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北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二上学期期中检测试数学试题
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这是一份北京市怀柔区第一中学2023-2024学年高二上学期期中检测试数学试题，共8页。试卷主要包含了11等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．2C．D．
2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ）
A．B．10C．D．12
6．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．过点作与圆相切的直线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
8．已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图：在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知直线与直线垂直，则实数的值为______．
12．已知复数满足（是虚数单位），则______．
13．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧面为边长为2的等边三角形，则四棱锥体积的最大值为______．
14．若圆与圆恰有3条公切线，则的值为______．
15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本题14分）已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
17．（本题13分）已知平行四边形的顶点为．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求平行四边形的面积．
18．（本题14分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
19．（本题15分）如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，侧面是等边三角形，．分别为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
20．（本题14分）已知圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为2．
（1）求圆的方程；
（2）斜率为1的直线与圆交于两点，若，求直线的方程．
21．（本题15分）已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接．
（1）若平面平面，求证：；
（2）若平面平面．
（ⅰ）求二面角的大小；
（ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
怀柔一中高二年级2023-2024学年度第一学期数学学科期中检测答案
2023.11
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1-5 AABCD 6-10 CCDBD
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．3 12． 13． 14．7 15．①③④
（说明：15题对一个给2分，对两个给3分，全对给5分，有错答0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本题14分）
解：（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解之得，
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．所以实数的取值范围为．
17．（本题13分）
解：（1）由可得，
因为在平行四边形中，
所以
所以直线方程为，即．
（2）
到直线的距离等于到的距离，即
所以
18．（本题14分）
（1）证明：因为底面，所以，
因为是矩形，所以，
因为，
所以平面．
（2）解：由知（1）两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设是平面的法向量，则有得，
令得平面的一个法向量，
由图可知平面的法向量为，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
19．（本题15分）
（1）证明：取的中点，连接，
因为为中点，所以
因为为中点，所以
所以且
所以ENMA为平行四边形
所以
因为平面平面
所以平面
（2）解：取的中点，连接，
因为是等边三角形，所以
因为侧面底面，侧面底面侧面
所以底面.9分
如图在底面内过做的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
．
设是平面的法向量，则有得
令得平面的一个法向量，
设与平面所成角为，则有
20．（本题14分）
（1）由已知条件可知圆心到轴的距离为1，
因为圆截轴所得弦长为2
所以．
所以圆的方程为
（2）设直线的方程为
联立方程，消得
由得
设，则有
由得
因为
所以，解得
所以直线方程为或
21．（本题15分）
（1）证明：由已知
所以平面平面
由已知平面平面，平面平面
所以
（也可以用线面平行的性质证明）
（2）解：由已知为边长为2的正方形，，
因为平面平面，平面平面，
又平面平面，
两两垂直．
以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
（ⅰ），
平面法向量为，
则，即，
取，则，
平面法向量为，
则，即，
取，则，
，
而二面角为钝二面角，
所以二面角的平面角的大小为；
（ⅱ）假设线段上存在点，使平面，设，
则
平面，则，
可求．
所以线段上存在点，使平面，且．
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1．已知复数（是虚数单位），则复数的虚部为（ ）
A．B．2C．D．
2．圆的圆心坐标和半径分别为（ ）
A．B．C．D．
3．若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
4．已知表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
5．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点为，则（ ）
A．B．10C．D．12
6．“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．过点作与圆相切的直线，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．或D．或
8．已知复数满足（i是虚数单位），则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
9．如图：在正方体中，是的中点，若，则点到平面的距离等于（ ）
A．B．C．D．3
10．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．已知直线与直线垂直，则实数的值为______．
12．已知复数满足（是虚数单位），则______．
13．已知在四棱锥中，底面为正方形，侧面为边长为2的等边三角形，则四棱锥体积的最大值为______．
14．若圆与圆恰有3条公切线，则的值为______．
15．如图，在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点在线段上运动，给出下列四个结论：
①平面截正方体所得的截面图形是五边形；
②直线到平面的距离是；
③存在点，使得；
④面积的最小值是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本题14分）已知复数．
（1）若复数为纯虚数，求实数的值；
（2）若复数在复平面内对应点位于第二象限，求实数的取值范围．
17．（本题13分）已知平行四边形的顶点为．
（1）求边所在直线的方程；
（2）求平行四边形的面积．
18．（本题14分）如图所示，在四棱锥中，底面，底面是矩形，是线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值；
19．（本题15分）如图所示，四棱锥中，侧面底面，底面是正方形，侧面是等边三角形，．分别为线段的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值．
20．（本题14分）已知圆的圆心为，圆截轴所得的弦长为2．
（1）求圆的方程；
（2）斜率为1的直线与圆交于两点，若，求直线的方程．
21．（本题15分）已知四边形为直角梯形，为中点，与交于点，沿将四边形折起，连接．
（1）若平面平面，求证：；
（2）若平面平面．
（ⅰ）求二面角的大小；
（ⅱ）线段上是否存在点，使平面，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．
怀柔一中高二年级2023-2024学年度第一学期数学学科期中检测答案
2023.11
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1-5 AABCD 6-10 CCDBD
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11．3 12． 13． 14．7 15．①③④
（说明：15题对一个给2分，对两个给3分，全对给5分，有错答0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
16．（本题14分）
解：（1）因为复数为纯虚数，所以，
解的
解之得，
（2）因为复数在复平面内对应的点在第二象限，所以
解之得
得．所以实数的取值范围为．
17．（本题13分）
解：（1）由可得，
因为在平行四边形中，
所以
所以直线方程为，即．
（2）
到直线的距离等于到的距离，即
所以
18．（本题14分）
（1）证明：因为底面，所以，
因为是矩形，所以，
因为，
所以平面．
（2）解：由知（1）两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
，
，
设是平面的法向量，则有得，
令得平面的一个法向量，
由图可知平面的法向量为，
因为二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
19．（本题15分）
（1）证明：取的中点，连接，
因为为中点，所以
因为为中点，所以
所以且
所以ENMA为平行四边形
所以
因为平面平面
所以平面
（2）解：取的中点，连接，
因为是等边三角形，所以
因为侧面底面，侧面底面侧面
所以底面.9分
如图在底面内过做的垂线，建立如图所示的空间直角坐标系，
，
．
设是平面的法向量，则有得
令得平面的一个法向量，
设与平面所成角为，则有
20．（本题14分）
（1）由已知条件可知圆心到轴的距离为1，
因为圆截轴所得弦长为2
所以．
所以圆的方程为
（2）设直线的方程为
联立方程，消得
由得
设，则有
由得
因为
所以，解得
所以直线方程为或
21．（本题15分）
（1）证明：由已知
所以平面平面
由已知平面平面，平面平面
所以
（也可以用线面平行的性质证明）
（2）解：由已知为边长为2的正方形，，
因为平面平面，平面平面，
又平面平面，
两两垂直．
以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则．
（ⅰ），
平面法向量为，
则，即，
取，则，
平面法向量为，
则，即，
取，则，
，
而二面角为钝二面角，
所以二面角的平面角的大小为；
（ⅱ）假设线段上存在点，使平面，设，
则
平面，则，
可求．
所以线段上存在点，使平面，且．
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