上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）以及答案解析

这是一份上海市浦东新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（一模）以及答案解析，共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知在中，，，，那么下列等式正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知，而且和的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．如果两个相似三角形的周长比为，那么它们的对应角平分线的比为（ ）
A．B．C．D．
5．下列关于二次函数的图像与性质的描述，正确的是( )
A．该函数图像经过原点B．该函数图像在对称轴右侧部分是上升的
C．该函数图像的开口向下D．该函数图像可由函数的图像平移得到
6．下列命题中，说法正确的是（ ）
A．如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
B．如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
C．如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的直角三角形一定相似
D．如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，那么所有这样的等腰三角形一定相似
二、填空题
7．已知，则 ．
8．计算： ．
9．已知线段，是线段AB的黄金分割点，，那么线段的长度等于 ．
10．如果点是ΔABC的重心，，那么边上的中线长为 ．
11．在中，，，，则 ．
12．如图，是边长为3的等边三角形，分别是边上的点，，如果，那么
13．小明沿着坡度的斜坡向上行走了130米，那么他距离地面的垂直高度升高了 米．
14．在一个边长为3的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为y，那么y关于x的函数解析式是 ．
15．已知点、都在二次函数的图象上，那么的大小关系是： （填“”“”或“”）．
16．如图，正方形的边在的直角边上，顶点E、F分别在边、上．已知两条直角边、的长分别为5和12，那么正方形的边长为 ．
17．平行于梯形两底的直线截梯形的两腰，当两交点之间的线段长度是两底的比例中项时，我们称这条线段是梯形的“比例中线”．在梯形ABCD中，AD//BC，AD=4，BC=9，点E、F分别在边AB、CD上，且EF是梯形ABCD的“比例中线”，那么= ．
18．在菱形中，点E为边的中点．联结，将沿着所在的直线翻折得到，点B落在点F处，延长交边于点G．如果的延长线恰好经过点D，那么的值为 ．
三、解答题
19．计算：．
20．如图，已知在中，点D、E分别在边、上，且，，，．
(1)求的值；
(2)连接，如果，，试用、表示向量．
21．如图，已知在四边形中，，，对角线、相交于点O，，，．
(1)求的面积；
(2)求的正弦值．
22．上海教育出版社九年级第一学期《练习部分》第48页复习题B组第2题及参考答案．
某数学兴趣小组在完成了以上解答后，决定对该问题进一步探究：
【问题探究】
如图1，在中，，；
然后延长到点D，使，连接．
（1）__________．
（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），__________．
（3）__________．
【知识迁移】
如图2，在中，，．然后延长到点D，使，连接．
请用习题中求的方法求．
【拓展应用】
如图3，在中，，，，点D、E分别在边、上，且，，连接、交于点P．求证：．
23．已知：如图，在梯形中，，对角线、相交于点E，且．
(1)求证：；
(2)点F在的延长线上，联结，．求证：．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点、点，顶点为点C，抛物线M的对称轴交x轴于点D．
(1)求抛物线M的表达式和点C的坐标；
(2)点P在x轴上，当与相似时，求点P坐标；
(3)将抛物线M向下平移个单位，得到抛物线N，抛物线N的顶点为点E，再把点C绕点E顺时针旋转得到点F．当点F在抛物线N上时，求t的值．
25．如图，已知正方形的边长为，点是射线上一点(点不与点、重合)，过点作，交边的延长线于点，直线分别交射线、射线于点、．
(1)当点在边上时，如果，求的余切值；
(2)当点在边延长线上时，设线段，，求关于的函数解析式，并写出函数定义域；
(3)当时，求的面积．
2．如图，图中提供了一种求的方法，阅读并填空：
先作，其中，；然后延长到点D，使，结连接．
2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3． 2．如图，图中提供了一种求tan15°的方法，阅读并填空：先作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠ABC=30°；然后延长CB到点D，使BD=AB，结连接AD．（1）∠D=15°．（2）设AC=t，那么BC=3t（用t的代数式表示，以下同），BD=2t，（3）tan15°=2−3．
（1）．
（2）设，那么（用t的代数式表示，以下同），，
（3）．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，形如、、为常数，的函数，叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．
【详解】解：A．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
B． 是二次函数，故此选项符合题意；
C．是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；
D． 不是二次函数，故此选项不符合题意；
故选：B．
2．D
【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，直接利用锐角三角函数的定义分别分析得出答案．
【详解】解：如图所示：
，，，
，
，故A错误；
，故B错误；
；故错误；
，故D正确；
故选：D．
3．D
【分析】根据平面向量的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，而且和的方向相反，
∴3，
故选：D．
【点睛】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
4．A
【分析】根据相似三角形的性质进行分析即可得到答案．
【详解】解：∵两个相似三角形的周长比为1：4，
∴两个相似三角形的相似比为1：4，
∴它们的对应角平分线之比为1：4，
故选：A．
【点睛】本题考查了对相似三角形性质的理解．（1）相似三角形周长的比等于相似比．（2）相似三角形面积的比等于相似比的平方．（3）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．
5．C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据二次函数的性质逐一判断即可得．
【详解】解：二次函数，
抛物线开口向下，对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，故选项B错误，选项C正确；
时，，
该函数图象经过点，故选项A错误；
该函数图象可由函数的图象向上平移3个单位得到，故选项D错误；
故选：C．
6．B
【分析】本题考查相似三角形的判定，直角三角形和等腰三角形的性质．
根据直角三角形中有两边之比为，可能是两直角边的比，也可能是直角 边与斜边的比，可判定A；根据等腰三角形中有两
边之比为，只能是底与腰的比为，所有这样的等腰三角形三边对应成比例，一定相似，可判定B；若一个直角三角形
是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，另一个直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，可判定C；设等腰三角形两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，
；所以所有这样的等腰三角形不一定相似，可判定D．
【详解】解：A、如果一个直角三角形中有两边之比为，那么所有这样的直角三角形不一定相似，如：一个直角三角形两直角边为a、b，斜边为c，且，另一个直角三角形两直角边为d，e，斜边为f，且，则这两个直角三角形不相似；故此选项不符合题意；
B、如果一个等腰三角形中有两边之比为，那么等腰三角形只能是底与腰的比是，所以所有这样的等腰三角形三边对应成比例，所以一定相似，故此选项符合题意；
C、如果一个直角三角形中有两个内角的度数之比为，若一个三角形是直角是锐角的2倍，则这个三角形是等腰直角三角形，若是直角三角形是一锐角是另一锐角的2倍，则两锐角为和，所以所有这样的直角三角形不一定相似，故此选项不符合题意；
D、如果一个等腰三角形中有两个内角的度数之比为，设这两角为x和，则三个内角分别为x，，或x，x，；所以所有这样的等腰三角形不一定相似；故此选项不符合题意；
故选：B．
7．
【分析】直接利用比例的性质即可得出答案．
【详解】解：
故答案为：．
【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键．
8．
【分析】本题考查了平面向量，根据平面向量的运算法则求解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
9．/
【分析】根据黄金分割的定义：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．
【详解】解：根据黄金分割的定义，得
，
，
解得（负值舍去），
故答案为：．
【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟练掌握黄金分割点的定义是解题的关键．
10．
【分析】根据三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍求得DG=3，继而求得边上的中线长为9．
【详解】∵三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍，
∴DG=AG=×6=3，
∴AD=AG+GD=6+3=9．
即边上的中线长为9．
故答案为：9．
【点睛】本题考查的是三角形重心的性质，熟知三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍是解决问题的关键．
11．8
【分析】本题考查的是已知正弦求解三角形的边长，熟记正弦的定义是解本题的关键．
【详解】解：在中，
∵，，
∴由，可得：．
故答案为：8．
12．
【分析】由等边三角形的性质得出∠B＝∠C＝60°，证明△ABD∽△DCE，由相似三角形的性质得出则可求出答案．
【详解】解：∵是边长为3的等边三角形，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了坡度与坡比，勾股定理；
根据题意画图，过点作于，由坡度得到，设，则，在中，利用勾股定理构建方程求解即可．
【详解】解：如图，过点作于，由题意得米，
∵坡度，
∴，
∴设，则，
在中，由勾股定理得：，
∴，
解得：（负值已舍去），
∴他距离地面的垂直高度升高了米，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，利用剩余部分的面积大正方形的面积小正方形的面积，即可得出关于的函数解析式．
【详解】解：根据题意得：关于的函数解析式是，
即．
故答案为：．
15．
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由二次函数解析式可得抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，从而得到当时，随的增大而减小，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解此题的关键．
【详解】解：由二次函数可知，抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线，
当时，随的增大而减小，
点、都在二次函数的图象上，且，
，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查相似三角形的应用，正方形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考常考题型．根据正方形的性质得出，，即可判定，根据相似三角形的性质可得，由此构建方程即可解决问题．
【详解】解：四边形是正方形，
，，
，
，
、的长分别为5和12，
，
，
即正方形的边长为，
故答案为：．
17．
【分析】先利用比例中线的定义，求出EF的长度，然后由梯形ADFE相似与梯形EFCB，得到，即可得到答案.
【详解】解：如图，
∵EF是梯形的比例中线，
∴，
∴，
∵AD//BC，
∴梯形ADFE相似与梯形EFCB，
∴；
故答案为：.
【点睛】本题考查了相似四边形的性质，以及比例中项的定义，解题的关键是熟练掌握相似四边形的性质和比例中线的性质.
18．/0.75
【分析】
延长、交于点，由菱形的性质得，，，则，由折叠得，，则，，而，所以，推导出，可证明，得，则，所以，则，再证明，得，再证明，得，则，而，即可求得，于是得到问题的答案．
【详解】
解：延长、交于点，
四边形是菱形，
，，，
，
由折叠得，，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
点为边的中点，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
故答案为：
【点睛】本题考查菱形的性质、轴对称的性质、同角的补角相等、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
19．
【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．
【详解】解：原式
．
20．(1)
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、向量的线性运算等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
（1）先判定，再根据相似三角形对应边成比例解题即可；
（2）根据相似三角形的判定与性质求出向量之间的关系，解题即可．
【详解】（1）解： ，，，，
，
，
，
．
（2）解：由（1）中可知，
，
，
∴．
21．(1)4
(2)
【分析】本题考查解直角三角形
（1）可过点作的平行线，借助于相似三角形的性质求出边上的高即可解决问题．
（2）过点作边的垂线，借助于面积法求出垂线段的长即可解决问题．
【详解】（1）解：过点作的平行线，分别与，交于点，，
，，
四边形是平行四边形，
又，
四边形是矩形，
，．
，
，
，
又，
，，
．
（2）解：在中，
．
过点作的垂线，垂足为，过点作垂线，垂足为，
在中，
．
，
．
在中，
．
22．【问题探究】 ，，；【知识迁移】【拓展应用】证明见解析
【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，勾股定理熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【问题探究】（1）由等腰三角形的性质得出答案；
（2）由股定理可得出答案；
（3）由锐角三角函数的定义可得出答案；
【知识迁移】设， 得出，由此求出答案；
【拓展应用】连接，证出， ，，设，，，，求出，则可得出答案．
【问题探究】解：（1），
，
，，
，
故答案为：；
（2）在中，，，，，
，
，
故答案为：；
（3）在中，，，
，，
，
故答案为：；
【知识迁移】解：在中，，
，
，
，
中，，
即，
设，
则，
，
，
；
【拓展应用】证明：连接，
，，
，
，，
，
，
，
， ；
设，，
，，
，
，
，
，
．
23．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定：
（1）证明得出，，进而证明得出，两个比例式联立，即可得证；
（2）证明得出，得出，根据已知条件得出，证明可得，等量代换即可得证．
【详解】（1）∵，，
∴，
∴,，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）证明： ∵，
∴，即，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
又∵，
∴．
24．(1)，点
(2)或
(3)
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）当时，则，即，即可求解；当时，同理可解；
（3）根据图像平移和旋转求出点，代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）解：由题意得：
，解得：，
则抛物线的表达式为：，
∵
∴顶点；
（2）解：由（1）知，，
又∵抛物线M的对称轴交x轴于点D，
∴点，
∵、，，，
∴、、、，，
又∵与相似，
∴点O与点C对应，
当时，
则，即，
解得：，
即点；
当时，
则，即，
解得：，
则点；
综上，点的坐标为：或；
（3）解：如图，过点作交于点，则，
设平移后的抛物线表达式为：，
则，
在等腰中，，
则，
则点，
将点的坐标代入函数表达式得：，
解得：（舍去）或，
故．
【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的平移，旋转的性质，二次函数图象性质，相似三角形的判定性质等知识，分类求解是解题的关键．
25．(1)的余切值为或；
(2)
(3)或
【分析】（1）根据正方形的性质证明，根据全等三角形得出，、根据平行线分线段成比例得出，进而求得或，进而根据锐角三角函数的定义即可求解；
（2）利用等腰三角形的性质，相似三角形的性质得出，再根据勾股定理得出即可；
（3）分类讨论，当在上和的延长线上，分别利用相似三角形的判定和性质求出的边CE上的高即可．
【详解】（1）解：如图1，
正方形，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
设则
，
解得x=2或，
经检验，x=2，都是原方程的根，
或，
在中，
或；
（2）如图2，由（1）得，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，
，
即；
（3）当点在上时，如图，过点作，垂足为，
，
，
由（）可知，当时，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
的面积为
当点在的延长线上时，如图，过点作，垂足为，
由（）可得，，
，
，即，
解得：，
，
，即，
解得：
的面积为
综上所述，的面积为或．
【点睛】本题考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数，掌握全等三角形、相似三角形的判定和性质，等腰三角形、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义是解题的关键．
题号
1
2
3
4
5
6




答案
B
D
D
A
C
B