2025-2026学年青海师大附属第二实验中学九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析）

这是一份2025-2026学年青海师大附属第二实验中学九年级（上）期中数学试卷（含答案+解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.已知⊙O的半径为4cm.若点P在⊙O外，则OP的长可能是( )
A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm
3.若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=−2，x2=4，则b+c的值是( )
A. −10B. 10C. −6D. −1
4.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，若BE=CD=8，则⊙O的半径的长是( )
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
5.小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=−4的解是( )
A. 无解
B. x=0
C. x=−4
D. x=0或x=3
6.将抛物线y=(x−1)2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线为( )
A. y=(x−2)2−1B. y=(x−2)2+3C. y=x2+1D. y=x2−1
7.下列事件中是必然事件的是( )
A. 买一张彩票，一定会中奖B. 经过十字路口，遇到绿灯
C. 任意画一个平面三角形，内角和是180∘D. 打开电视机，正在播放《新闻联播》
8.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称.下列五个结论：
①abc>0；②2a+b=0；③4a+2b+c>0；④am2+bm>a+b；⑤3a+c>0.其中正确的有( )
A. 4个
B. 3个
C. 2个
D. 1个
二、填空题：本题共10小题，每小题2分，共20分。
9.若关于x的方程(a−1)x2+4x−3=0是一元二次方程，则a的取值范围是 .
10.把方程x2−8x−4=0配方为(x−m)2=n的形式，则m+n= .
11.已知关于x的方程x2+px+1=0的一个根是−2，则另一个根是______.
12.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90∘，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC=2，则EC=______.
13.若抛物线y=x2−6x+m与x轴有两个公共点，则m的取值范围为______.
14.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B是切点.若∠P=50∘，则∠AOB= .
15.已知A(0,3)、B(2,3)是抛物线y=−x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是______.
16.如图，直线y1=kx+n(k≠0)与抛物线y2=ax2+bx+c(a≠0)分别交于A(−1,0)，B(2,−3)两点，那么当y1>y2时，x的取值范围是______.
17.如果圆中一条弦长与半径相等，那么此弦所对的圆周角的度数为______.
18.如图，AB是⊙O的直径，若AC=4，∠D=60∘，则BC的长等于 .
三、解答题：本题共10小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题4分)
解方程：x2−4x=1.
20.(本小题4分)
若一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图的圆心角为120∘，则该圆锥的侧面积为多少？
21.(本小题6分)
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A(1,1)，B(4,2)，C(3,4).
(1)请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
(2)请画出△ABC关于原点对称的△A2B2C2；
(3)在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出P的坐标.
22.(本小题6分)
一种药品经过两次降价，由每盒60元调至48.6元，平均每次降价的百分率是多少？
23.(本小题6分)
某中学为了解学生每学期“诵读经典”的情况，在全校范围内随机抽查了部分学生上一学期阅读量，学校将阅读量分成优秀、良好、较好、一般四个等级，绘制如下统计表：
请根据统计表中提供的信息，解答下列问题：
(1)本次调查一共随机抽取了______名学生；表中a=______，b=______，c=______；
(2)样本数据中优秀等级学生有4人，其中仅有1名男生.现从中任选派2名学生去参加读书分享会，请用树状图法或列表法求所选2名同学中有男生的概率.
24.(本小题6分)
如图，两个圆都以点O为圆心，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．
求证：AC=BD.
25.(本小题6分)
特产专卖店销售某品牌的薄皮核桃，进价为每袋20元，现在按每袋30元出售，平均每天售出200袋.由于货源紧缺，现要涨价销售.经过市场调查发现，每袋售价每上涨1元，则平均每天的销售量会减少10袋.若该专卖店销售这种核桃每天的利润为y元，每袋销售单价上涨x元，
(1)求y与x的函数解析式；
(2)求出当x是多少时，利润y有最大值，最大值是多少？
26.(本小题8分)
如图，AC是⊙O的直径，PA相切于⊙O，点B是圆上一点，且PA=PB，连接AB，∠BAC=30∘.
(1)求证：PB是⊙O的切线.
(2)若PA=4，求点O到弦AB的距离.
27.(本小题8分)
阅读材料：解方程(x2−1)2−3(x2−1)=0，我们可以将(x2−1)看作一个整体，然后设y=x2−1，则原方程化为y2−3y=0解得：y1=0，y2=3.
当y1=0时，x2−1=0，∴x=±1.当y2=3时，x2−1=3，∴x=±2，
∴原方程的解为：x1=1，x2=−1，x3=2，x4=−2.
在上述的解题方法中利用整体思想达到了降次的目的，这就是换元法解方程.利用换元法解方程：(x2+x)2−(x2+x)−2=0.
28.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n经过点A(3,0)，B(0,−3)，点P是直线AB上的动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，设点P的横坐标为t.
(1)分别求出直线AB和这条抛物线的解析式；
(2)若点P在第四象限，求线段PM最长时点P的坐标.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
B、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
C、图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
D、图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
故选：D.
根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．
本题考查了轴对称图形，中心对称图形，掌握轴对称图形，中心对称图形的定义是关键．
2.【答案】D
【解析】解：∵⊙O的半径为4cm，点P在⊙O外，
∴OP>4cm，
故选：D.
根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，即可判断点和圆的位置关系．点到圆心的距离小于圆的半径，则点在圆内；点到圆心的距离等于圆心的半径，则点在圆上；点到圆心的距离大于圆的半径，则点在圆外．
本题考查了点和圆的位置关系，熟悉点和圆的位置关系的判断是关键．
3.【答案】A
【解析】解：∵已知a=1，x1=−2，x2=4是方程x2+bx+c=0的两根，
∴x1+x2=−b1,x1x2=c1，
∴−b=−2+4=2，c=−2×4=−8，
∴b=−2，c=−8，
∴b+c=−2+(−8)=−10，
故选：A.
根据根与系数的关系求出b和c的值，再相加即可得到答案．
本题主要考查了一元二次方程根与系数关系，牢记x1+x2=−ba，x1x2=ca是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：连接OC，
设⊙O的半径为R，则OE=8−R，
∵CD⊥AB，AB过圆心O，CD=8，
∴∠OEC=90∘，CE=DE=4，
由勾股定理得：OC2=CE2+OE2，
R2=42+(8−R)2，
解得：R=5，
即⊙O的半径长是5，
故选：A.
连接OC，设⊙O的半径为R，则OE=8−R，根据垂径定理得出CE=DE=4，根据勾股定理得出OC2=CE2+OE2，代入后求出R即可．
本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．
5.【答案】D
【解析】解：由图象可知，抛物线y=x2+ax+b与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，(4,0)，与y轴的交点为(0,−4)，
∴抛物线的对称轴为直线x=−1+42=32，
∴(0,−4)关于对称轴的对称点为(3,−4)，
∴关于x的方程x2+ax+b=−4的解是x=0或x=3.
故选：D.
由图象可知，抛物线y=x2+ax+b与x轴的交点坐标分别为(−1,0)，(4,0)，与y轴的交点为(0,−4)，利用抛物线的对称性得到(0,−4)关于对称轴的对称点为(3,−4)，进而可得答案．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
6.【答案】D
【解析】解：将抛物线y=(x−1)2+1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后得y=(x−1+1)2+1−2，
即y=x2−1.
故选：D.
根据二次函数的平移规律：“上加下减，左加右减”即可得出答案．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
7.【答案】C
【解析】解：A、买一张彩票，一定会中奖，是随机事件，不符合题意；
B、经过十字路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
C、任意画一个平面三角形，内角和是180∘，是必然事件，符合题意；
D、打开电视机，正在播放《新闻联播》，是随机事件，不符合题意．
故选：C.
根据事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
8.【答案】B
【解析】解：∵抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数)关于直线x=1对称，
∴−b2a=1，
∵a>0，
∴b=−2a0，c0，由b=−2a得出3a+c>0即可判断⑤．
本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
9.【答案】a≠1
【解析】解：∵关于x的方程(a−1)x2+4x−3=0是一元二次方程，
∴a−1≠0，
解得：a≠1，
故答案为：a≠1.
根据一元二次方程的定义，形如ax2+bx+c=0，且a、b、c是常数，a≠0解之即可．
本题考查了一元二次方程的定义，正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
10.【答案】24
【解析】解：∵x2−8x−4=0，
∴x2−8x=4，
则x2−8x+16=4+16，即(x−4)2=20，
∴m=4，n=20，
则m+n=24，
故答案为：24.
一次项移到方程的左边，两边都加上16配成完全平方式，继而可得答案．
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
11.【答案】−12
【解析】解：设方程的另一个根为t，
根据题意得−2t=1，解得t=−12，
即方程的另一个根是−12.
故答案为−12.
设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到−2t=1，然后解一元一次方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2=−ba，x1x2=ca.
12.【答案】2 2
【解析】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转90∘，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，
∴∠CAE=90∘，AC=AE=2，
∴CE= AC2+AE2=2 2.
故答案为：2 2.
首先利用旋转的性质可得∠CAE=90∘，AC=AE，然后利用勾股定理即可求解．
此题主要考查了旋转的性质，同时也利用了勾股定理解决问题．
13.【答案】m0，
解得：m