初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）9.3 公式法当堂达标检测题

这是一份初中数学苏科版（2024）八年级下册（2024）9.3 公式法当堂达标检测题，共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．下列多项式中，能用公式法进行因式分解的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列各多项式中不能用公式法分解的是（ ）
A．B．C．D．
3．下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A．B．C．D．
4．下列多项式能用公式法分解因式的有（ ）
① ② ③ ④ ⑤
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．若多项式★可以因式分解，则★不能是（）
A．B．C．D．
6．下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（ ）
A．①③④⑤B．②④⑤C．②③④D．②③④⑤
7．下列各式中，分解因式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
8．下列多项式中不含有因式的是（ ）
A．B．C．D．
9．若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值为()
A．12B．C．6D．
10．下列因式分解正确的是()
A．B．
C．D．
二、填空题
11．由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有两种方案：①第一次降价，第二次降价；②第一、二次降价均为．其中是互不相等的正数，记降价后方案①的产品价格为，方案②的产品价格为，则 （填“”“”或“”）
三、解答题
12．如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“双奇差数”．例如：，，，所以16，24，32都是“双奇差数”．
(1)在正整数①46、②40、③68中，是“双奇差数”的是______．（填序号）
(2)根据“双奇差数”定义，设两个连续的正奇数为和，其中k为正整数．
①求证：“双奇差数”都能被8整除．
②研究发现：任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数，请给出验证．
(3)若m、n为正整数，且，若是“双奇差数”，求的最小值．
13．（1）因式分解：
（2）先化简，再求值：，其中．
14．一次课堂练习，小红同学做了如下4道因式分解的题目．
(1)小红做错的或过程不完整的题目是______（填序号）．
(2)把你选出的（1）中题目的正确答案写在下面．
15．【阅读理解，自主探究】把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件，这种解题方法叫做配方法，配方法不仅在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用，也在几何、经济等领域常用来分析最值、求解未知量．
例1：因式分解：．
解：原式．
例2：某快递公司运输一批货物，成本，若（a为运输量），利用配方法求P的最小值．
解：．
，当时，P有最小值2．
请根据上述阅读材料，解决下列问题：
(1)因式分解：_______；
(2)若一个直角三角形的两条直角边之和为12，设其中一条直角边为a，面积为S，用配方法求S的最大值；
(3)已知，求的值．
16．教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式：．
；
再如：求代数式的最小值．
，
可知当时，有最小值，最小值是-8．
根据阅读材料，用配方法解决下列问题：
(1)分解因式：__________________．
(2)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
(3)当为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
17．（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求的最小值．
（3）已知，求的值
18．先阅读材料，再解答问题：
因式分解：，
解：将“”看成一个整体，设，则原式，
再将代入，得原式．
以上解题过程中用到的是“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．
(1)因式分解：；
(2)应用：已知一个长方形的长为，宽为，且满足，求该长方形的周长．
19．在六年级下册学习了“完全平方公式”和八年级上册又学习了用“完全平方公式”因式分解后，小明进一步深入研究了问题：已知，在不求的值的情况下，求出的值．小明的具体做法如下：
请参照上述小明的方法解决下列问题：
(1)若，，则_________；（直接填写最后的结果）
(2)若满足，请求出的值；
(3)现有，两个正方形纸片，如图1，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，且使在同一条直线上，点在正方形纸片的边上，取的中点，连接；如图2，使正方形纸片的顶点与正方形纸片的顶点重合，顶点在边上，，的延长线分别与正方形纸片的边，相交于点，．已知这两个正方形纸片的边长之和为6，图1中阴影部分的面积为17，请求出图2中阴影部分的面积．
20．阅读与思考：“配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．
例如：
．
(1)【解决问题】运用配方法将多项式进行因式分解：；
(2)【深入研究】试说明多项式的值总是一个正数；
(3)【拓展运用】对于任意实数，是否存在一个值，使多项式的值最小，如果存在，请求出的值；如果不存在，请说明理由．
21．把下列多项式因式分解：
(1)；
(2)．
22．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
23．因式分解：
(1)．
(2)．
(3)．
24．分解因式：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
25．将下列各式分解因式
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
26．因式分解：
(1)；
(2)；
(3)．
①；
②；
③；
④．
《第9章 9.3公式法》参考答案
1．D
【来源】山东省泰安市岱岳区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试
【分析】本题考查公式法因式分解，主要利用平方差公式 或完全平方公式 ，检查各选项是否符合公式形式即可．
【详解】解：选项 A∶ ，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项B∶，整理为，两个平方项的符号不一致，不符合完全平方公式，也无法直接应用平方差公式，不能用公式法分解．
选项C∶，仅为两个平方项相加，不符合平方差公式或完全平方公式，不能用公式法分解．
选项D∶，可改写为，符合平方差公式，，能用公式法分解．
故选D．
2．C
【来源】广东省广州市白云区华新学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了因式分解，根据平方差公式和完全平方公式逐项分析即可得解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解此题的关键．
【详解】解：A、，能用平方差公式分解，故不符合题意；
B、，能用完全平方公式分解，故不符合题意；
C、不能用公式法分解，符合题意；
D、，能用完全平方公式分解，故不符合题意；
故选：C．
3．C
【来源】河北省唐山市丰润区2025-2026学年八年级上数学期中试卷
【分析】本题主要考查了平方差公式分解因式．平方差公式适用于形如的多项式，分解为，需检查各选项是否符合此形式．
【详解】解：A、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意；
B、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意；
C、，能运用平方差公式分解因式，故本选项符合题意；
D、不能运用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意；
故选：C．
4．C
【来源】12.2因式分解的方法（公式法）（题型专练）数学沪教版五四制2024七年级上册
【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式．
【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解；
② ，符合完全平方公式，故能分解；
③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解；
④ ，符合平方差公式，故能分解；
⑤ ，符合完全平方公式，故能分解．
∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个．
故选：C．
5．D
【来源】山西省晋城市泽州县部分学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了因式分解，多项式需能因式分解，选项A、B、C均可使多项式通过完全平方公式或平方差公式因式分解，而选项D引入四次项导致无法分解．
【详解】解：A、★=，多项式为，可分解．
B、★=，多项式为，可分解．
C、★=，多项式为，且，可分解．
D、★=，多项式为，无法因式分解．
故选：D．
6．B
【来源】山东省日照市东港区田家炳中学2024-2025学年八年级上学期12月月考数学试卷
【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可．
【详解】解：①不能用公式法分解；
②，可以用公式法分解；
③不能用公式法分解；
④，可以用公式法分解；
⑤，可以用公式法分解；
综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤．
故选：B．
7．B
【来源】山东省烟台栖霞市（五四制）2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题
【分析】本题考查因式分解的方法，因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），掌握相关知识是解决问题的关键．分别对每个选项按照因式分解的方法和定义进行分析，判断其是否正确．
【详解】解：A、，该选项因式分解不彻底，错误；
B、，因式分解正确；
C、，该选项因式分解后漏项，错误；
D、该选项原式右边不是几个整式积的形式，不符合因式分解的定义，错误．
故选：B．
8．D
【来源】广东省广州市白云区华新学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了因式分解等知识，通过因式分解逐项检查每个选项是否含有因式 ，即可求解．
【详解】解：A. ，∴含有因式 ，故不符合题意；
B. 直接为 的平方，∴ 含有因式 ，故不符合题意；
C. ，∴含有因式 ，故不符合题意；
D. 在实数范围内无法因式分解，∴ 不含有因式 ，故符合题意．
故选：D
9．B
【来源】湖南省岳阳市平江县第六学区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了完全平方公式因式分解；多项式能用完全平方公式因式分解，需匹配形式，通过比较系数求．
【详解】解：∵多项式能用完全平方公式因式分解，
∴，
即，
∴．
故的值为．
故选：B．
10．C
【来源】湖南省岳阳市平江县第六学区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题主要考查了因式分解；逐一检查每个选项的因式分解是否正确，利用平方差公式、完全平方公式和提取公因式等方法进行验证．
【详解】解：对于A：∵，∴A错误．
对于B：∵，但可进一步分解为，∴因式分解不彻底，B错误．
对于C：∵，∴C正确．
对于D：∵，∴D错误．
故选：C．
11．
【来源】江苏省南通市海安市紫石中学2025-2026学年上学期期中检测八年级数学试题
【分析】本题考查了整式混合运算的应用，完全平方公式的运用，作差法比较大小，解题的关键在于理解题意列出，的表达式．记产品原价为，根据题意分别表示出，，用作差法比较大小，即可解题．
【详解】解：记产品原价为，
则，，
，
∵互不相等的正数，
，
，
故答案为：．
12．(1)②
(2)①证明见解析；②验证见解析
(3)7
【来源】福建省泉州市“泉州一中、厦外石狮分校、泉港一中、德化一中”四校联盟2025—2026学年上学期期中八年级数学试题
【分析】本题考查了平方差公式的应用、完全平方公式，理解新定义，熟练掌握乘法公式是解此题的关键．
（1）根据“双奇差数”的定义判断即可得解；
（2）①利用完全平方公式计算整理原式即可得解；
②设四个连续奇数为、、、，作差即可得解；
（3）将已知式子变形为，结合“双奇差数”的定义求解即可．
【详解】（1）解：①46不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
②，能表示为两个连续奇数的平方差，故符合题意；
③68不能表示为两个连续奇数的平方差，故不符合题意；
故答案为：②；
（2）解：①，
因为k为正整数，所以能被8整除，
因此：“双奇差数”都能被8整除．
②设四个连续奇数为、、、，
，
，
，
，，
所以任意两个连续的“双奇差数”之差是同一个数．
（3）解：因为m、n为正整数，且，
，
因为是“双奇差数”，
所以，其中k为正整数，所以，
因为，即，所以当最小时，有最小值，
所以当最小时，有最小值，
当时，，不是完全平方数；
当时，，不是完全平方数；
当时，，由得，，
∴的最小值为7．
13．（1）；（2），8
【来源】学易金卷：八年级数学上学期第三次月考卷（湖北武汉专用，新教材人教版八上13~17章：三角形 全等三角形 轴对称 整式乘法与因式分解）
【分析】本题考查了因式分解以及整式的化简求值，
（1）利用平方差公式分解因式即可；
（2）先根据完全平方公式、单项式与多项式的乘法、平方差公式进行化简计算，再根据代值计算即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：
，
∵，
∴，
∴原式．
14．(1)
(2)见解析
【来源】河南省周口市太康县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了因式分解，掌握提取公因式法和公式法是解答本题的关键．
（1）根据题意判断即可；
（2）根据取公因式和公式法因式分解即可．
【详解】（1）解：小红做错的或过程不完整的题目是；
（2）解：①，
② ，
③ ，
④ ．
15．(1)
(2)
(3)
【来源】广西壮族自治区贵港市覃塘区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了整式的混合运算，非负数的性质：偶次方，完全平方式，以及因式分解一分组分解法，解题的关键是熟练掌握各自的运算法则及公式．
（1）原式常数项3化为，利用完全平方公式化简，再利用平方差公式分求解即可；
（2）设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，，根据，确定出最大值即可；
（3）将已知等式利用完全平方公式配方后，再根据非负数的性质求出、的值，代入所求式子计算即可．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：设其中一条直角边为a，则另一条直角边为，
∴
，
∵，
∴当时，S有最大值18；
（3）解：∵，
∴，
即，
∵，，
∴，，
解得，，
∴．
16．(1)
(2)当时，多项式有最小值5
(3)当时，多项式有最小值2020
【来源】福建省泉州市惠安县第四片区2025-2026学年八年级上学期期中教学素质联合拓展活动数学试卷
【分析】本题考查了配方法的应用（因式分解、多项式最值求解），解题的关键是通过配方法将多项式转化为完全平方式与常数的组合，利用完全平方式的非负性分析问题．
（1）对多项式凑完全平方式，再用平方差公式因式分解；
（2）将a、b的项分别配方，结合完全平方式非负性求最值；
（3）先整理a的项并配方，再结合b的项配方，利用完全平方式非负性求最值．
【详解】（1）解：
故答案为：．
（2）解：
，，
当，时，多项式有最小值．最小值为5．
（3））解：
，
当且，即，时，多项式有最小值．最小值为2020．
17．（1）
（2）
（3）
【来源】湖南省岳阳市湘阴县长仑五校2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题
【分析】本题考查了完全平方公式的应用：因式分解、求代数式的最值等，掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）使用配方法将二次表达式转化为完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解；
（2）通过配方法将二次函数化为顶点式，求最小值；
（3）对给定方程进行分组和配方，利用平方的非负性求值．
【详解】解：（1）
；
（2）
，
∵，
∴，
即M的最小值为；
（3）∵，
∴，
即，
∵，
∴，
解得：，
∴．
18．(1)
(2)
【来源】辽宁省大连市西岗区第三十七中学2025—2026学年八年级上学期期中测试数学试卷
【分析】此题考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
（1）利用完全平方进行因式分解；
（2），则，利用完全平方进行因式分解得到，则，，进而可求得长方形的周长．
【详解】（1）解：设，则原式可化为，
则，
再把代入，得到原式；
（2）解：先把变形为，
则原式变为，
设，则，
则，即，
解得．
因为长方形的周长，
把代入，得到．
19．(1)21
(2)28
(3)16
【来源】山东省淄博市张店区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．
（1）根据完全平方公式变形求值即可；
（2）根据，进行求值即可；
（3）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， 根据，图1中阴影部分的面积为17，求出，，根据，即可得出答案．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
（2）解：

；
（3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为，
则，
，
即，
为的中点，
，
图1中阴影部分的面积为17，
，
，
，
，
图2中阴影部分的面积为：
．
20．(1)
(2)见解析
(3)存在，
【来源】山东省泰安市岱岳区2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试
【分析】本题考查配方法的应用．
（1）根据配方法将原式变形为，然后利用平方差公式分解即可；
（2）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求证；
（3）根据配方法将原式变形为，然后利用平方的非负性即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
∵，
∴
∴多项式的值总是一个正数
（3）解：存在；理由：
∵，
∴，
∴当时，多项式的值最小，且最小值是．
21．(1)
(2)
【来源】湖南省岳阳市平江县第六学区2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解．
（1）提公因式法分解即可；
（2）根据完全平方公式和平方差公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：
（2）解：
22．(1)
(2)
(3)
(4)
【来源】上海市金山区教育学院附属中学2025-2026学年七年级上学期期中考试数学试题
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可；
（3）先分组，再利用乘法公式分解因式即可；
（4）把当成一个整体，利用十字相乘法分解因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
（3）解：
；
（4）解：
．
23．(1)
(2)
(3)
【来源】上海华东师范大学附属进华中学2025--2026学年七年级数学上学期期中考试卷
【分析】本题考查了因式分解．
（1）根据平方差公式分解因式即可；
（2）先连续提取公因式，再根据平方差公式分解即可；
（3）现根据完全平方公式将原式化为，再根据平方差公式分解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
24．(1)
(2)
(3)
(4)
【来源】山东省淄博市淄川区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（五四制）
【分析】本题考查了因式分解．
（1）直接提取公因式即可；
（2）先去括号，再提取负号，最后根据乘法公式分解即可；
（3）先根据平方差公式分解因式，再去括号，最后提取公因式即可；
（4）直接提取公因式即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
25．(1)
(2)
(3)
(4)
【来源】河南省南阳市桐柏县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；
（1）根据平方差公式可进行因式分解；
（2）根据提公因式可进行求解；
（3）先化简，然后再根据完全平方公式可进行因式分解；
（4）根据乘法公式可进行因式分解．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式；
（4）解：原式．
26．(1)
；
(2)
；
(3)
．
【来源】北京市北京师范大学实验华夏女子中学2025-2026学年八年级上学期11月期中考试数学试卷
【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
（1）先提取公因式，然后再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先提取公因式，然后再利用完全平方公式进行因式分解即可；
（3）利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】（1）解：；
（2）解：；
（3）解：．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
C
C
D
B
B
D
B
C