江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题（含解析）

这是一份江苏省如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题（含解析），共22页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 已知集合 A={x∣lnx−1≤0} ，集合 B=x∣x2−5x+6≤0 ，则 A∪B= ()
A. (1,3] B. (−∞,3] C. (−∞,6] D. {2}
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数的性质化简集合 A ,结合一元二次不等式的解集及集合并集的概念即可求解.
【详解】 ∵A={x∣lnx−1≤0}={x∣00 在区间 12,3 有解,即 k>x+1xmin ,利用基本不等式求最值即可.
【详解】函数 fx 定义域为 0,+∞,f′x=−x+k−1x=−x2+kx−1x ,
因为函数 fx 在区间 12,3 上存在单调增区间,
所以 f′x=−x2+kx−1x>0 在区间 12,3 有解,
即 −x2+kx−1>0 在区间 12,3 有解,
所以 k>x+1x 在区间 12,3 上能成立,故 k>x+1xmin ,
又 y=x+1x≥2 ,当且仅当 x=1 时取等,所以 k>2 .
故选:B.
7. 已知圆 C:x+42+y+32=1 及 A0,a,B0,−a 两点, a∈R+ ,若圆 C 上任一点 M ,都满足 ∠AMB>π2 ,则 a 的取值范围是( )
A. 0,4 B. 4,6 C. 4,+∞ D. 6,+∞
【答案】D
【解析】
【分析】将 ∠AMB>π2”转化成MA⋅MBx2+y2 . 根据 x2+y2 的几何意义求得其取值范围,可得到 a 的取值范围.
【详解】设点 Mx,y ,则 MA=−x,a−y,MB=−x,−a−y .
若满足 ∠AMB>π2 ，则 MA⋅MBx2+y2 .
令 t=x2+y2 ,则 t 表示点 M 到坐标原点 O 的距离 OM .
如图,当线段 OM 过圆心 C 时, OM 最大,最大值为 OC+1=6 .
所以 a 的取值范围是 6,+∞ .
故选:D. a2>36

8. 已知定义在 0,1 上的函数 fx 满足: ∀x∈0,1 ,都有 f1−x+fx=2 ,且 fx5=12fx ,当 0≤x10 时, −2ke−2 ,
与题设条件矛盾.
综上所述,实数 k 的取值范围是 −55,0 .
17. 如图,在斜三棱柱 ABC−A1B1C1 中， AB=AC ，侧面 B1BCC1 为矩形， A1 在底面 ABC 内的射影为 O .

(1)求证: AO⊥BC 且 OB=OC ；
(2)若 BC=OA=2OB ， AA1=23 ， AA1 与底面所成角的正切值为 22 ，求直线 AA1 到平面 B1BCC1 的距离.
【答案】(1)见解析 (2) 6
【解析】
【分析】(1) 由题知 A1O⊥ 平面 ABC ,得到 A1O⊥BC ,结合 BB1⊥BC 即可证得 BC⊥ 平面 AA1O ,得到 AO⊥BC,AD⊥BC ,结合 AB=AC 即可得到 OB=OC ;
(2)由 A1O⊥ 平面 ABC ，则 ∠A1AO 就是 AA1 与底面所成角，则 cs∠A1AO=AOAA1=63 ，得到 AO=22 ， 再利用邓体积法求点到面的距离即可.
【小问 1 详解】
连接 AO 并延长交 BC 于点 D ,连接 A1B,A1C,A1D ,

因为 A1 在底面 ABC 内的射影为 O ,
所以 A1O⊥ 平面 ABC ,则 A1O⊥BC ,
又因为侧面 B1BCC1 为矩形,
所以 BB1⊥BC ,而 BB1//AA1 ,所以 AA1⊥BC ,
由于 AO∩AA1=A1,AO,AA1⊂ 平面 AA1O ,
所以 BC⊥ 平面 AA1O ,
又因为 AO⊂ 平面 AA1O ,所以 AO⊥BC ,即 AD⊥BC ,
因为 AB=AC ， AD⊥BC ，所以 D 为 BC 中点，
则 AD 为 BC 的垂直平分线，
所以 OB=OC ，
因此， AO⊥BC 且 OB=OC 得证；
【小问 2 详解】
由(1)知 A1O⊥ 平面 ABC ，已知 BC=OA=2OB ， AA1=23 ， 则 ∠A1AO 就是 AA1 与底面所成角,其正切值为 22 ,余弦值为 63 ,
cs∠A1AO=AOAA1=AO23=63 ,解得 AO=22 ,
则 A1O=2,BC=22,OB=2 ,
∴OD=OB2−BD2=2,AD=32 ,
VB1−ABC=VA1−ABC=13×12×22×32×2=4 ,
设点 A 到平面 B1BCC1 的距离为 h ,
VA−BB1C=13S△BB1Ch=13×12×22×23h=VA1−ABC=4,
解得 h=6 ,
又易得 AA1// 平面 B1BCC1 ,
所以 AA1 到平面 B1BCC1 的距离为 6 .
18. 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动, 分别由李老师和王老师负责通知, 已知该班共 60 名学生，每次活动需 40 人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给 60 位学生家长中的 40 人，且保证所发通知都能收到.
(1)求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
(2)设该班乙同学家长收到通知的次数为 X ，求 X 的分布列及数学期望；
(3)设两次都收到通知的人数为变量 Y ，则 Y 的可能取值有哪些？并求出 Y 取到其中哪一个值的可能性最大? 请说明理由.
【答案】(1) 1−19=89
(2)分布列见解析， EX=43
(3)Y 取到 27 的可能性最大
【解析】
【分析】(1)先求出甲同学家长未收到通知的概率, 再利用对立事件概率公式求解;
(2)确定 X 的可能取值，分别计算各取值的概率，进而得到分布列和数学期望；
(3)先确定 Y 的可能取值，再根据超几何概率公式，结合作商法确定单调性，即可分析 Y 取到最大值的情况.
【小问 1 详解】
李老师通知 40 人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为 2060=13 ,
王老师通知 40 人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为 2060=13 ,
因为李老师和王老师发通知是独立事件，
所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为 13×13=19 ,
所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为 1−19=89 ;
【小问 2 详解】
X 表示乙同学家长收到通知的次数, X 的可能取值为0,1,2,
PX=0=13×13=19,
PX=1=2×13×23=49,
PX=2=23×23=49,
所以分布列为:
期望 EX=0×19+1×49+2×49=43 ;
【小问 3 详解】
Y 表示两次都收到通知的人数, Y 的可能取值为 20,21,22,⋯,40 ,
设 Y=k ,则 PY=k=C40kC2040−kC6040 ,
所以 PY=k+1PY=k=C40k+1C2039−kC6040C40kC2040−kC6040=40−k40−kk+1k−19 ,
令 PY=k+1PY=k>1 ,解得 k1 ,
则 PY=27>PY=26 ,
所以 k=27 时概率最大,
则 Y 取到 27 的可能性最大.
19. 已知椭圆 G:x2a2+y2b2=1a>b>0 的离心率为 22 ，短轴长为 2，椭圆 G 上有两点 A,B 关于原点对称， 动点 P 与 A,B 两点的连线分别交椭圆 G 于点 C,D ,满足 CA=2PC,DB=2PD .
(1)求椭圆 G 的方程；
(2)求动点 P 的轨迹方程；
(3)过 P 点作椭圆 G 的两条切线(与坐标轴不垂直，试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】(1) x22+y2=1
(2) x24+y22=1
(3)为定值，证明见解析
【解析】
【分析】(1) 利用椭圆的性质并结合题意建立方程, 求出基本量, 进而得到椭圆方程即可.
(2)结合题意，设出点的坐标，利用 CA=2PC 得到 x2+2y2+xx1+2yy1=4 ，利用 DB=2PD 得到 x2+2y2−xx1−2yy1=4 ,再将两式相加即可.
(3)设出切线方程并联立方程组得到 12+k2x2+2ky0−kx0x+y0−kx02−1=0 ，再结合判别式得到 x02−2k2−2x0y0k+y02−1=0 ,最后利用韦达定理求解即可.
【小问 1 详解】
因为椭圆的短轴长为 2,离心率为 22 ,所以 b=1,ca=22 ,
由椭圆的性质得 a2−c2=b2=1 ,且 2c=2a ,解得 a=2 , c=1 ,
则椭圆 G 的方程为 x22+y2=1 .
【小问 2 详解】
设 Ax1,y1,Cx2,y2,Px,y,Dx3,y3 ,
而 A,B 关于原点对称,则 B−x1,−y1 ,可得 CA=x1−x2,y1−y2,PC=x2−x,y2−y ,
因为 CA=2PC ,所以 x1−x2=2x2−xy1−y2=2y2−y ,解得 x2=2x+x13,y2=2y+y13 ,
可得 C2x+x13,2y+y13 ,因为 C 在椭圆上,所以其坐标满足 x22+y2=1 ,
则 2x+x1322+y1+2y32=1 ,化简得 x2+2y2+xx1+2yy1=4 ,
而 DB=−x1−x3,−y1−y3,PD=x3−x,y3−y ,
因为 DB=2PD ,所以 −x1−x3=2x3−x−y1−y3=2y3−y ,
解得 x3=2x−x13,y3=2y−y13 ,则 D2x−x13,2y−y13 ,
因为 D 在椭圆上,所以其坐标满足 x22+y2=1 ,
则 2x−x1322+2y−y132=1 ,化简得 x2+2y2−xx1−2yy1=4 ,
两式相加可得 2x2+4y2=8 ,即 x24+y22=1 .
【小问 3 详解】
如图,作出符合题意的图形,

由题设,切线的斜率必定存在,设斜率为 k ,得到切线方程为 y−y0=kx−x0 ,
联立方程组 y−y0=kx−x0x22+y2=1 ,
得到 12+k2x2+2ky0−kx0x+y0−kx02−1=0 ,
因为直线与椭圆相切,所以 Δ=0 ,
可得 2ky0−kx02−4×12+k2×y0−kx02−1=0 ,
化简得 x02−2k2−2x0y0k+y02−1=0 ,
设过 Px0,y0 的两条切线的斜率分别为 k1,k2 ,
因为 P 的轨迹方程为 x024+y022=1 ,所以解得 x02=4−2y02 ,
由韦达定理得 k1k2=y02−1x02−2=y02−14−2y02−2=y02−12−2y02=y02−1−2y02−1=−12 .x (月份)
1
2
3
4
5
y (人数)
2
3
5
7
8
性别
不关注赛事
关注赛事
男性
120
380
女性
80
420
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828
x
−∞,k
k
k,−2k
−2k
−2k,+∞
f′x
-
0
+
0
-
fx
减
极小值
增
极大值
减
x
−∞,−2k
−2k
−2k,k
k
k,+∞
f′x
+
0
-
0
+
fx
增
极大值
减
极小值
增
X
0
1
2
P
19
4 9
4 9