上海市民一中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案+解析）

这是一份上海市民一中学2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题（含答案+解析），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果斜坡坡度，那么斜坡的坡角等于（ ）
A. B. C. D.
2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的
C. 大小不变D. 不能确定
3. 如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知直线上三点，且，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么值为______．
8. 计算：______
9. 若将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是_____________
10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示）
11. 已知线段，点是线段的黄金分割点，那么较长线段________．
12. 两个相似三角形面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．
13. 如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦为_________．
14. 点分别在的边上，如果，那么______时，．
15. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”）
16. 如图，长方形的边在的边上，顶点D、G分别在上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是___________．
17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E在边BC上，且 BD＝2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于_____．
18. 如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则______．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
20. 已知抛物线的顶点为，与轴相交与点．
（1）求点、的坐标；
（2）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值．
21. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设，，试用、表示.
22. 为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）

23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）延长、交于点，求证：．
24. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标．
25. 在中，，点为边上一点，且，点分别为边上动点（点在点的右边），且．设，．
（1）如图1，当时，求长；
（2）如图2，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出的长．
民一中学2025学年第一学期期中九年级数学试题
（满分150分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）
1. 如果斜坡的坡度，那么斜坡的坡角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度坡角的定义及求解方法是解题的关键．根据坡角的正切值为坡度求解即可．
【详解】解：设坡角为，则，
∴，
故选：B．
2. 在锐角中，如果各边长都缩小为原来的，那么的正弦值（ ）
A. 扩大为原来的2倍B. 缩小为原来的
C. 大小不变D. 不能确定
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据锐角三角函数的定义，即可得到答案．
【详解】解：在锐角中，每个边都缩小为原来的，那么每个角的大小都不变，
∴的正弦值不变，
故选：C ．
3. 如果抛物线的顶点是它的最高点，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质．根据抛物线的顶点是它的最高点得到抛物线开口向下，则，即可求出的取值范围．
【详解】解：∵抛物线的顶点是它的最高点，
∴抛物线开口向下，
∴，
∴，
故选：D
4. 已知直线上三点，且，下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了平面向量．画出图形，由题意得到与方向相同，且，即是的中点，根据图形进行判断即可．
【详解】解：如图，
∵，
∴与方向相同，且，即是的中点，
∴，，，，
综上可知，只有正确，
故选：D．
5. 如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，正确利用相似三角形两边比值相等且夹角相等的两三角形相似是解题关键．
根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案即可．
【详解】解：三角形纸片中，，，．
A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意；
B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意；
故选：A．
6. 二次函数的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③；④当时，．
其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象和性质是解题的关键．根据图象与轴交点在轴正半轴，可得，故①正确；根据图象可得二次函数的对称轴为，由于对称轴为，即可判断②正确；当时，，即可判断③，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确．
【详解】解：① 当时，，根据图象可知，二次函数的图象与轴交点在轴正半轴，即，故①正确，符合题意；
②根据图象可知，二次函数的对称轴是直线，即，故②正确，符合题意；
③由图象可知，当时，，故③错误，不符合题意；
④根据图象可知，当时，图象位于轴上方，即当，所对应的，故④正确，符合题意；
综上所述，①②④结论正确，符合题意．
故选：B．
二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）
7. 如果，那么的值为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查比例的性质，根据比例的性质，进行求解即可．
详解】解：∵，
∴；
故答案为：2．
8. 计算：______
【答案】
【解析】
【分析】本题考查平面向量的加减法则，解题的关键是熟练掌握平面向量的加减法则，注意平面向量的加减适合加法交换律以及结合律，适合去括号法则．根据平面向量的加法法则计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
9. 若将抛物线向左平移3个单位，那么所得抛物线的表达式是_____________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查把二次函数的一般式化为顶点式，二次函数图象的平移规律，结合“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答．
【详解】解：依题意，，
∵向左平移3个单位，
∴平移后抛物线的表达式为，
故答案为：．
10. 已知与单位向量方向相反，且长度为5，那么______．（用含向量式子表示）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平面向量，涉及相反向量，向量的模．根据长度为5，得到，再根据与单位向量方向相反即可求解．
【详解】解：∵与单位向量方向相反，且长度为5，
∴，
∴，
故答案为：．
11. 已知线段，点是线段的黄金分割点，那么较长线段________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割点，解决本题的关键是根据黄金分割的定义找到线段之间的比例关系，根据比例关系求出的长度．
【详解】解：点是线段的黄金分割点，且是较长线段，
，
又 ，
，
故答案为：．
12. 两个相似三角形的面积之比是 ， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．
【答案】3
【解析】
【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高
【详解】∵两个三角形面积比为9:25
∴两个三角形相似比为3:5
设：另一三角形对应边上的高为x
∴，解得x=3
故答案为：3
【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键．
13. 如果等腰三角形中的两条边长分别是2和5，那么底角的余弦为_________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】先分类讨论得到该等腰三角形的三边为 ，根据题意，画出图形，作AD⊥BC于点D，则BD=CD=1，再根据锐角三角函数，即可求解．
【详解】解：若2为腰长，该等腰三角形的三边为 ，
∵ ，
∴此种情况不成立，
若5为腰时，该等腰三角形的三边为 ，
如图，AB=AC=5，BC=2，
作AD⊥BC于点D，则BD=CD=1，
在 中，
，
即底角的余弦为．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的定义，锐角三角函数，熟练掌握有两边相等的三角形时等腰三角形，并利用分类讨论思想解答是解题的关键．
14. 点分别在的边上，如果，那么______时，．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．
根据相似三角形的判定和性质、平行线的判定解答即可．
【详解】解：当，，
，
，
若,可推导出,
,
,
,
,
故答案为： ．
15. 已知点、都在抛物线的图像上，那么与的大小关系是______．（填“”、“”或“”）
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上的点满足其解析式．
先根据二次函数图象上点的坐标特征，分别计算出自变量为和时的函数值，再比较大小即可．
【详解】解：当时，，
当时，，
∵，
∴，
∴，
故答案为： ．
16. 如图，长方形边在的边上，顶点D、G分别在上．已知的边长，高为，且长方形的长是宽的2倍，那么的长度是___________．
【答案】24
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，利用相似三角形对应高的比等于相似比是解题的关键．先证，再根据相似三角形的性质求解即可．
【详解】解：在矩形中，，是高线，
,
令交于点，
，
，
解得，，
故答案为：24．
17. 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称作为这个平面图形的一条优美线．已知ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D、E在边BC上，且 BD＝2，E为BC中点，过点D的优美线交过点E的优美线于F，那么线段AF的长等于_____．
【答案】##
【解析】
【分析】作使得是ΔABC一条优美线，过点作于点，根据,，，，列出比例式，代入数值计算即可．
【详解】如图，ΔABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，
E为BC中点，
，，
是ΔABC的一条优美线
BD＝2，
作使得是ΔABC一条优美线，过点作于点，
则
,
，
设，则
解得
又
即
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，找到优美线是解题的关键．
18. 如图，在中，，，分别在上，点沿翻折后正好落在射线的点处，射线交射线于点，当时，则______．
【答案】或
【解析】
【分析】过点作于，解得，则，依题意有以下两种情况：当点在线段上时，则点在的延长线上，则，由翻折性质得，，，解得，则，设，，则，，证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则，，由此可得 ；当点在的延长线上时，则点在线段上， 则，同理得，，，解得，则，设设，，则 ，， 同理证明和相似，利用相似三角形的性质求出，则 ，，由此可得，综上所述即可得的值．
【详解】解：过点作于，如图所示，
∵，
∴，，即，
在中，，
∴，
∴，
依题意有以下两种情况：
当点在线段上时，则点在的延长线上，如图所示，
∵，，
∴，
由翻折的性质得：是的垂直平分线，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，，
∴，，
∵，，，
∴，
又∵
∴，
∴，
∴，
由，得，
由，得，
∴
解得：，
∴，，
∴，
当点在的延长线上时，则点在线段上，如图所示，
∵，，
∴，
同理：，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，，
∴，，
同理证明：，
∴，
∴，
由，得，
由，得，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
故答案为：或．
【点睛】此题考查了图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，理解图形的翻折变换及其性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数和相似三角形的性质进行计算是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共7题，满分78分）
19. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】把特殊角三角函数值代入，根据实数的混合运算法则计算即可得答案.
【详解】原式=
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值及实数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值及运算法则是解题关键.
20. 已知抛物线的顶点为，与轴相交与点．
（1）求点、的坐标；
（2）将该二次函数图像向上平移，使平移后所得图像经过坐标原点，与轴的另一个交点为，求的值．
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）先利用配方法求出顶点的坐标，再令求出的值，即可得到点的坐标；
（2）设平移后抛物线的解析式为，求出的值，即可得到点的坐标，得到，计算即可得到答案．
【小问1详解】
解：
顶点坐标为
令，则，
；
【小问2详解】
解：设平移后得解析式
把代入得,
，
当时，,
另一个交点，
,
，
，
在中，,
．
21. 已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sinB=，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．
（1）求∠DCE的正切值；
（2）如果设，，试用、表示.
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】试题分析：在中，根据 ，设 则 根据得出：根据平行线分线段成比例定理，用表示出即可求得.
先把用表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出.
试题解析：（1），
∴，∴设 则

即
又，∴AC//DE．
∴，，∴，．
∴，．
∴．
（2）
∵，，∴．．
∵，∴．
22. 为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端B在同一水平线的点A出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶D处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，再从D处沿水平方向继续行走100米后至点C处，此时测得建筑物顶端E的仰角为，建筑物底端B的俯角为，如图，已知点A、B、C、D、E在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据：）

【答案】建筑物的高度为136.6米，的长为130米
【解析】
【分析】如图，过点C、D分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，由题意可得米，，，，则，，米，米，则米，米，根据计算求解可得的值，由坡比可得，即，解得米，在中，由勾股定理可得：，计算求解即可．
【详解】解：如图，过点C、D分别作的垂线，垂足分别为，则四边形是矩形，，

由题意可得：米，，，，
∴，，
∴米，
∴米，则米，
∴米，
∴米，
∵斜坡的坡比为，
∴，即，解得米，
在中，由勾股定理可得：米，
答：建筑物的高度为136.6米，的长为130米．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，三角形的外角性质，等角对等边，解直角三角形的应用，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
23. 已知：如图，在中，点、分别在边、上，，．
（1）求证：；
（2）延长、交于点，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是找到相似的三角形．
（1）由，得出，根据，得出，进一步证明，从而得出结论；
（2）根据（1）的结论和已知证明即可．
【小问1详解】
证明：，
，
，
，
，
，
即；
【小问2详解】
解：如图所示，延长和相交于点F，
由（1）得，
，
，
，
∴，
，
又，
，
又，
．
24. 如图1，抛物线经过，两点，与轴交于点，为第四象限内抛物线上一点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）设四边形的面积为S，求S的最大值；
（3）如图2，过点作轴于点，连接，，与轴交于点．当时，求满足条件的点坐标．
【答案】（1）
（2）的最大值为
（3）
【解析】
【分析】（1）将代入，即可求解；
（2）过点作轴于点为第四象限内抛物线上一点，设点，则，根据得，然后根据二次函数的最值求解即可；
（3）由题意得到，则，设，由，求出，再由待定系数法求直线的解析式即可；分解直线的解析式和抛物线的解析式，求出点的坐标即可．
【小问1详解】
解：将代入，得：
；
【小问2详解】
解：过点作轴于点，如图所示，
令，则，
，
，
为第四象限内抛物线上一点，设点，
，
，
，
，
当时，有最大值，；
【小问3详解】
解：设交轴于点，如图，
轴，轴，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
设直线的解析式为，
把代入得：
，
，
令，
解得：，
点的横坐标为，
把代入得：，
点的坐标为．
【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，等腰三角形的判定，求一次函数解析式，勾股定理，求二次函数解析式，待定指数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象及性质，勾股定理，注意数形结合思想是解题的关键．
25. 在中，，点为边上一点，且，点分别为边上的动点（点在点的右边），且．设，．
（1）如图1，当时，求的长；
（2）如图2，当点在边上时，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）连接，当是以边为腰的等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】（1）
（2）
（3）或或
【解析】
【分析】（1）利用三角形函数求出长即可；
（2）过点作，三角函数求出的长，勾股定理求出，证明，列出比例式，得到，进的得到关于的等式，求出函数关系式，根据点位置，结合，求出定义域即可；
（3）分和两种情况进行讨论求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
解：过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
在中，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理，得：，
∵点在边上，
∴，解得：；
∴；
【小问3详解】
∵，
∴；
当是以边为腰的等腰三角形时，分两种情况：
①时，由（2）知：，
∴，
解得：或（舍去），
∴，即：；
②当时，
过点作，则：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴或，
当，即时，，即：；
当，即时，，即：；
综上：或或．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，解一元二次方程，二次根式的运算等知识点，综合性强，难度大，计算量大，属于压轴题，熟练掌握相关知识点，证明三角形相似，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．