北京市怀柔区第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷

这是一份北京市怀柔区第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试卷，共14页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，甲从中选修一门课程，则甲不同的选择情况共有( )
A. 17种B. 34种C. 35种D. 70种
2.3名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，排球队，每人限报其中的一个运动队，不同报法的种数是( )
A. 34B. 43C. 24D. 12
3.(x−2x2)6的展开式中，常数项为( )
A. −60B. −15C. 15D. 60
4.若函数f(x)=ex−x−1(e为自然对数的底数)，则f′(0)=( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
5.从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，则恰好选出一名男同学和两名女同学的概率为( )
A. 25B. 23C. 35D. 12
6.如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，则下面判断正确的是( )
A. 在(1,2)上f(x)是减函数B. 在(3,5)上f(x)是增函数
C. 在x=1处取得极大值D. 在x=−1处取得极小值
7.哪个区间是函数f(x)=x+1x的单调递增区间是( )
A. (12,+∞)B. (−1,0)C. (1,+∞)D. (0,1)
8.已知事件A，B满足P(A)=0.6，P(B)=0.1，则( )
A. 若A与B相互独立，则P(AB−)=0.06
B. 若A与B互斥，P(AB)=0.06
C. 若P(B)+P(C)=1，则C与B相互对立
D. 若B⊆A，则P(A∪B)=0.6
9.现有武隆喀斯特旅游区、巫山小三峡、南川金佛山、大足石刻和酉阳桃花源5个旅游景区，甲、乙随机选择其中一个景区游玩.记事件A：甲和乙至少一人选择巫山小三峡，事件B：甲和乙选择的景区不同，则条件概率P(B|A)=( )
A. 56B. 67C. 78D. 89
10.设函数f(x)=|lnx|,x>0,ex(x+1),x≤0,若函数f(x)的图象与直线y=b有三个交点，则实数b的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. [−1e2,0]C. {0}∪(1,+∞)D. (0,1]
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知曲线y=f(x)在x=5处的切线方程是y=−2x+8，则f′(5)为______，f(5)为______.
12.从A，B，C，D，E这5人中选出4人，其中A，B不相邻，则不同的安排方法有______种.
13.在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为______.
14.设随机变量ξ的分布列如表，则P(|ξ−3|=1)=______.
15.如图，将一张8cm×5cm的长方形纸片剪下四个全等的小正方形，使得剩余部分经过折叠能糊成一个无盖的长方体纸盒，则剪下的小正方形的边长为______ cm时，这个纸盒的容积最大.
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
从5名男生和4名女生中选出4人去参加数学竞赛．
(1)如果选出的4人中男生、女生各2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的小王和女生中的小红至少有1人入选，那么有多少种选法？
(3)如果被选出的4人是甲、乙、丙、丁，将这4人派往2个考点，每个考点至少1人，那么有多少种派送方式？
17.(本小题14分)
在(1+ x)6展开式中.
(1)求含x2的项，并写出该项的二项式系数；
(2)求出所有有理项.
18.(本小题14分)
高中的数学试卷满分是150分，记成绩在[130,150]分属于优秀.杜老师为研究某次高三联考本校学生的数学成绩，随机抽取了200名学生的数学成绩(均在区间[90,150]内)作为样本，并整理成如下频率分布直方图.
(1)根据频率分布直方图估计本次高三联考该校学生的数学成绩的优秀率；
(2)从样本中数学成绩在[120,130),[130,140)的两组学生中，用分层抽样的方法抽取5名学生，再从这5名学生中随机选出3人，记这3人中来自[120,130)组的人数为X，求X的分布列与数学期望.
19.(本小题15分)
某学校有A，B两个学生餐厅.在“厉行节约、反对浪费”主题宣传月活动中，为帮助餐厅把握每日每餐的用餐人数，科学备餐，该校学生会从全校随机抽取了100名学生作为样本，收集他们在某日的就餐信息，经过整理得到如表数据：
用频率估计概率，且学生对餐厅的选择相互独立，每日用餐总人数相对稳定.
(Ⅰ)若该学校共有2000名学生，估计每日在A餐厅用早餐的人数；
(Ⅱ)从该学校每日用午餐的学生中随机抽取3人，设X表示这3人中在A餐厅用餐的人数，求X的分布列和数学期望E(X)；
(Ⅲ)一个星期后，从在学校每日用晚餐的学生中随机抽查了10人，发现在B餐厅用晚餐的有2人.根据抽查结果，能否认为在B餐厅用晚餐的人数较上个星期发生了变化？说明理由.
20.(本小题15分)
已知函数f(x)=x−lnx−2.
(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；
(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性；
(Ⅲ)若对任意的x∈(1,+∞)，都有xlnx+x>k(x−1)成立，求整数k的最大值.
21.(本小题15分)
已知函数f(x)=−sinx+kx.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线为y=−32x，求k的值；
(Ⅱ)若f(x)为R上的单调函数，求k的取值范围；
(Ⅲ)若函数g(x)=k6x3+x+sinx，求证：k可以取无数个值，使得每一个k的取值g(x)都恰有三个不同的零点.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据题意，某选修课有10门体育课程和7门科学课程可供选择，
由分类加法计数原理得，甲作出的不同的选择情况共有10+7=17种．
故选：A.
根据题意，利用分类加法计数原理直接求解即可．
本题考查加法原理的应用，注意分类、分步计数原理的不同，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：因为3名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，排球队，
每人限报其中的一个运动队，由分步乘法计数得到为43，
故选：B.
根据题意，易得3名同学中每人有4种报名方法，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查分步计数原理的运用，解题时注意题干条件中“每人限报其中的一个运动队”．
3.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了求二项展开式的常数项，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令含x项的指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
【解答】
解：(x−2x2)6的展开式的通项公式为Tr+1=C6r⋅(−2)r⋅x6−3r，
令6−3r=0，求得r=2，
可得常数项为 C62×4=60，
故选：D.
4.【答案】B
【解析】解：f(x)=ex−x−1，
则f′(x)=ex−1，
故f′(0)+e0−1=0.
故选：B.
求出导函数，再将x=0代入导函数，即可求解．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：从两名男同学和四名女同学中随机选出三人参加数学竞赛，有C63=20种选法，
其中恰好选出一名男同学和两名女同学有C21⋅C42=2×6=12种选法，
所以P=1220=35.
故选：C.
根据古典概型的概率公式可得解．
本题考查排列组合相关知识，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：根据题目：如图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象，
x∈(1,2)时，f′(x)>0，所以在(1,2)上f(x)是增函数，故A错误；
在x∈(3,5)时，f′(x)符号有变化，所以在(3,5)上f(x)不单调，故B错误；
在x=1两侧，导数的符号都为正，故x=1不是极值点，故C错误；
因为x∈(−3,−1)时，f′(x)0，
所以f(x)在(−3,−1)上单调递减，在(−1,1)上单调递增，
所以在x=−1处取得极小值，故D正确．
故选：D.
根据导数的符号确定函数的单调性，结合选项逐一分析即可．
本题考查利用导数求解函数的单调性和单调区间，属于中档题．
7.【答案】C
【解析】解：根据题意，f(x)=x+1x，其定义域为{x|x≠0}，
其导数f′(x)=1−1x2=x2−1x2，
若f′(x)>0，即x2−1x2>0，解可得x>1或x