江苏省南通市如皋市2026届高三上学期教学质量调研（一）数学试题（含答案）含答案解析

这是一份江苏省南通市如皋市2026届高三上学期教学质量调研（一）数学试题（含答案）含答案解析，文件包含江苏省南通市如皋市2025-2026学年高三上学期第一次教学质量调研数学试题无答案docx、江苏省南通市如皋市2026届高三上学期教学质量调研一数学Word版含解析docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共26页， 欢迎下载使用。
一、单项选择题(本大题共8小题， 每小题5分， 共计40分．在每小题给出的四个选项中， 只有一个是符合题目要求的， 请把答案填涂在答题卡相应位置上)
1. 已知集合，集合，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】∵，，
∴.
故选：A.
2. 设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】，
所以.
故选：B
3. “双曲线的两渐近线夹角为”是“”的（ ）
A. 充要条件B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】双曲线的两渐近线夹角为，
所以或，所以或.
“或”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4. 已知随机事件互相独立，满足，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为随机事件互相独立，所以，
则，
,
解得，，，
．
故选：A．
5. 三棱锥中，平面平面，和均为等边三角形，则二面角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【详解】如图，作出符合题意的图形，取的中点，连接，

因为和均为等边三角形，所以，，
因为平面平面，且面，所以面，
则以为原点建立空间直角坐标系，设和的边长为，
可得，，，
得到，，
设面的法向量为，可得，
令，解得，故，
易得面法向量为，
设二面角为，由图可知为锐角，
则，故C正确
故选：C
6. 函数在区间上存在单调增区间，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】函数定义域为，，
因为函数在区间上存在单调增区间，
所以区间有解，
即在区间有解，
所以在区间上能成立，故，
又，当且仅当时取等，所以．
故选：B．
7. 已知圆及两点，，若圆上任一点，都满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】设点，则，.
若满足，则，即，即，所以.
令，则表示点到坐标原点的距离.
如图，当线段过圆心时，最大，最大值为.
所以的取值范围是.
故选：D.

8. 已知定义在上的函数满足：，都有，且，当时，有，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】定义在上的函数满足：，都有，且，
所以，故，
在等式中，令可得，所以，
所以，，，
，，
在等式中，令可得，所以，
所以，，，
，
当时，有，
又因为，且，故.
故选：B.
二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数，下列说法正确的是（ ）
A. B. 为偶函数
C. 当时，D. 若，则
【答案】BC
【详解】因为，
对于A选项，，A错；
对于B选项，当时，，则，
当时，，则，
所以，对任意的，，故函数为偶函数，B对；
对于C选项，当时，，
所以，故，C对；
对于D选项，若，则，此时，D错.
故选：BC.
10. 已知二项展开式，下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【详解】令，
对于A选项，的展开式通项为，
其中，，所以，A对；
对于B选项，，
所以，B错；
对于C选项，，
所以，C对；
对于D选项，，
故，D对.
故选：ACD.
11. 一个封闭的直三棱柱容器内装有高度为3的水(如图所示，底面处于水平状态)．记水面为，，，现以所在直线为旋转轴，将容器逆时针旋转的过程中，下列说法正确的是（ ）
A. 水面形状的变化依次为三角形，等腰梯形，矩形
B. 水面可能是正三角形
C. 当经过时，与面的交线长为
D. 当逆时针旋转时，水面的面积为
【答案】ABCD
【详解】A选项，水的体积，
，
所以当水面经过时，水面与棱相交，如图3，
当水面经过点时，水面与面相交，如图4，
则在此之前水面形状均为三角形，
继续旋转直至之前，水面形状为等腰梯形，如图5，
转至时，水面形状为矩形，如图6，故A选项正确；
B选项，初始位置，如图1，，
当水面经过时，如图3，此时，
所以，，
所以在转动过程中，存在，使得水面是正三角形，故B选项正确；
C选项，如图4，，且由于与相似，
则， ，故C选项正确；
D选项，当逆时针旋转时，如图6，，
且由于与相似，则，则，
则水面的面积为，故D选项正确.

三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
12. 已知，，则的最小值为______．
【答案】
【详解】，且，
，
当且仅当，即时，等号成立，又，
故时，等号成立，所以的最小值为8.
故答案为：
13. 已知是坐标原点，抛物线的焦点是，过的直线与交于两点，现将抛物线沿轴翻折，则三棱锥体积的最大值为_____.
【答案】
【详解】抛物线的焦点为.
易知直线的斜率必不为0，故设直线：.
联立方程组，消去并整理得.
设，，则，.
设抛物线沿轴翻折后点到平面的距离为，则，
∴.
故答案为：.
14. 小明同学有一个质地均匀的正四面体玩具，四个面分别标有数字1，2，3，4，现随机抛掷，记录每次朝下的面上的数字，如果是数字4就停止，否则继续抛掷，至多抛3次．设这几次记录的最大数字为，则_____；_____．
【答案】 ①. ②.
【详解】的可能取值为1，2，3，4，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字均为1，
抛掷3次，朝下的面上的数字共有种情况，
故，
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为2，
分有1个2，2个2和3个2三种情况，
故；
，即抛掷3次，朝下的面上的数字中，最大数字为3，
分有1个3，2个3和3个3三种情况，
故；
，抛掷1次，朝下的面上的数字为4，此时概率为，
或抛掷2次，第二次朝下的面上的数字为4，此时概率为，
抛掷3次，第三次朝下的面上的数字为4，此时概率为，
故；
故
故答案为：，.
四、解答题（本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15. 为促进消费，扩大内需，江苏省体育局主办了年城市足球联赛，简称“苏超”．随着赛事的进行，引发全省乃至全国人民的关注，城市旅游人数显著提升．下表是比赛五个月来的某城市旅游人数（百万）与第个月的数据：
（1）已知可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程；
（2）该市随机抽取了部分市民及游客，调查他们对赛事的关注情况，得到如下列联表：
请依据小概率值的独立性检验，能否认为关注“苏超”赛事与性别有关．
参考公式：，，其中．
【答案】（1）
（2）能，理由见解析
【小问1详解】
由表格中的数据可得，，
所以，
，
故关于的线性回归方程为.
【小问2详解】
零假设关注“苏超”赛事与性别无关，
由表格中的数据可得，
依据小概率值的独立性检验，能认为关注“苏超”赛事与性别有关.
16 已知函数．
（1）求的极值；
（2）若，都有，求的取值范围．
【答案】（1）极小值为，极大值为
（2）
【小问1详解】
由题意可知，且，
所以，
当时，，列表如下：
此时，函数的极小值为，极大值为；
当时，，列表如下：
此时，函数的极小值为，极大值为.
综上所述，函数的极小值为，极大值为.
【小问2详解】
当时，由（1）可知函数在上单调递增，在上单调递减，
若，都有，只需，即，解得，
此时；
当时，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，
与题设条件矛盾.
综上所述，实数的取值范围是.
17. 如图，在斜三棱柱中，，侧面为矩形，在底面内的射影为．
（1）求证：且；
（2）若，，与底面所成角的正切值为，求直线到平面的距离．
【答案】（1）见解析 （2）
【小问1详解】
连接并延长交于点，连接，
因为在底面内射影为，
所以平面，则，
又因为侧面为矩形，
所以，而，所以，
由于平面，
所以平面，
又因为平面，所以，即，
因为，，所以D为中点，
则为的垂直平分线，
所以，
因此，且得证；
【小问2详解】
由（1）知平面，已知，，
则就是与底面所成角，其正切值为，余弦值为，
，解得，
则，
，
，
设点到平面的距离为，
，
解得，
又易得平面，
所以到平面的距离为．
18. 某班准备在周六和周日两天分别进行一次环保志愿活动，分别由李老师和王老师负责通知，已知该班共60名学生，每次活动需40人参加，假设李老师和王老师通过“家校通”平台分别将通知独立、随机地发给60位学生家长中的40人，且保证所发通知都能收到．
（1）求该班甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率；
（2）设该班乙同学家长收到通知的次数为，求的分布列及数学期望；
（3）设两次都收到通知的人数为变量，则的可能取值有哪些？并求出取到其中哪一个值的可能性最大？请说明理由．
【答案】（1）
（2）分布列见解析，
（3）取到27的可能性最大
【小问1详解】
李老师通知40人，甲同学家长未收到李老师通知的概率为，
王老师通知40人，甲同学家长未收到王老师通知的概率也为，
因为李老师和王老师发通知是独立事件，
所以甲同学家长未收到李老师和王老师通知的概率为，
所以甲同学家长收到李老师或王老师通知的概率为；
【小问2详解】
表示乙同学家长收到通知的次数，的可能取值为0，1，2，
，
，
，
所以分布列为：
期望；
【小问3详解】
表示两次都收到通知的人数，的可能取值为20，21，22，…，40，
设，则，
所以，
令，解得，
所以时，单调递增，
时，单调递减，
又，
则，
所以时概率最大，
则取到27的可能性最大．
19. 已知椭圆的离心率为，短轴长为2，椭圆上有两点关于原点对称，动点与两点的连线分别交椭圆于点，满足，.
（1）求椭圆的方程；
（2）求动点的轨迹方程；
（3）过点作椭圆的两条切线（与坐标轴不垂直），试探究两切线斜率乘积是否为定值？
【答案】（1）
（2）
（3）为定值，证明见解析
【小问1详解】
因为椭圆的短轴长为2，离心率为，所以，，
由椭圆的性质得，且，解得，，
则椭圆的方程为.
【小问2详解】
设，
而关于原点对称，则，可得，，
因为，所以，解得，
可得，因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
而，，
因为，所以，
解得，则，
因为在椭圆上，所以其坐标满足，
则，化简得，
两式相加可得，即.
【小问3详解】
如图，作出符合题意的图形，
由题设，切线的斜率必定存在，设斜率为，得到切线方程为，
联立方程组，
得到，
因为直线与椭圆相切，所以，
可得，
化简得，
设过的两条切线的斜率分别为，
因为的轨迹方程为，所以解得，
由韦达定理得.（月份）
（人数）
性别
不关注赛事
关注赛事
男性
女性
减
极小值
增
极大值
减
增
极大值
减
极小值
增
0
1
2