江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题与解析

这是一份江苏扬州市2025-2026学年度第一学期高二期末调研数学试题与解析，共9页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知复数 mm−2+m−1m−2i 是纯虚数,则实数 m 的值为( ).
A. 0 或 2 B. 0 C. 1 或 2 D. 1
2. 设直线 x−2y−1=0 的斜率为 k ,在 y 轴上的截距为 b ,则( ).
A. k=2,b=1 B. k=2,b=−1 C. k=12,b=−12 D. k=12,b=12
3. 已知曲线 fx=ax+lnx 在 x=1 处的切线与直线 y=2x 平行,则实数 a 的值为( ).
A. 1 B. -1C. −23 D. −32
4. 若圆 C1:x2+y2=r2 与圆 C2:x2+y2−4x−43y+15=0 相交，则正整数 r 的值为( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 若复数 z 满足 z−1+2i=3 ，则 z 的最大值为 ( ).
A. 3−5 B. 3−2 C. 3+2 D. 3+5
6. 古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点为 A1,2 ，军营所在位置为 B5,6 ,河岸线所在直线的方程为 x−y−1=0 ,若将军从出发点到河边饮马,再到军营的总路程最短，则将军在河边饮马的地点坐标为( ).
A. 2,1 B. 3,4 C. 4,3 D. 6,5
7. 已知双曲线 C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 . 以坐标原点 O 为圆心, OF1 为半径的圆与双曲线 C 的一条渐近线在第一象限的交点为 P . 若 △PF1F2 的面积为 23a2 ,则双曲线 C 的离心率为( ).
A. 2 B. 3 C. 2 D. 5
8. 已知等比数列 an 中, a1+a2+a3+a4=1,a1+a2+a3+a4=2 ,则 a1= ( ).
A. −120 或 2720 B. −110 或 2720 C. 120 或 −2720 D. 110 或 −2720
二、多项选择题(本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求. 全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分)
9. 下列说法中正确的是( ).
A. ln2′=12
B. csxx′=−xsinx−csxx2
C. 3x+1⋅2x′=3⋅2x+3x+1⋅2xln2
D. 已知函数 fx 在 R 上可导,若 f′1=2 ,则 limΔx→0f1+2Δx−f1Δx=4
10. 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,则下列命题中正确的是( ).
A. 若 Sn=n2+1 ,则 an 是等差数列
B. 若 Sn=3n−1−13 ，则 an 是等比数列
C. 若 an 是等差数列,则 S2025=2025a1013
D. 若 an 是等比数列,且 a1>0,q>0 ,则 S2025⋅S2027>S20262
11. 已知曲线 C 的方程为 x2+y−x22=1 ，则下列说法中正确的是( ).
A. 曲线 C 关于 y 轴对称
B. 曲线 C 与坐标轴有 3 个公共点
C. 曲线 C 上任意一点的横坐标的取值范围是 −1,1
D. 曲线 C 上任意一点的纵坐标的取值范围是 −1,54
三、填空题(本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 若复数 z 满足 z3+4i=4−3i ，则 z= _____▲_____.
13. 已知抛物线 y=ax2 的准线方程为 y=−1 ，则实数 a 的值为_____▲_____.
14. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A2,4,P,Q 为圆 C:x−12+y−22=9 上的两动点, 且 AP⊥AQ . 某数学兴趣小组研究发现,线段 PQ 的中点 M 的轨迹为圆,则该圆的面积为_____ ▲_____.
四、解答题 (本大题共 5 小题, 共 77 分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (本小题满分 13 分)
已知等差数列 an 满足 a3=2 ，前 4 项和 S4=7 .
(1)求 an 的通项公式；
(2)设等比数列 bn 满足 b2=a3,b5=a31 ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn .
16. (本小题满分 15 分)
已知抛物线 C:y2=4x ，经过其焦点 F 作斜率大于 0 的直线 l ，与抛物线 C 交于 A ， B 两点. 设 A,B 两点的横坐标分别为 x1,x2 ,且 x1,x2 的等差中项为 3 .
(1)求直线 l 的方程；
(2)若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 E ，求三角形 EAB 的面积.
17. (本小题满分 15 分)
已知圆 C 过 −3,3 与 −1,5 两点，且关于直线 2x+y+1=0 对称.
(1)求圆 C 的方程；
(2) 过点 −1,2 作圆 C 的切线 l ,求 l 的方程;
(3) 过点 A1,7 的直线 m 与圆 C 交于 E,F 两点,且 E 为线段 AF 的中点,求 m 的斜率.
18. (本小题满分 17 分)
已知数列 an 的前 n 项和为 Sn ,且 an+2Sn=3n∈N∗ .
(1)求 an 的通项公式；
(2) 记 bn=2n−1an ,求 bn 的前 n 项和 Tn ;
(3) 记 cn=2n+3an+2nn+1 ,求证: c1+c2+c3+⋯+cnb>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,离心率为 12 ,且点 1,32 在 C 上.
(1)求椭圆 C 的标准方程；
(2) 若 C 的左、右顶点分别为 A,B,P,Q 是 y 轴上异于原点 O 以及 C 的上、下顶点的两点, 且满足 OQ=3OP ,直线 AP,BQ 分别交 C 于点 M,N ( M 与 N 不重合).
① 若直线 AN,BM 的斜率分别为 kAN,kBM ,是否存在常数 λ ,使得 kBM=λkAN ? 若存在,求出 λ 的值; 若不存在,请说明理由;
② 证明: 直线 MN 过定点,并求出该定点的坐标.
高二年级数学参考答案
15.【答案】(1) 设 an 公差为 d ,则 a1+2d=2,4a1+4×32d=7, 解得 a1=1,d=12.
所以 an=1+n−1×12 ,即 an=12n+1 ; 6 分
(2)设 bn 公比为 q ，则 b2=b1q=2 ， b5=b1q4=16 ，解得 b1=1 ， q=2⋯10 分所以 Tn=1×1−2n1−2=2n−1 . 13 分
16.【答案】(1) 方法一:由题知 F1,0 .
因为 l 斜率大于 0,所以设 l:y=kx−1k>0,Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2,y1≠y2 . 由 y2=4x,y=kx−1, 消 y 得 k2x2−2k2+4x+k2=0 ,所以 x1+x2=2+4k2,x1x2=1 .
因为 A,B 两点的横坐标分别为 x1,x2 ,且 x1,x2 的等差中项为 3,所以 2+4k2=6,k=1 . 所以直线 l 的方程为 x−y−1=0 . 7 分方法二: 由题知 F1,0 .
因为 l 斜率大于 0,所以设 l:x=my+1m>0,Ax1,y1,Bx2,y2x1≠x2,y1≠y2 .
由 y2=4x,x=my+1, 消 x 得 y2−4my−4=0 ,所以 y1+y2=4m,y1y2=−4 .
因为 A,B 两点的横坐标分别为 x1,x2 ,且 x1,x2 的等差中项为 3,
所以 x1+x2=6 ,所以 my1+y2+2=4m2+2=6,m=1 .
所以,直线 l 的方程为 x−y−1=0 . 7 分
(2) AB 的垂直平分线方程为 y−2=−x−3 ，即 x+y−5=0 ，
所以 E5,0 ,点 E 到直线 AB 的距离 d=5−12=22,AB=x1+x2+2=8 ,
所以 S△EAB=12AB⋅d=12×8×22=82 . 15 分
17.【答案】(1) 方法一:设圆 C 的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0 ，
则据题意可得: −3D+3E+F+18=0,−D+5E+F+26=0,2−D2−E2+1=0, 解得 D=6,E=−10,F=30.
故圆 C 的方程为 x2+y2+6x−10y+30=0 . 4 分
方法二: 两点 −3,3 与 −1,5 的中垂线的方程为 y=−x+2 ,
由 y=−x+2,2x+y+1=0, 解得 x=−3,y=5. 所以圆心 C 的坐标为 −3,5 ,圆 C 的半径 r=2 ,
故圆 C 的方程为 x+32+y−52=4 . 4 分
(2)圆 C 的方程可化为 x+32+y−52=4 ，
当 l 的斜率不存在时, l:x=−1 ,满足题意;
当 l 的斜率存在时,设 l:y−2=kx+1 ,即 kx−y+k+2=0 ,
由 d=−3k−5+k+2k2+1=−2k−3k2+1=2 ,解得 k=−512 ,故 l:5x+12y−19=0 .
综上,直线 l 的方程为 x=−1 或 5x+12y−19=0 . 9 分
(3)方法一:设 EF 中点为 M ，则 CM⊥EF .
设 CM=d,EM=t ,由 E 为线段 AF 的中点得 AM=3t .
在 Rt △CME 和 Rt △CMA 中,由 CM2+ME2=CE2,CM2+MA2=CA2, 得 d2+t2=4,d2+9t2=20, 解得 d=2 .
由题可知直线 m 的斜率存在,设其方程为 y−7=kx−1 ,即 kx−y−k+7=0 .
则 −3k−5−k+7k2+1=2 ,解得 k=1 或 17 .
故直线 m 的斜率为 1 或 17 . 15 分
方法二: 设 Fx0,y0 ,因为 E 为线段 AF 的中点,所以 Ex0+12,y0+72 .
由题可知 E,F 均在圆 C 上,所以 x0+32+y0−52=4,x0+12+32+y0+72−52=4,
即 x0+32+y0−52=4,①x0+72+y0−32=16,②
①-②得， −42x0+10−22y0−8=−12 ，则 y0=−2x0−3 ，
代入①式得 x0+32+−2x0−82=4 ，即 5x02+38x0+69=0 ，
解之得 x0=−3 或 x0=−235 ,则 E−3,3 或 E−235,315 .
所以 kAE=7−31−−3=1 或 kAE=7−3151−−235=17 ,故直线 m 的斜率为1或 17.⋯ 15 分
18.【答案】(1) 因为 an+2Sn=3 ①,
所以 an−1+2Sn−1=3n≥2 ②,
①-②得: an−an−1+2an=0n≥2 ，即 an=13an−1n≥2 ，
又 a1+2S1=3 ，所以 a1=1 .
所以 an 是以 1 为首项, 13 为公比的等比数列.
所以 an=13n−1 . 5 分
(2) bn=2n−1⋅13n−1 ,
Tn=1×130+3×131+5×132+⋯+2n−113n−1 ①,
13Tn=1×131+3×132+⋯+2n−313n−1+2n−113n ②,
①-②得: 23Tn=1+2×131+132+⋯+13n−1−2n−113n
=1+2×131−13n−11−13−2n−113n=2−2n+213n ,
所以 Tn=3−n+113n−1 . 11 分
(3)因为 cn=2n+3an+2nn+1=2n+3nn+1⋅13n+1=1n⋅3n−1n+1⋅3n+1 ,
所以 c1+c2+c3+⋯+cn=11×31−12×32+12×32−13×33+⋯+1n⋅3n−1n+1⋅3n+1 .
=13−1n+1⋅3n+10 ,即 3m2+4>n2 .
所以 kBMkBN=y1x1−2⋅y2x2−2=y1y2my1+n−2my2+n−2=94 ,
即 9m2−4y1y2+9mn−2y1+y2+9n−22=0 ,
则 9m2−43n2−12+9mn−2−6mn+9n−223m2+4=0 ,
即 9m2−4n2−4+3mn−2−6mn+3n−223m2+4=0 ,
又 n≠2 ,所以 9m2−4n+2+3m−6mn+3n−23m2+4=0 ,
解之得 n=4 ,则直线 MN 的方程为 x=my+4 ,过定点 T4,0 . 17 分题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
B
C
A
B
D
C
C
A
BCD
BC
ACD
题号
12
13
14
答案
i
1 4
134π