江苏南通（如皋）2026 高三第一学期教学质量调研数学试题与解析

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这是一份江苏南通（如皋）2026 高三第一学期教学质量调研数学试题与解析，共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求
1.已知复数，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】.
2.已知全集，集合，则
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】D
【解析】 , 或 .
3.一组从小到大排列的数据: . 若它们的 70 百分位数是中位数的两倍,则的值为
A. 10 B. 11 C. 12 D. 14
【答案】A
【解析】共 10 个数据,中位数为 ,第 70 百分数 .
4.已知双曲线，顶点到渐近线的距离为，则离心率
A. B. C. D. 2
【答案】A
【解析】顶点到渐近线的距离 ,.
5.已知等比数列 ,若 ,则
A. 128 B. 255 C. 256 D. 511
【答案】B
【解析】 ,
.
6.在中, 的对边分别为 , 则面积为
A. 12 B. 9 C. 6 D. 3
【答案】C
【解析】 ,

或 .
7.已知函数的图象关于点对称，则
A. -10 B. 10 C. 2 D. -2
【答案】C
【解析】关于对称,则 ①, ②,
由①②解得 .
8.已知半径为 5,圆心角为的扇形铁片如图一,将其裁剪成如图二的形状并制成一个倒立的圆锥桶(如图三，含盖，且连接处损耗不计)，该圆锥桶内能放入的最大球内注满了水(球厚薄忽略不计)，将水倒入圆锥筒内，则水面高度为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】方法一: 设 ,则小圆直径 ,则 ,底面圆半径 1,圆锥高 ,设圆锥内切球半径为
,
圆锥体积 ,水深 ,则截面半径
现在小圆锥体积 ,选 D.
方法二: 设半径为
圆锥母线长 ,圆锥高 ,设其内切球为球
于点 ,设
,设水倒入圆锥后,水面半径为 ,高为
高为 .
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数的部分图象如图所示,则下列结论正确的是
A.
B. 若 ,则
C. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数
D. 当时,曲线与有 4 个交点
【答案】ABD
【解析】 ,
轴右侧第一条对称轴 , 对.
,则或 ,
对.
向右平移个单位变为， C错.
如图两图像有 4 个交点, D 对.
10.在棱长为 1 的正方体中，点满足 , ,则
A. 平面
B. 若与平面所成角为 ,则点的轨迹长度为
C. 当时，满足到直线与到平面的距离相等的点有两个
D. 当时，四面体外接球体积为
【答案】AD
【解析】记为中点,又为中点, 为的中位线, 平面平面平面对.
如图建系, , ,平面的法向量与所成角为 , ,轨迹为个圆,轨迹长度为 B 错.
到平面的距离 ,平面的法向量到的距离 , 又只有一个点, 错.
,设球心 ,半径 ,
对.
11.甲、乙两个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的 1 个黑球和 2 个红球. 现从两个盒子中各任取一个球放入对方盒子中称为一次操作,重复进行次操作后,甲盒子中恰有 0 个黑球,1 个黑球,2 个黑球分别记为事件 . 则
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】方法一: , 对.
错.
对.
,
,
是以为首项, 为公比的等比数列 , D 对,选 ACD.
方法二: 初始甲盒 1 黑 2 红, 乙盒: 1 黑 2 红
对于正确.
对于
错.
对于 , 正确.
对于
，D 正确.
选: ACD.
方法三:状态转移与递推
记为第次操作后甲盒子中黑球个数,则 ,且总黑球数守恒为 2 .
从两个盒子各取一球并交换是对称操作,因此在任意 ,有 . 为便
于书写,记 ,
. 分别从甲、乙各取一球,交换后的变化只与当前状态有关, 构成三状态马尔可夫链. 逐一列出三种状态的转移:
当 : 甲 0 黑 3 红,乙 2 黑 1 红. 乙取黑概率 ,乙取红概率 ,甲只能取红, 故 .
当 : 甲、乙均 1 黑 2 红. 独立取球并交换:
当 : 甲 2 黑 1 红，乙 0 黑 3 红 . 甲取黑概率，甲取红概率，乙只能取红，故 .
据此得转移矩阵 (按状态0,1,2排列): .
初始为 ,即 .
A: 由上面的转移概率, 对.
B: 先算 .
再算
于是错.
C: 按并事件公式: , 并记号表示并事件 , C 对.
D: 由全概率 . 而 ,故得到递推 .
最终，D 对. 综上:A、C、D 正确，B 错误.
方法四:直接枚举
开始时，两个盒子的取球组合共有等可能结果，每个结果概率 . 其中使的有: 甲红乙红与甲黑乙黑 ,合计 5 种,
故 ; 使与各 2 种,故 . 与方法二一致.
由分层,利用转移概率:
,
. 与方法二计算一致.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12.若函数有大于零的极值点，则实数的取值范围是________.
【答案】
【解析】 .
13.已知随机变量 ,且 ,则的展开式中常数项为_______.
【答案】 60
【解析】 , 展开式第项 , ,常数项为 60 .
14.已知是抛物线的焦点, 是准线,过作圆的切线,与抛物线交于点两点在的上方),过作的垂线,垂足为 ,则的面积为________.
【答案】
【解析】方法一: 圆 ,
切线: 即
或 ,
方法二:暴力算也可以！
圆 ,圆心 .
设过的切线斜率为 ,其方程为
从而 .
联立抛物线: .
分两条切线讨论,求与抛物线的两个交点 ,假设在的上方.
① 当时:
代回或得
② 当时:
无论取哪条切线,都有的坐标为 ,只差横坐标符号, 为 .
过向准线作垂线,垂足的坐标为 .
因为垂直于 ,故为竖直线段,长度 .
以为底,三角形的高即点到直线的距离,
为 .
于是面积 .
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15. 中， .
(1)求角；
(2)若角为锐角，是边上的一点，，求的面积 .
【解析】(1) ,
或 .
(2) 为锐角，
,在中,
.
16.已知数列的各项均为正数,前项和为 ,且 ,
(1)证明: 是等差数列；
(2)设，数列的前项和为，不等式对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.
【解析】(1) 成首项为 1,公差为 1 的等差数列.
(2)由(1)知时，也满足上式
为偶数时, 才可能最小,此时
,即的取值范围为 .
17.如图，已知圆台，均为母线，四边形为圆台的轴截面,且 .
(1)证明: ；
(2)求异面直线与所成角；
(3)已知二面角的余弦值为，求圆台的高的长.
【解析】
(1)证明: 取中点中点 ,连接 ,
为圆台的一条母线,
且 ,又 ,
四边形为平行四边形
,又四边形为平行四边形, .
(2) 为中点, 为中点, ,设 ,如图建系,
,
直线与所成角大小为 .
(3)仿(2)建系，，，
设平面与平面的一个法向量分别为
.
18. 已知函数 .
(1)求函数的极值;
(2)若函数为偶函数.
① 求的值；
②证明: 不等式恒成立.
【解析】(1)
① 当时，，在上单调递增，无极值.
② 当时,令 ,当时, 单调递减; 当时, 单调递增
,无极大值.
(2)方法一:① 为偶函数，
,
即对恒成立,
② 证:
即证:
(当且仅当时取 “ ”),
只需证: 对恒成立
令
在上单调递增, ,
对恒成立,得证 !
方法二: ① 由偶函数定义 .
上式欲对一切恒为0,只能取 (因为 )
此时 .
② 证明: .
分两部分分别处理: 关于 : 由基本不等式
相加得 ,且当且仅当取等号. 取得
关于 : 设 ,则 ,
故在上凸,且在处取得最小值 ,
从而 ,等号仅在处成立.
将两部分合并: .
于是
综上: 在上第一项正,第二项非负,二者之和正,故为不等式 .
19.已知双曲线分别为左、右焦点,点在双曲线上.
(1)求双曲线的方程；
(2)如图，在双曲线的右支上任取一点，以为切点作双曲线右支的切线,交两渐近线于两点,过两点分别作两渐近线的平行线交于点 ,过作直线的平行线分别交两渐近线于两点,再过两点分别作两渐近线的平行线交于点 ,一直反复操作,可得 .
①证明:点在同一条直线上，并求该直线方程；
② 记的面积为，记，证明: .
【解析】方法一:(1)由题意知
(2)①切线方程为，
两条渐近线方程分别为和
联立 ,
方程: ,
方程: ,两式联立
直线方程为
以此类推可得在定直线上.
②仿①知
直线方程为: 到直线的距离
,
,
时,
方法二: (1)
(2)①点处切线
与渐近线的交点 .
与渐近线的交点 .
过作的平行线: .
过作的平行线: .
两线交于 . 联立得
从而 .
利用化简:
接着过作的平行线. 由于的方程是 ,
故其过的平移线为 .
此线与及分别交于 .
作平行于两渐近线的两条线相交得 . 与上同法可得
严格证明: 设对某个已有 .
过作的平行线: .
交与得 .
再作两条平行于两渐近线的直线相交得
由得
故满足向量关系 . 从而共线
其所在直线为过原点、斜率的直线:
② 记的面积为 . 由上面一般式
三角形面积: .
展开并整理,利用 ,
可化简为 .
从而 .
要证 .
由上式 .
注意到 ,故 .
于是 ,证毕 .