北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末数学试题

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期末数学试题，共11页。
2025.1
本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
第二部分 （非选择题 共110 分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11）以为直径的两个端点的圆的标准方程是 ．
（12）若抛物线的焦点与椭圆的一个焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．
（13）已知直线与双曲线的一条渐近线垂直，则斜率的一个取值是 ．
（14）“中国天眼”反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕着其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物面），利用了抛物线的光学性质：由其焦点出发的光线照射到抛物线，经反射后的光线平行于抛物线的对称轴．如图所示：抛物线，一条光线经过，与轴平行照射到抛物线上的点处，第一次反射后经过抛物线的焦点到抛物线上的点处，第二次反射后经过，则的坐标为 ，的值为 ．
（15）已知曲线，点，下面有四个结论：
①曲线关于轴对称；
②曲线与轴围成的封闭图形的面积大于；
③曲线上任意点满足；
④曲线与曲线的交点个数可以是个、个、
个、个．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
（16）（本小题13分）
已知函数．
（Ⅰ）若，当时，求的最大值和最小值及相应的；
（Ⅱ）若函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，求的值和的单调递增区间．
（17）（本小题13分）
在中，为钝角，，．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
（18）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，为线段上的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）从条件 = 1 \* GB3 ①、条件 = 2 \* GB3 ②、条件 = 3 \* GB3 ③这三个条件中选择一个，使
得平面，并求直线与平面所成角的
正弦值和二面角的余弦值．
条件 = 1 \* GB3 ①：；
条件 = 2 \* GB3 ②：；
条件 = 3 \* GB3 ③：平面平面．
（19）（本小题15分）
已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长为，一个焦点的坐标为
，点的坐标为，且椭圆两个焦点之间的距离为．
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）如果过点且斜率为的直线与椭圆相交于点，两点，求的面积；
（Ⅲ）如果过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，求直线的斜率．
（20）（本小题15分）
已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线斜率的取值范围；
（Ⅲ）判断点与以为直径的圆的位置关系，并证明你的结论.
（21）（本小题15分）
设正整数，若由实数组成的集合满足如下性质，则称为集合：对中任意四个不同的元素，均有.
例如，判断是否为集合：当时，此时；
当时，此时；当时，此时.所以是集合.
（Ⅰ）判断集合和是否为集合；
（直接写出答案，结论不需要证明）
（Ⅱ）若集合为集合，求出所有集合，并说明理由；
（Ⅲ）若集合为集合，求证：中元素不能全为正实数．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
（1）D （2）A （3）C （4）B （5）A
（6）B （7）D （8）C （9）A （10）D
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12）
（13）或（两个都答不给分）
（14）， （注： 第一问3分，第二问2分）
（15）①②④ （注：对一个2分，两个3分，有选错0分）
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：
……2分
……3分
……4分
（Ⅰ）当时，
由 ，可得 ……5分
当时，取最大值，此时 ……7分
当时，取最小值，此时 ……9分
（Ⅱ）因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为
所以 ，且，所以， ……10分
由 ……11分
得的单调递增区间为 ……13分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ）由题意得，因为为钝角， ……1分
得，则， ……2分
由正弦定理 ……4分
得，解得， ……5分
因为为钝角，则. ……7分
（Ⅱ）当时，
由余弦定理， ……9分
得，
解得 ……10分
则. ……13分
（18）（共14分）
（Ⅰ）证明：设BD交AC于点O，连结.
因为底面为正方形，所以O是BD中点，为线段上的中点
所以是的中位线 ……1分
所以， ……2分
平面， ……3分
平面， ……4分
所以直线平面．
（Ⅱ）解：选择 = 2 \* GB3 ②，，又因为底面为正方形，
可得，所以，所以平面， ……5分
以为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标
系，则，， ，，，，
,, ……6分
设平面的法向量为
由，得； ……8分
设直线与平面所成角为θ．
则． ……10分
∴直线与平面所成角的正弦值为．
设二面角的为，为钝角，
平面的法向量为 ……11分
， ……13分
二面角的余弦值为． ……14分
选择 = 3 \* GB3 ③，平面平面，又因为平面平面，，
平面，所以平面，
选择 = 1 \* GB3 ①，错误
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）由题意椭圆的焦点在轴上，标准方程设为
所以解得， ……3分
所以椭圆C的方程为， ……4分
椭圆离线率． ……5分
（Ⅱ）过点且斜率为的直线方程为， ……6分
联立得． ……7分
则，．
……9分
的高
……10分
（Ⅲ）当直线过点且斜率存在时，设方程为，
联立得．……11分
则，． ……12分
因为过点的直线与椭圆相交于点，两点，且，
设，知成立， ……13分
，解得，经检验可知
当斜率不存在时，不成立。 ……15分
（20）（共15分）
（Ⅰ）解：由题意得解得， ……2分
从而， ……3分
所以椭圆C的方程为． ……4分
（Ⅱ）解：当直线l的斜率不存在时，有，，，．
当直线l的斜率存在时，设，其中．
联立得．……5分
由题意，知恒成立，设，
则，． ……6分
直线的方程为，
令，得，即，同理可得．……8分
所以
将代入整理得
……10分
，解得 ……11分
（Ⅲ）点在以为直径的圆的内部.
证明：当直线l的斜率不存在时，有，，，
则，，故，即．……12分
由（Ⅱ）可知，．
所以，．
因为
，
所以， ……14分
综上，点在以为直径的圆的内部. ……15分
（21）(共15分）
解：（Ⅰ）集合是集合， ……2分
集合不是集合， ……4分
（Ⅱ）当时，，
当时，，
当时，， ……5分
不妨设，由集合互异性可知：
则且互为相反数，
若，可得，不符合题意
则，可得
当时，，不符合题意
当时，解得，或，，不符合题意
当时，解得，或，，不符合题意……6分
当时，解得，或，，符合题意
所以集合或 ……8分
（Ⅲ）假设中元素全为正实数，不妨设
当时，，
当时，，
当时，，
由于所以 ……9分
①当中元素至少个大于时，此时， ……10分
②所以中元素至多个大于，此时
，
所以，
可得，可得，即不成立， ……12分
③所以中元素小于等于，即
此时，
包含以下几种情况：
第一种：，
可得，可得，即不成立，
第二种：当时，
可得，可得，即不成立，
第三种：当或时，
可得，可得，即，即不成立， ……15分
由①②③都错，可知假设集合中全为正实数为错误命题，所以集合中不全为正实数.
（1）复数，则的虚部为
（A）
（B）
（C）
（D）
（2）双曲线的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（3）若直线与圆相切，则实数的值为
（A）
（B）
（C）或
（D）或
（4）已知是双曲线上的动点，则到双曲线两个焦点距离之差的绝对值为
（A）
（B）
（C）
（D）
（5）已知抛物线的焦点为，点在上，若到直线的距离为，
则
（A）
（B）
（C）
（D）
（6）已知椭圆的左右焦点为，，上下顶点为，，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为
（A）
（B）
（C）
（D）
（7）如图，在正方体中，是棱上的
动点．则下列结论不正确的是
（A）平面
（B）
（C）二面角的大小为
（D）直线与平面所成角的大小不变
（8）“”是“方程表示焦点在轴上双曲线”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件
（D）既不充分也不必要条件
（9）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以
该点为圆心，半径为的圆与圆有公共点，则的最大值是
（A）
（B）
（C）
（D）
（10）如图，在长方体中，，
，，，，是平
面上的动点，且满足的周长为，
则面积的最小值是
（A）
（B）
（C）
（D）