2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市部分学校八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年黑龙江省哈尔滨市部分学校八年级（上）期中数学试卷（五四学制）（含答案+解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列各式3ab，42m+4，c3a−b，x+2π，x5中，分式的个数是( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
2.古汉字“雷”的下列四种写法，可以看作轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.若代数式xx2−1的值是0，则实数x的值是( )
A. −1B. 0C. 1D. 2
4.多项式8a3b2+12ab3c的公因式是( )
A. abcB. 4ab2C. ab2D. 4ab2c
5.如图，图中的两个三角形全等，则∠α等于( )
A. 45∘
B. 60∘
C. 70∘
D. 75∘
6.下列从左到右的变形是分解因式的是( )
A. 2x−2y+1=2(x−y)+1B. x2+2x+1=(x+1)2
C. (y+1)(y−3)=−(3−y)(y+1)D. 2x+2=2(x+1x)
7.弟弟把小明的作业本撕掉了一角，留下一道残缺不全的题目，如图所示，请你帮她推测出被除式应等于( )
A. x2−8x+6B. 5x3−15x2+30x
C. 5x3−15x2+6D. x2+2x+6
8.计算：(−12x2y)3=( )
A. −16x6y3B. −18x2y3C. −18x6y3D. −32x5y4
9.如图，是用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，则说明∠A′O′B′=∠AOB的理由是△COD≌△C′O′D′，而这两个三角形全等的依据是( )
A. SSSB. SASC. ASAD. AAS
10.下列说法中，正确的是( )
A. 两个全等的三角形一定关于某条直线对称
B. 平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，且只有一条对称轴
C. 等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合
D. 关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
11.使分式x2x+1有意义的x的取值范围是______.
12.分解因式：m3−25m= .
13.命题“如果x=y，那么x3=y3”的逆命题是 命题(填“真”或“假”).
14.若(x+3)和(x−4)均是x2+px+q的因式，则p的值为 .
15.如图，AM是一段斜坡，AB是水平线，欢欢为了测斜坡上一点C的竖直高度CN，他在点C处立上一根竹竿CD，竹竿CD垂直于斜坡AM，在竿顶点D处垂下一根绳子DE，与斜坡AM的交点是E.当DE=AC时，测得CE=2m，则CN的长为 m.
16.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为20∘，则该等腰三角形的底角的度数为 .
17.信息时代确保信息的安全很重要，于是在传输信息的时候需要加密传输发送方将明文加密为密文传输给接收方，接收方收到密文后解密还原为明文.已知某种加密规则如图所示，当发送方发出a=2，b=4，则解密后明文的值：mn=______.
18.如图，AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4，…，当n≥2，∠A=70∘时，∠An−1AnBn−1= .
19.如图，把△ABC放置在平面直角坐标系中，已知AB=BC，∠ABC=90∘，A(3,0)，B(0,−1)，点C在第四象限，则点C的坐标是______.
20.如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，过点B作BM⊥AC于点M，交CD于点E，连接DM，过点D作DN⊥DM，交BM于点N，且DN=DM.下列结论：①∠ABM=∠ACD；②∠ABC=45∘；③DA=MN；④S△EDN=S△ADM.其中所有正确结论的序号为 .
三、解答题：本题共7小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题8分)
计算下列各式：
(1)4a2b3cd2⋅5c2d4ab2÷2abc3d；
(2)xx2−y2÷12x−2y⋅x+yx.
22.(本小题7分)
先化简再求值：[(3a+b)2−(b+3a)(3a−b)−6b2]÷(−2b)，其中a=−13，b=−2.
23.(本小题7分)
如图，已知在平面直角坐标系中，每个小方格的边长都是1个单位.△ABC三个顶点的坐标分别是A(−3,2)，B(−4,−3)，C(−1,−1).
(1)画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1.
(2)连接AA1、BB1，直接写出四边形ABB1A1的面积.
24.(本小题8分)
如图，四边形ABCD中，AB=BE，AC=DE，∠B=90∘，AB//CD，E为BC的中点，AC与DE相交于点F.
(1)求证：CD=BC；
(2)判断线段AC与DE的位置关系，并说明理由.
25.(本小题10分)
通过学习，我们知道常用的因式分解的方法有提公因式法和公式法，与此同时，某些多项式只用上述一种方法无法因式分解.下面是甲、乙两位同学对多项式进行因式分解的过程.
两位同学分解因式的方法叫做分组分解法，请你仔细观察并对以下多项式进行因式分解.
(1)m2−n2+m+n.
(2)a2−2ab+b2−1.
26.(本小题10分)
当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，例如，由图1，可得等式：(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2
(1)由图2，可得等式：______；
(2)利用(1)中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c=13，ab+bc+ac=28，求a2+b2+c2的值；
(3)如图3，一个小长方形的长为a+b，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内(如图4).求在大长方形中，阴影部分的面积(用含a、b的式子来表示).
27.(本小题10分)
在△ABC中，AB=AC，
(1)如图1，若∠ABC+∠ACB=∠BAC，求∠ABC的度数；
(2)如图2，在(1)的条件下，点D为AC中点，连接BD，过A作AF⊥BD于E，交BC于点F，求证：AF+DF=BD；
(3)如图3，若∠ABC+∠ACB=12∠BAC，点K为线段AC中点，H为线段BC上一点，使BH=3CH，连接BK、AH交于点Ⅰ，若AI=67，求BK的长.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：42m+4，c3a−b符合分式的定义，它们是分式，共2个，
3ab，x+2π，x5不符合分式的定义，它们不是分式，它们是整式，
故选：B.
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB即为分式，据此进行判断即可．
本题考查分式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：A，B，C不可以看作轴对称图形，D可以看作轴对称图形．故选：D.
利用轴对称图形定义进行解答即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
3.【答案】B
【解析】解：由题意可知：x=0x2−1≠0，
∴x=0.
故选：B.
根据分式的值为零的条件即可求出答案．
本题考查分式的值，解题的关键是正确理解分式的值为零的条件，本题属于基础题型．
4.【答案】B
【解析】解：多项式8a3b2+12ab3c的公因式是：4ab2.
故选：B.
直接利用公因式的定义分析得出答案．
此题主要考查了公因式，正确把握定义是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：因为图中的两个三角形全等，且∠α的对边为b，
所以∠α=180∘−45∘−75∘=60∘.
故选：B.
根据全等三角形的对应角相等，判断计算选择即可．
本题考查了全等三角形的性质，准确判定对应关系是解题的关键．
6.【答案】B
【解析】解：A.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
B.从左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；
C.从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
D.等式的右边不是整式的积的形式，即从左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；
故选：B.
根据分解因式的定义逐个判断即可．
本题考查了分解因式的定义，能熟记分解因式的定义是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．
7.【答案】B
【解析】解：5x(x2−3x+6)
=5x⋅x2−5x⋅3x+5x⋅6
=5x3−15x2+30x，
故选：B.
根据被除式=除式×商列式计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，关键是掌握单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
8.【答案】C
【解析】解：原式=−18x6y3，
故选：C.
根据积的乘方法则计算即可．
本题考查积的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：由作法可得：O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，
∴△COD≌△C′O′D′(SSS)，
故这两个三角形全等的依据是SSS，
故选：A.
由作法可得O′C′=OC，O′D′=OD，C′D′=CD，再由三角形全等的判定定理分析即可得解．
本题考查了全等三角形的判定定理，尺规作图——作一个角等于已知角，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：A.两个全等的三角形不一定关于某直线对称，故原说法错误；
B.平面内不垂直的两条相交直线是轴对称图形，该图形对称轴条数为2条，故原说法错误；
C.等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故原说法错误；
D.关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分，说法正确；
故选：D.
利用轴对称图形的性质及轴对称图形的定义分别判断后即可确定正确的选项．
本题考查了轴对称的性质及轴对称图形的定义，关于某直线对称的两个图形是全等形，一定能够重合，但是，两个全等形不一定关于某直线对称．如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．轴对称图形的对称轴至少有一条．
11.【答案】x≠−12
【解析】解：由题意得：2x+1≠0，
解得：x≠−12，
故答案为：x≠−12
根据分式有意义的条件可知2x+1≠0，再解不等式即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．
12.【答案】m(m+5)(m−5)
【解析】解：原式=m(m2−25)
=m(m+5)(m−5)，
故答案为：m(m+5)(m−5).
提公因式后利用平方差公式因式分解即可．
本题考查因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
13.【答案】真
【解析】解：命题“如果x=y，那么x3=y3”的逆命题是如果x3=y3，那么x=y，正确，是真命题，
故答案为：真．
写出原命题的逆命题后判断正误即可．
本题主要考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大．
14.【答案】−1
【解析】解：(x+3)(x−4)
=x2−4x+3x−12
=x2−x−12
=x2+px+q.
∴p=−1.
故答案为：−1.
计算(x+3)(x−4)后即可得出答案．
本题考查因式分解的意义，熟练掌握因式分解及整式乘法的关系是解题的关键．
15.【答案】2
【解析】解：由题意可知，CN⊥AB，CD⊥AM，DE⊥AB，
∴∠ANC=∠DCE=90∘，CN//DE，
∴∠ACN=∠DEC，
在△ACN和△DEC中，
∠ANC=∠DCE∠ACN=∠DECAC=DE，
∴△ACN≌△DEC(AAS)，
∴CN=CE=2m，
故答案为：2.
证明△ACN≌△DEC(AAS)，得CN=CE=2m，即可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
16.【答案】35∘或55∘
【解析】解：分类讨论：①如图，当该等腰三角形为锐角三角形时，
由题意可知∠ABD=20∘，∠BDC=90∘，
∴∠A=∠BDC−∠ABD=70∘，
∴∠ABC=∠ACB=12×(180∘−70∘)=55∘；
②如图，当该等腰三角形为钝角三角形时，
由题意可知∠ABD=20∘，∠D=90∘，
∴∠A=∠D+∠ABD=110∘，
∴∠ABC=∠ACB=12×(180∘−110∘)=35∘；
综上可知这个等腰三角形的底角度数为35∘或55∘.
故答案为：35∘或55∘.
分类讨论：①当该等腰三角形为锐角三角形时和②当该等腰三角形为钝角三角形时，结合题意，先分别求出顶角的大小，从而即可求出其底角的大小．
本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键．
17.【答案】120
【解析】解：n=(4a2b−2a3)÷(−2a)2
=(4a2b−2a3)÷(4a2)
=b−12a，
将a=2，b=4代入：
m=a2+ab2+14b2=22+2×42+14×42
=4+32+4
=40，
n=b−12a
=4−12×2
=3，
∴mn=40×3=120，
故答案为：120.
先化简n=(4a2b−2a3)÷(−2a)2，再将a=2，b=4，代入计算求出m、n的值，即可得到答案．
本题考查整式的化简求值，解题的关键是求出m、n的值．
18.【答案】70∘2n−1
【解析】解：∵AB=A1B，
∴∠AA1B=∠A=70∘，
∵A1B1=A1A2，
∴∠A1A2B1=∠A1B1A2，
∵∠A1A2B1+∠A1B1A2=∠AA1B=70∘，
∴∠A1A2B1=12∠AA1B=70∘2，
同理：∠A2A3B2=70∘22=70∘23−1，
∴当n≥2，∠An−1AnBn−1=70∘2n−1.
故答案为：70∘2n−1.
由特殊情况应用等腰三角形的性质总结出一般规律，即可得到答案．
本题考查等腰三角形的性质，规律型：图形的变化类，关键是掌握等腰三角形的两个底角相等．
19.【答案】(1,−4)
【解析】解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
∵∠ABC=90∘，∠AOB=90∘，
∴∠OAB+∠OBA=90∘，∠OBA+∠DBC=90∘，
∴∠OAB=∠DBC.
在△OAB和△DBC中，
∠AOB=∠BDC=90∘∠OAB=∠DBCAB=BC，
∴△OAB≌△DBC(AAS)，
∴BD=AO，DC=OB.
∵A(3,0)，B(0,−1)，
∴BD=AO=3，DC=OB=1，OD=OB+BD=4，
∴点C的坐标为(1,−4).
故答案为：(1,−4).
过点C作CD⊥y轴于点D，通过角的计算可找出∠OAB=∠DBC，结合∠AOB=∠BDC、AB=BC，即可证△OAB≌△DBC(AAS)，根据全等三角形的性质即可得出BD=AO、DC=OB，再结合点A、B的坐标即可得出DC、OD的长度，进而可得出点C的坐标．
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形性质，利用全等三角形的判定定理AAS证出△OAB≌△DBC是解题的关键．
20.【答案】①②④
【解析】解：∵CD⊥AB，BM⊥AC，
∴∠A+∠ACD=∠A+∠ABM=90∘，
∴∠ABM=∠ACD，故①正确；
∵DN⊥MD，MD=ND，
∴∠DMN=∠DNM=45∘，
∴∠BND=180∘−∠DNM=135∘，∠CMD=90∘+∠DMN=135∘，
∴∠BND=∠CMD，
在△BND和△CMD中，
∠BND=∠CMD∠DBN=∠DCMDN=DM，
∴△BND≌△CMD(AAS)，
∴BD=CD，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45∘，故②正确；
在△CAD和△BED中，
∠ABM=∠ACDBD=CD∠BDE=∠CDA，
∴△CAD≌△BED(ASA)，
∴AD=ED，
∵ED