2)))＝18－6eq \r(3)＋6eq \r(3)－6＝12.