北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

这是一份北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题，共12页。试卷主要包含了11，已知向量且，那么，过和两点的直线的倾斜角是，“”是“直线与平行”的等内容，欢迎下载使用。

2024.11
本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.
第一部分（选择题共40分）
一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量且，那么（ ）
A. B.6 C.9 D.18
3.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（ ）
A. B. C. D.
4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）
A. B. C. D.
5.过和两点的直线的倾斜角是（ ）
A. B.1 C. D.
6.“”是“直线与平行”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）
A. B. C. D.
9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）
A. B. C. D.
10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
第二部分（非选择题共110分）
二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11.复数，则__________.
12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.
13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.
14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.
15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：
①存在，使得任意，都有；
②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；
③的最小值为3；
④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.
其中，所有正确结论的序号是__________.
三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
16.（本小题13分）
已知的顶点坐标为.
（1）求过点且与直线平行的直线的方程；
（2）求边上的中线所在直线的方程；
（3）求边上的高所在直线的方程.
17.（本小题14分）
如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.
（1）求证：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.
18.（本小题14分）
设的内角对应的边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.
19.（本小题14分）
已知函数，且的图像过点.
（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；
（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；
（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小值及此时的值.
20.（本小题15分）
如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的体积为，若存在，求的值；若不存在，说明理由.
21.（本小题15分）
给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.
（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）
（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；
（3）若集合具有性质，证明：.
延庆区2024-2025学年第一学期期中考试
高二数学参考答案及评分标准
2024.11
一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1.D 2.A 3.B 4.C 5.D
6.C 7.A 8.B 9.A 10.B
二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
11. 12. 13.（不唯一，共线即可）
14.，（注：第一问3分，第二问2分）
15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）
三､解答题（共6小题，共85分）
16.（共13分）
解：（1）直线的斜率
过点且与直线平行的直线的斜率为
过点且与直线平行的直线方程为
（2）设边的中点为，因为，
所以点的坐标为，即，
所以边的中线所在直线方程为
（3）因为，
所以边的高线所在直线的斜率为，
因此边的高线所在直线方程为.
17.（共14分）
（1）证明：连接，设，连接，
由为三棱柱，得.
又是的中点，所以是的中位线，
.
平面平面，
平面；
（2）解：底面，
以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，
，
设平面的法向量为
由，得；
设直线与平面所成角为.
则.
直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设平面与平面所成角为为锐角，
平面的法向量为，
，
平面与平面所成角余弦值为.
18.（共14分）
解：（1），由正弦定理
得，
在中，，
，
.
（2）若选①，
由余弦定理，得，
解得
.
若选③，
由正弦定理可得：
选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.
19.（共14分）
解：（1）由题意，，
解得.
，
，
，
的最小正周期；
的单调减区间为
（2）函数在区间上与直线有交点
所以，函数在区间上的最大值为3，
又因为
所以，解得.
实数的取值范围是.
（3）
当时，取最大值
当时，取最小值
所以，当时，
当时，
所以，当时，
20.（共15分）
（1）证明：因为是正三角形，是的中点，
所以.
又因为平面平面，
平面，
所以面；
解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.
则，
设平面的法向量为，
由，得
，
点到平面的距离
（3）设
所以点到面的距离为定值
.
，
解得：或.
21.（共15分）
（1）集合具有性质，
集合B不具有性质.
（2）当时，集合A中的元素个数为4.由题设.
假设集合A具有性质，则
①当时，，矛盾.
②当时，，不具有性质，矛盾.
③当时，.
因为和至多一个在A中；和至多一个在A中；和至多一个在A中，故集合A中的元素个数小于4，矛盾.
④当时，，不具有性质，矛盾.
⑤当时，，矛盾.
综上，不存在具有性质的集合.
（3）记，则.
若，则，矛盾.若，则，矛盾.
故.
假设存在使得，不妨设，即.
当时，有或成立.
所以中分量为1的个数至多有.
当时，不妨设.
因为，所以的各分量有个1，不妨设.
由时，可知，中至多有1个1，
即的前个分量中，至多含有个1.
又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.
所以.因为，
所以.所以.