2024-2025学年北京市延庆区高二下学期期末数学试题（含答案）

这是一份2024-2025学年北京市延庆区高二下学期期末数学试题（含答案），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，在区间上的平均变化率最大的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数，则的值为（ ）
A．0B．1C．－1D．
3．已知函数的导函数.则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知等差数列的前项和为，，，则的值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知曲线在点处的切线方程为，则值为（ ）
A．0B．－1C．1D．2
6．下列函数中，图象存在与轴平行的切线的是（ ）
A． B． C． D．
7．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．设是公比为的等比数列，则“”是“为递增数列”的
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
9．若函数有且仅有两个零点，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
10．已知数列满足，则（ ）
A．当时，为递减数列，且存在常数，使得恒成立
B．当时，为递增数列，且存在常数，使得恒成立
C．当时，为递减数列，且不存在常数，使得恒成立
D．当时，为递增数列，且不存在常数，使得恒成立
二、填空题
11．在的二项展开式中，常数项为，则的值为 .
12．2016年11月30日，中国的“二十四节气”被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录.二十四节气不仅是一种时间体系，更是一套具有丰富内涵的生活与民俗系统.《传统廿四节气歌》中的“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连；秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”，每一句诗歌的开头一字代表着季节，每一句诗歌包含了这个季节中的6个节气.某个小组在参加“跟着节气去探究”综合实践活动时，要从24个节气中选择2个节气，则2个节气恰好在同一个季节的概率为 .
13．已知1，m，n是公比不为1的等比数列，将1，m，n调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组m，n的值依次为 .
14．已知函数在点处取得极大值，其导函数的图象经过点，，如图所示.则 ； .
15．已知函数.给出下列四个结论：
①当时，在区间上单调递增；
②当时，有最小值；
③当时，设的零点从大到小依次为，，，…，则对任意正整数i，都有；
④存在a，使得在上有四个零点.
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
16．已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)求函数在区间上的最大值和最小值；
(3)若函数有三个零点，直接写出c的取值范围.
17．在中，，.
(1)求；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积.
条件①：；
条件②：；
条件③：.
注：如果选择多个符合要求的条件分别作答，按第一个解答计分.
18．某市在高中阶段举办“传统文化知识竞赛”，全体高中生参与了此次活动.现从参赛学生中随机抽取了男、女各20名学生，将他们的成绩（单位：分）按，，，，五个分数段进行分组，统计如下：
(1)在抽取的40名学生中，从成绩在80分及以上的学生中随机抽取2人，求恰好男、女生各1人，且2人分数段不同的概率；
(2)从该市参赛的男生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为X，用频率估计概率，求X的分布列和数学期望；
(3)从该市参赛的女生中随机抽取3人，设成绩在80分及以上的人数为Y，用频率估计概率，试比较Y的方差与（2）中X的方差大小.（结论不要求证明）.
19．已知椭圆C：的离心率为且经过点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若过点，斜率为k的直线与椭圆C交于不同的两点B，D，且与直线交于点E，点D在线段BE（不包括两端点）上，O为坐标原点，直线EO与直线AB，AD分别交于点M，N，若和的面积为和，求：的值.
20．已知函数，其中.
(1)当时，写出的单调递增区间；
(2)若函数的极大值为0，且对，成立，求实数的最大值；
(3)若过原点至少存在1条直线与曲线相切，求的取值范围.
21．已知A：，，…，为有穷实数数列.对于实数x，若A中存在，，，…，，使得，则称x为A的连续可表数，将所有A的连续可表数构成的集合记作.
(1)设数列A：1，2，3；B：1，1，1，2.写出和.
(2)是否存在数列A，满足，若存在，求出所有数列A，若不存在，说明理由；
(3)求出所有的整数m，使得存在数列A，满足.
成绩
男生人数
1
4
10
3
2
女生人数
4
4
4
4
4
参考答案
11．1
12．
13．，（或）（两组任写一组即可）
14．
15．①④
16．（1）因为，
所以；，，
所以曲线在处的切线方程为.
（2）令，即，解得或，
在区间上，的单调递增区间为，递减区间为，
且，，；
所以当时，最大值为，
所以当时，最小值为.
（3）c的取值范围为.
因为函数有三个零点，所以方程有三个根.
对函数求导得.
当或时，；当时，.
所以函数在单调递增，在上单调递减，
当时，；；；当时，
画出图象为：
要使函数有三个零点，则的取值范围为.
17．（1）由已知，
根据正弦定理可知，
则，
又，
则；
（2）若选条件①：
，，
，
此时，不满足三角形性质，
即此时不存在；
若选条件②：
由（1）得，且，，
则，，
所以.
若选条件③：
由，
则，
由正弦定理可知，
即，
又，
解得，，
又在中，
，
所以.
18．（1）根据题中数据，成绩在80分及以上的学生共13人，
设事件A为“恰好男、女生各1人，且两人分数段不同”，分两种情况：
①男生在女生在：；②男生在女生在：.
总的组合数：，所以：
.
（2）X的所有可能取值为0，1，2，3.
用频率估计概率，从该市参赛的男生中随机抽取1人，成绩在80分及以上的概率为，
可估计为，可估计为，
可估计为，可估计为.
所以X的分布列为
可估计为.
或者因为，所以可估计为.
（3）女生中80分及以上频率为
，
，
因为，
所以.
19．（1）椭圆C的离心率为，且经过点，
所以解得，.则椭圆C的方程为.
（2）过点，斜率为k的直线方程为.
由得.
因为在椭圆内，所以.
设，，则，.
直线AB的方程为：，直线AD的方程为：，
在直线方程中，令，得，.
直线EO的方程为：.
由得.
同理得.
.
，
所以，即点O为线段MN中点，
所以点，.
20．（1）当时，，定义域，
则，令，得，
所以的单调递增区间是.
（2）由题意，函数定义域为，，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，取极大值，即，所以.
对任意的，成立，即对任意的，，
记，，
则，
①时，此时，
当时，，单调递减；当时，，单调递增，
所以当时，取极大值也是最大值，，不符合题意.
②当时，此时，
当时，，单调递增；
当时，，符合题意，
综上可得，所以实数的最大值为.
（3）当时，，曲线过原点，存在至少一条切线.
当时，过原点作曲线的切线，切点设为，，
，所以，
要使过原点作曲线的切线，至少存在一条，
则方程至少存在一个解，即至少存在一个解，
令，，
则，
所以，当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以当时，最大值为，
要至少一个解，则，即，
此时，，，在存在一个解.
综上，.
21．（1）数列A：1，2，3，所有A的连续可表数构成的集合，
则，，；，，，
则，同理可得.
（2）若数列A：，，…，满足，不妨设.
假设数列A只有两项，则中至多3个元素，这与中有5项矛盾，故假设错误，
所以数列A至少3项，即，.
因为数列A：，，…，中任意一项都属于，
所以，所以，解得，所以；
又因为且，所以，
此时，即不存在数列A满足.
（3）若数列A：，，…，满足，
不妨设.由（2）可知数列A至少3项，即，.
①当时，由，
得，且，
解得，所以，又，所以，即，2；
由（2）可知不成立，所以，
令数列A：1，1，1，1，1，满足；
②当，即时，由，
得，且，
解得，所以，又，则，－6；
当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，－1，满足；
当时，由（2）同理可得不成立.
③当时，由，，－3，－2，－1，0.
当时，令数列A：0，1，1，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，0，1，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，0，1，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，－1，0，1，满足；
当时，令数列A：－1，－1，－1，－1，0，满足；
综上所述，m可能的取值有－5，－4，－3，－2，－1，0，1.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
C
A
D
B
C
B
D
A
D
X
0
1
2
3
P