北京市怀柔区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷

这是一份北京市怀柔区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答期等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜2}，集合B＝{1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＜2}B．{x|x≤2}C．{1}D．{1，2}
2．（4分）函数的定义域是（ ）
A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣2}
C．{x|x≥﹣2且x≠0}D．{x|x＞﹣2且x≠0}
3．（4分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．f（x）＝x3
C．f（x）＝lg2|x|D．
4．（4分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．a•c2＞b•c2
C．D．
5．（4分）已知a＝22，b＝lg23，c＝lg20.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a
6．（4分）下列区间中，一定存在函数f（x）＝ex+x﹣4零点的是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
7．（4分）甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学的平均分比乙同学高
B．甲同学的成绩比乙同学稳定
C．甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差
D．甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大
8．（4分）设p：|x|＜1，q：lnx＜0，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分不必要条件
9．（4分）若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，则xf（x）＞0的解集是（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
10．（4分）设A、B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝，B＝，则A×B等于（ ）
A．[0，1]∪[2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1]∪[4，+∞）D．[0，1）∪（4，+∞）
二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），2n≥1”的否定为 ．
12．（5分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是 ．
13．（5分）计算：50+＝ ；ln1+lg+lg＝ ．
14．（5分）从下列三个条件中：
①f（﹣x）＝f（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），都有；
③∀x1，x2∈（0，+∞），都有．
任选两个 作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式： ．
15．（5分）设函数
①若a＝1，则函数f（x）的零点个数有 个．
②若函数f（x）有最小值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答期：共6道小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝的定义域为集合A，集合B＝{x|x≥a}．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）当a＝1时，求∁RB，A∪B；
（Ⅲ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
17．（14分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f（0）与f（f（0））的值；
（Ⅱ）做出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个零点，求实数a的取值范围．
18．（13分）喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）．
（Ⅰ）求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率；
（Ⅱ）求甲中奖的概率．
19．（14分）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y＝ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本＝．
（Ⅰ）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
（Ⅱ）若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润＝销售额﹣成本）
20．（15分）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数；
（Ⅲ）若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率．
21．（16分）已知函数是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[﹣1，1]单调性并用定义加以证明；
（Ⅲ）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]都有g（x1）≤f（x2）+2m成立，求m的取值范围．
参考答案
一、选择题：共10道小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）已知集合A＝{x|x＜2}，集合B＝{1，2}，则A∩B＝（ ）
A．{x|x＜2}B．{x|x≤2}C．{1}D．{1，2}
【分析】根据已知条件，结合交集的定义，即可求解．
【解答】解：集合A＝{x|x＜2}，集合B＝{1，2}，
则A∩B＝{1}．
故选：C．
【点评】本题主要考查交集的运算，属于基础题．
2．（4分）函数的定义域是（ ）
A．{x|x≥﹣2}B．{x|x＞﹣2}
C．{x|x≥﹣2且x≠0}D．{x|x＞﹣2且x≠0}
【分析】根据函数的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
【解答】解：函数，
则，解得x＞﹣2且x≠0．
故选：D．
【点评】本题考查了求函数定义域的问题，解题时应求出使函数有意义的自变量的取值范围，是基础题目．
3．（4分）下列函数中，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ）
A．B．f（x）＝x3
C．f（x）＝lg2|x|D．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，f（x）＝，是反比例函数，是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递减，不符合题意；
对于B，f（x）＝x3，是幂函数，既是奇函数又在区间（0，+∞）上单调递增，符合题意；
对于C，f（x）＝lg2|x|，是偶函数，不是奇函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝，其定义域为[0，+∞），既不是奇函数也不是偶函数，不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查函数奇偶性、单调性的判断，注意常见函数的奇偶性和单调性，属于基础题．
4．（4分）已知a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．a•c2＞b•c2
C．D．
【分析】由已知结合不等式性质及指数函数单调性检验各选项即可判断．
【解答】解：因为a＞b＞0，
由基本不等式可得a+b＞2，A正确；
当c＝0时，B显然错误，
因为y＝（）x在R上单调递减，故（）a，C错误；
由a＞b＞0可得，D错误．
故选：A．
【点评】本题主要考查了不等式性质的应用，属于基础题．
5．（4分）已知a＝22，b＝lg23，c＝lg20.5，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a
【分析】根据已知条件，结合对数函数的单调性，即可求解．
【解答】解：a＝22＝4，1＜b＝lg23＜2，c＝lg20.5＜lg21＝0，
综上所述，c＜b＜a．
故选：D．
【点评】本题主要考查数值大小的比较，属于基础题．
6．（4分）下列区间中，一定存在函数f（x）＝ex+x﹣4零点的是（ ）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【分析】判断出函数的单调性，根据零点存在定理判断即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝ex+x﹣4，x∈R，
又因为y＝ex与y＝x﹣4在R上均单调递增，
所以函数f（x）＝ex+x﹣4在R上单调递增，
又因为f（1）＝e﹣3＜0，f（2）＝e2﹣2＞0，
所以函数f（x）＝ex+x﹣4的唯一零点在区间（1，2）内．
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数、一次函数的性质，考查了零点存在定理，属于基础题．
7．（4分）甲乙两名同学5次数学测验成绩（百分制）如茎叶图所示，则下列结论正确的是（ ）
A．甲同学的平均分比乙同学高
B．甲同学的成绩比乙同学稳定
C．甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差
D．甲同学成绩的中位数和极差都比乙同学大
【分析】从茎叶图中可以得到甲、乙两名同学的成绩数据，分别计算两者的平均数、方差、中位数和极差
【解答】解：平均数：甲同学平均分为84，乙同学平均分为87，
因此甲同学平均分比乙同学低，选项A错误，
方差：甲同学方差为46.8，乙同学方差为20，因此甲同学成绩的方差大于乙同学成绩的方差，
甲同学的成绩比乙同学不稳定，选项C正确，选项B错误，
中位数和极差：甲同学中位数为83，极差为19；乙同学中位数为88，极差为13，
因此，甲同学成绩的中位数比乙同学小，极差也比乙同学大，选项D错误．
故答案为：C．
【点评】本题考查了茎叶图，属于中档题．
8．（4分）设p：|x|＜1，q：lnx＜0，则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分不必要条件
【分析】分别求出命题p，q的x的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断求解．
【解答】解：命题p：由|x|＜1可得：﹣1＜x＜1；
命题q：由lnx＜0可得：0＜x＜1，
因为（﹣1，1）⫌（0，1），
则p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了充分必要条件的应用，属于基础题．
9．（4分）若函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，又f（﹣2）＝0，则xf（x）＞0的解集是（ ）
A．（﹣2，0）∪（0，2）B．（﹣∞，﹣2）∪（0，2）
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣2，0）∪（2，+∞）
【分析】由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．
【解答】解：因为函数f（x）为偶函数，且在（0，+∞）内是增函数，f（﹣2）＝0，
所以f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，f（2）＝f（﹣2）＝0，
则xf（x）＞0可化为或，
所以或，
所以x＞2或﹣2＜x＜0．
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
10．（4分）设A、B是非空集合，定义：A×B＝{x|x∈A∪B且x∉A∩B}．已知A＝，B＝，则A×B等于（ ）
A．[0，1]∪[2，+∞）B．[0，1）∪（2，+∞）
C．[0，1]∪[4，+∞）D．[0，1）∪（4，+∞）
【分析】先分别求出集合A，B，然后结合集合的基本运算及已知定义即可求解．
【解答】解：A＝＝[0，2]，
因为x＞﹣1时，y＝x+＝x+1+﹣1﹣1＝1，当且仅当x+1＝1，即x＝0时取等号，
所以B＝[1，+∞），A∩B＝[1，2]，A∪B＝[0，+∞），
则A×B＝[0，1）∪（2，+∞）．
故选：B．
【点评】本题以新定义为载体，主要考查了集合的基本运算，属于基础题．
二、填空题：共5道小题，每小题5分，共25分。
11．（5分）命题“∀x∈（0，+∞），2n≥1”的否定为 ∃x∈（0，+∞），2n＜1 ．
【分析】任意改存在，将结论取反，即可求解．
【解答】解：“∀x∈（0，+∞），2n≥1”的否定为：∃x∈（0，+∞），2n＜1．
故答案为：∃x∈（0，+∞），2n＜1．
【点评】本题主要考查命题的否定，属于基础题．
12．（5分）从某校随机抽取100名学生，获得了他们一周体育锻炼时间（单位：小时）的数据，整理得到频数分布表．从该校随机选取一名学生，试估计这名学生该周体育锻炼时间不少于12小时的概率是 0.9 ．
【分析】根据频数分布表即可求解．
【解答】解：根据频数分布表，
可知100名学生中一周课外阅读时间少于12小时的学生共有 6+8+17+22+25+12＝90（名），
所以样本中学生一周课外阅读时间少于12小时的频率是，
故不少于12小时的概率为1﹣0.9＝0.1，
用频率估计概率，可得从该校随机选取一名学生，其该周课外阅读时间少于12小时的概率为0.9．
故答案为：0.9．
【点评】本题考查了频数分布表，属于基础题．
13．（5分）计算：50+＝ 3 ；ln1+lg+lg＝ ﹣1 ．
【分析】结合指数、对数的运算法则，即可求解．
【解答】解：50+＝1+2＝3，ln1+lg+lg＝0+．
故答案为：3；﹣1．
【点评】本题主要考查指数、对数的运算法则，属于基础题．
14．（5分）从下列三个条件中：
①f（﹣x）＝f（x）；
②∀x1，x2∈（0，+∞），都有；
③∀x1，x2∈（0，+∞），都有．
任选两个 ①② 作为条件，写出一个同时满足这两个条件的函数的解析式： f（x）＝x﹣2（答案不唯一） ．
【分析】根据题意，分析3个条件对应的函数性质，结合常见函数的性质分析可得答案．
【解答】解：根据题意，
若选择①②：
对于①，若f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，
对于②，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有，则f（x）（0，+∞）上为减函数，
同时符合两个条件的函数可以为f（x）＝x﹣2．
若选择①③：
对于①，若f（﹣x）＝f（x），则f（x）为偶函数，
对于③，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有，则f（x）的图象向下凹，
同时符合两个条件的函数可以为f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
若选择②③：
对于②，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有，则f（x）在（0，+∞）上为减函数，
对于③，若∀x1，x2∈（0，+∞），都有，则f（x）的图象向下凹，
同时符合两个条件的函数可以为f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
故答案为：①②，f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
①③，f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
②③，f（x）＝x﹣2（答案不唯一）．
【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性，涉及函数的变换趋势，属于基础题．
15．（5分）设函数
①若a＝1，则函数f（x）的零点个数有 3 个．
②若函数f（x）有最小值，则实数a的取值范围是 [1，+∞） ．
【分析】①，由f（x）＝0来求得零点的个数；
②，对a进行分类讨论，结合二次函数的性质求得a的取值范围．
【解答】解：∵函数
∴①当a＝1时，，
令f（x）＝0，可得或，
解得x＝0或x＝1或x＝2，
∴f（x）的零点个数有3个；
②当x＜1时，f（x）＝2x﹣a在区间（﹣∞，1）上单调递增，
值域为（﹣a，1﹣a），无最值．
当x≥1时，f（x）＝4（x﹣a）（x﹣2a），
开口向上，对称轴为，，
当时，，
则8a2﹣12a+4≤﹣a，8a2﹣11a+4≤0（1），
h（a）＝8a2﹣11a+4的开口向上，对称轴为，
，则（1）不成立．
当时，，
则﹣a2≤﹣a，a2﹣a＝a（a﹣1）≥0，解得a≥1．
综上可得实数a的取值范围是[1，+∞）．
故答案为：3；[1，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的应用，函数的零点问题，属中档题．
三、解答期：共6道小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
16．（13分）已知函数f（x）＝的定义域为集合A，集合B＝{x|x≥a}．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）当a＝1时，求∁RB，A∪B；
（Ⅲ）若A∩B＝A，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据根式的性质建立不等式即可求解；（Ⅱ）代入a的值求出集合B，再根据并集，补集的定义即可求解；（Ⅲ）由题意可得A⊆B，然后根据子集的定义建立不等式即可求解．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得4﹣x2≥0，解得﹣2≤x≤2，
则集合A＝[﹣2，2]；
（Ⅱ）当a＝1时，B＝{x|x≥1}，
则∁RB＝{x|x＜1}，A∪B＝{x|x≥﹣2}；
（Ⅲ）由题意可得A⊆B，则a≤﹣2，
即实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查了集合的运算性质，涉及到集合的包含关系，属于基础题．
17．（14分）已知函数f（x）＝．
（Ⅰ）求f（0）与f（f（0））的值；
（Ⅱ）做出函数f（x）的图象，并写出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个零点，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）根据f（x）的解析式直接求解；
（Ⅱ）根据二次函数和对数函数的图象做出函数f（x）的图象，数形结合求出函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个零点，则函数y＝f（x）与y＝a的图象有三个交点，数形结合求解．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝，
所以f（0）＝0+0+3＝3，f（f（0））＝f（3）＝lg33＝1；
（Ⅱ）作出函数f（x）的图象，如图所示：
由图象可知，函数f（x）的单调递增区间为[﹣2，0]，（0，+∞）；
（Ⅲ）若函数g（x）＝f（x）﹣a有三个零点，则函数y＝f（x）与y＝a的图象有三个交点，
由图象可知﹣1＜a≤3，
即实数a的取值范围为（﹣1，3]．
【点评】本题主要考查了分段函数的图象和性质，考查了函数的零点与方程根的关系，属于中档题．
18．（13分）喜迎春节，某商场为吸引顾客举办购物抽奖活动，购买一定价值的商品可以获得一张奖券．甲在该商场消费后共获得2张奖券，抽奖时每次只能抽取一张，每张奖券中奖的概率都是（每次抽奖相互独立）．
（Ⅰ）求甲第一次没抽中，第二次抽中的概率；
（Ⅱ）求甲中奖的概率．
【分析】（Ⅰ）利用独立事件的概率乘法公式求解；
（Ⅱ）利用间接法，结合对立事件和独立事件的概率公式求解．
【解答】解：（Ⅰ）设事件A表示“甲第一次没抽中，第二次抽中的概率”，
则P（A）＝＝；
（Ⅱ）设事件B表示“甲中奖”，则事件表示“甲没中奖”，
则P（）＝（1﹣）×（1﹣）＝，
所以P（B）＝1﹣P（）＝1﹣＝．
【点评】本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，属于基础题．
19．（14分）某企业研发的一条生产线生产某种产品，据测算，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系式为y＝ax2+3000，且当年产量是100吨时，总成本为6000万元．平均成本＝．
（Ⅰ）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求出这个最低成本；
（Ⅱ）若企业每吨产品的出厂价为90万元，当年利润不少于3000万元时，则该生产线年产量的最小值应为多少吨？（利润＝销售额﹣成本）
【分析】（Ⅰ）由题意可知，当x＝100时，y＝6000，由此可求出a的值，再利用基本不等式求解即可；
（Ⅱ）由题意可知，年利润L＝﹣x2+90x﹣3000，令﹣x2+90x﹣3000≥3000，求出x的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）当年产量是100吨时，总成本为6000万元，
所以6000＝a×1002+3000，
解得a＝，
所以y＝x2+3000，x＞0，
所以生产每吨产品的平均成本为＝＝≥2＝60，
当且仅当＝，即x＝100，
所以当年产量为100吨时，生产每吨产品的平均成本最低，最低成本为60万元；
（Ⅱ）由题意可知，年利润L＝90x﹣y＝90x﹣（x2+3000）＝﹣x2+90x﹣3000，
令﹣x2+90x﹣3000≥3000，得x2﹣300x+20000≤0，
解得100≤x≤200，
所以该生产线年产量的最小值应为100吨．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了利用基本不等式求最值，属于中档题．
20．（15分）亚运会志愿者的服务工作是举办一届成功亚运会的重要保障，为确保第19届亚运会在杭州顺利举行，2023年5月22日杭州亚运会赛会志愿者全球招募启动活动在浙大城市学院举行．为配合亚运会志愿者选拔，某高校举行了志愿者选拔面试，面试成绩满分100分，现随机抽取了100名候选者的面试成绩，绘制成如图所示频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图估计样本数据的众数及中位数；
（Ⅲ）若在成绩为[80，90），[90，100]的两组人中用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中任意抽取2人分别安排去乒乓球场馆和跳水场馆志愿服务，求去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率．
【分析】根据频率分布直方图即可求解．
【解答】解：（1）根据题意知，面试成绩落在[50，60），[70，80），[80，90），[90，100]内的频率分别为0.12，0.40，0.16，0.04，
则落在[60，70）内的频率为1﹣0.12﹣0.40﹣0.16﹣0.04＝0.28，
所以．
（2）根据题意，可估计样本数据的众数为，
根据（1）得，面试成绩落在[50，70）内的频率是0.12+0.28＝0.40，
落在[50，80）的频率是0.12+0.28+0.4＝0.8，
故这组数据的中位数在[70，80）内，设为x，所以0.4+（x﹣70）×0.040＝0.5，
则x＝72.5，所以估计样本数据的中位数为72.5．
（3）成绩为[80，90），[90，100]的两组人数比例为4：1，
由分层抽样等比性质知在[80，90）抽取4人为A，B，C，D，[90，100]抽取1人为a，
所以，任意抽出2人的情况为AB、AC，AD，Aa，BC，BD，Ba，CD，Ca，Da共10种情况，
成绩在[90，100]的情况为：Aa，Ba，Ca，
则去乒乓球场馆服务的志愿者成绩在[90，100]的概率为．
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于中档题．
21．（16分）已知函数是定义在R上的奇函数，且f（1）＝1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）判断函数f（x）在[﹣1，1]单调性并用定义加以证明；
（Ⅲ）设函数g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），若对∀x1∈[0，1]，∃x2∈[0，1]都有g（x1）≤f（x2）+2m成立，求m的取值范围．
【分析】（Ⅰ）由f（0）＝0及f（1）＝1求解，再检验即可；
（Ⅱ）根据函数单调性的定义证明即可；
（Ⅲ）由题意可得g（x1）max≤f（x2）max+2m成立，当x∈[0，1]时，f（x）max＝1，求出函数g（x）在[0，1]上的最大值，代入求解即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，解得，
此时f（x）＝，x∈R，
所以f（﹣x）＝﹣＝﹣f（x），为R上的奇函数，
所以f（x）＝；
（Ⅱ）函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增，证明如下：
任取﹣1≤x1＜x2≤1，
则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝＝，
因为﹣1≤x1＜x2≤1，
所以x1x2＜1，x1x2﹣1＜0，x2﹣x1＞0，+1＞0，+1＞0，
所以＜0，
即f（x1）﹣f（x2）＜0，f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在[﹣1，1]上单调递增；
（Ⅲ）由题意可得g（x1）max≤f（x2）max+2m成立，
由（Ⅱ）可知f（x）在[0，1]上单调递增，
所以f（x2）max＝1，
所以g（x1）max≤2m+1在x1∈[0，1]上恒成立，
又因为g（x）＝x2﹣2mx+4（m∈R），开口向上，对称轴x＝m，
g（0）＝4，g（1）＝5﹣2m，
所以当x∈[0，1]时，
g（x）max＝max{g（0），g（1）}＝max{4，5﹣2m}＝；
所以当m时，则有4≤2m+1，解得m；
当m时，则有5﹣2m≤2m+1，解得m≥1，不满足m，故舍去；
综上，m∈[，+∞）．
【点评】本题考查了奇函数的性质、用定义法证明函数的单调性，考查了转化思想及二次函数的性质，属于中档题．组号
分组
频数
1
[0，2）
6
2
[2，4）
8
3
[4，6）
17
4
[6，8）
22
5
[8，10）
25
6
[10，12）
12
7
[12，14）
6
8
[14，16）
3
9
[16，18）
1
合计
100
组号
分组
频数
1
[0，2）
6
2
[2，4）
8
3
[4，6）
17
4
[6，8）
22
5
[8，10）
25
6
[10，12）
12
7
[12，14）
6
8
[14，16）
3
9
[16，18）
1
合计
100