北京市怀柔区第一中学2022-2023学年高二下学期期中考试数学试卷

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1. 已知数列满足，，则（ ）
A. 1B. 2C. D.
2. 某班周一上午共有四节课，计划安排语文、数学、美术、体育各一节，要求体育不排在第一节，则该班周一上午不同的排课方案共有（ ）
A. 24种B. 18种C. 12种D. 6种
3. 若、、成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A. 第3项和第4项B. 第4项和第5项C. 第3项D. 第4项
5. 某种灯泡的使用寿命为2000小时的概率为0.85，超过2500小时的概率为0.35，若某个灯泡已经使用了2000小时，那么它能使用超过2500小时的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 为了配合创建全国文明城市的活动，我校现从4名男教师和5名女教师中，选取3人，组成创文明志愿者小组，若男女至少各有一人，则不同的选法共有
A. 140种B. 84种C. 70种D. 35种
7. 若离散型随机变量X的分布列为：
则的数学期望（ ）
A. 2B. 2或C. 2和D.
8. 某学生回家途中遇到红灯的概率为，这名学生回家途中共有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，设X表示这名学生回家途中遇到红灯的次数，则等于（ ）
A. B. C. D.
9. 设是首项为正数的等比数列，公比为q，则“”是“对任意正整数n，”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
10. 对任意，若递增数列中不大于项的个数恰为，且，则的最小值为（ ）
A 8B. 9C. 10D. 11
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 计算：______.
12. 的展开式中常数项是_________．
13. 已知等差数列的前n项和为，且，则_________．
14 若实数成等差数列，成等比数列，则=___________.
15. “斐波那契数列”是数学史上的一个著名的数列．在斐波那契数列中，，，．设数列的前n项和为，若，，则__________．
三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）
16. 袋中有大小相同，质地均匀的3个白球，5个黑球，从中任取2个球，设取到白球的个数为X．
（1）求的值；
（2）求随机变量X的分布列和数学期望．
17. 数列是等差数列，表示其前n项之和，，．
（1）求的通项公式；
（2）求最大值．
18. 某中学羽毛球兴趣小组有甲、乙、丙三位组员，在单打比赛中，没有平局，且甲赢乙的概率为0.5，甲赢丙的概率为0.6．甲想挑战乙和丙．于是甲和乙、丙两位组员各自进行了一场比赛．
（1）若甲两场比赛都赢了，则挑战成功，求甲挑战成功的概率；
（2）设甲赢的场数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．
19. 已知数列的前n项和为，在条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知．
（1）求数列通项公式；
（2）若是公差为2的等差数列，，求数列的前n项和．
条件①：且；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 为研究某地区2021届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向，某调查公司从该地区2021届大学毕业生中随机选取了1000人作为样本进行调查，结果如下：
假设该地区2021届大学毕业生选择的毕业去向相互独立．
（1）若该地区一所高校2021届大学毕业生的人数为2500，试根据样本估计该校2021届大学毕业生选择“单位就业”的人数；
（2）从该地区2021届大学毕业生中随机选取3人，记随机变量为这3人中选择“继续学习深造”的人数．以样本的频率估计概率，求的分布列和数学期望；
（3）该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查，发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的人选择了上表中其他的毕业去向，记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为．当为何值时，最小．（结论不要求证明）
21. 对于给定的正整数和实数，若数列满足如下两个性质：①；②对，，则称数列具有性质.
（1）若数列具有性质，求数列的前项和；
（2）对于给定的正奇数，若数列同时具有性质和，求数列的通项公式；
（3）若数列具有性质，求证：存在自然数，对任意的正整数，不等式均成立.X
0
1
P
毕业去向
继续学习深造
单位就业
自主创业
自由职业
慢就业
人数
200
560
14
128
98