江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省泰州中学2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（Word版附解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
数学试题
一、单选题
1．已知直线，若，则（ ）
A．或B．C．或D．
2．抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A．4B．2C．D．
3．已知命题p：方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件是（ ）
A．B．
C．D．
4．双曲线的一条渐近线为，则的离心率为（ ）
A．B．C．2D．4
5．直线分别与轴，轴交于A，B两点，点在圆上，则面积的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与的左支交于A，B两点，且，则的渐近线为（ ）
A．B．
C．D．
7．首届江苏省城市足球联赛（“苏超”）总决赛已圆满落幕，泰州队以“黑马”之姿成功夺冠．比赛场地南京奥体中心体育场给人们留下了深刻的印象．在手工课上，陈老师带领同学们一起制作了一个近似奥体中心体育场的金属模型，其俯视图可近似看成是一个椭圆紧紧套着一个以椭圆中心为圆心的圆，若椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）

A．B．
C．D．
8．已知点是椭圆上的一点，分别是的左、右焦点，且，点在的平分线上，为原点，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．过两点的直线方程为
B．经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或
C．圆与圆恰有3条公切线
D．已知双曲线的两个焦点分别为，双曲线C上有一点，若，则
10．已知圆，则（ ）
A．点在圆内
B．若点在圆上，则的最大值为
C．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则实数的值为
D．若点在直线上，点在圆上，，则的最小值为
11．古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”算出椭圆面积等于圆周率、椭圆的长半轴长、短半轴长三者的乘积.如下图，已知椭圆的左、右焦点分别为，上、下顶点分别为，左、右顶点分别为，设的离心率为，则（ ）
A．若，则
B．四边形的面积与的面积之比为
C．四边形的内切圆方程为
D．设椭圆内阴影部分的面积为，椭圆外阴影部分的面积为，则
三、填空题
12．若直线和直线将圆的周长四等分，则 ．
13．已知双曲线的左、右焦点分别为，抛物线的准线经过，且与双曲线的一条渐近线交于点，若，则双曲线的标准方程为 .
14．已知是圆上的两个不同的点，若，则的取值范围为 .
四、解答题
15．求满足下列条件的直线的一般式方程：
(1)经过直线,的交点P，且经过点；
(2)与直线垂直，且点到直线的距离为．
16．已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线过点，且其离心率为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线与双曲线有且只有一个公共点，求实数的值．
17．在平面直角坐标系xOy中，圆的圆心在直线上，圆经过点，且与直线相切.
(1)求圆的方程；
(2)设直线交圆于P，Q两点，若直线的斜率之积为3，求证：直线过一个定点，并求出该定点坐标.
18．已知椭圆的两个焦点为和，点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点为椭圆上一动点，求点到直线距离的最值；
(3)分别过，作平行直线，若直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点，其中点在轴上方，求四边形的面积的取值范围．
19．已知椭圆：，连接椭圆上任意两点的线段叫作椭圆的弦，过椭圆中心的弦叫做椭圆的直径.若椭圆的两直径的斜率之积为，则称这两直径为椭圆的共轭直径.特别地，若一条直径所在的斜率为0，另一条直径的斜率不存在时，也称这两直径为共轭直径.现已知椭圆：.
（1）已知点，为椭圆上两定点，求的共轭直径的端点坐标.
（2）过点作直线与椭圆交于､两点，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为.当的面积最大时，直径与直径是否共轭，请说明理由.
（3）设和为椭圆的一对共轭直径，且线段的中点为.已知点满足：，若点在椭圆的外部，求的取值范围.
参考答案
1．B
【详解】因为，，
所以，所以，解得或，
当时，，，直线重合，不满足要求，
当时，，，直线平行，满足要求，
故选：B.
2．A
【详解】因为抛物线可化为，则，
由抛物线的定义可知：焦点到准线的距离为，
即焦点到准线的距离为，
故选：.
3．C
【详解】方程表示焦点在轴上的椭圆，
则，解得：．
所以成立的充要条件是：．
结合四个选项可知：p成立的充分不必要条件是：．
故选：C.
4．B
【详解】由题意得，则，
则的离心率.
故选：B
5．B
【详解】
直线分别与轴，轴交于，两点,则，
点P在圆上
圆心为，半径为：，
则圆心到直线距离，
故点P到直线的距离的范围为，
则，
故选：B.
6．C
【详解】如图．设，则，，，
在中，由勾股定理：，即，
在中，由勾股定理：，即，
即，解得，∴，
则，所以渐近线方程：.
故选：C.

7．B
【详解】由题意可设，圆方程为，椭圆方程为，其中，

设圆的切线为，因，则四边形为正方形，则，
则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，方程为，
因椭圆上存在点，使得由点所作的圆的两条切线相互垂直，
则点的轨迹与椭圆有交点，即有解，
联立得，故，则，
则离心率.
故选：B
8．A
【详解】设，，延长ON交于A，如图所示.

由题意知，O为的中点，∴点A为中点.
又，点N在的平分线上，
∴，∴是等腰三角形，
∴，
则，所以.
又，所以.
又在中，由余弦定理得，
即，即，
化简得：.
又，所以，所以，即
故选：A.
9．BCD
【详解】对于选项A，当或时，无法用两点式表示该直线，所以A错误；
对于选项B，当直线经过点时，直线方程为，即，
当直线不经过点时，设在轴和轴上截距都为a，则，解得，
则直线方程为，即，所以B正确；
对于选项C，圆 标准方程为，圆心为，半径，
圆的标准方程为，圆心为，半径，
可知，且，
所以圆与圆外切，所以有3条公切线，所以C正确；
对于选项D，根据双曲线定义可得，又，
所以或，又，，
而或，所以，所以D正确.
故选：BCD.
10．BD
【详解】对于A，因为，
所以点在圆外，故A错误；
对于B，因为圆，可化为，
所以圆心，半径为，
设，则，又点在圆上，
所以直线与圆有交点，
即，解得，
所以的最大值为，故B正确；
因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，而圆的半径为，
所以圆心到直线的距离为1，
即，解得，故C错误；
对于D，设关于直线的对称点为，
则，解得，则，
则，
而的最小值为，
所以，
当且仅当四点共线，且在线段上时，等号成立，
则的最小值为.
故选：BD.
11．AD
【详解】对于A ，若，则，所以，即.所以选项A正确；
对于B，四边形的面积为，的面积为，
所以四边形的面积与的面积之比为.所以 选项B错误；
对于C，因为点到四边形各边的距离均等于，
所以四边形的内切圆半径为，所以四边形的内切圆方程为，
所以选项C错误；
对于D，四边形的面积为，椭圆的面积为.
记图中空白部分面积为，则，，所以，所以选项D正确.
故选：AD.
12．/
【详解】由圆，可知圆心为，
又直线和直线互相垂直，
且两直线将圆的周长四等分，
则圆心在两条直线上，
即，解得，
所以，
故答案为：.
13．
【详解】抛物线的准线方程为，则，所以，
双曲线的渐近线方程为，
不妨设点为第二象限内的点，联立，可得，即点，
因为且，则为等腰直角三角形，
且，即，可得，
所以，解得，因此双曲线的标准方程为.
故答案为：.
14．
【详解】由题设知，圆的圆心坐标，半径为2，
因为，所以.
设为的中点，所以，
所以点的轨迹方程为.，
其轨迹是以为圆心，半径为的圆.
设点到直线的距离分别为，
所以，
所以.
因为点到直线的距离为，
所以，即，
所以.所以的取值范围为.
故答案为：.
15．(1)
(2)或.
【详解】（1）联立，得，即，
由两点式得，即.
（2）因为与直线垂直，所以直线的斜率为，
设直线，即，
依题意得，解得或，
所以直线的方程为或.
16．(1)
(2)，
【详解】（1）由题意知双曲线的焦点在轴上，且其实半轴长为2，
设双曲线的标准方程为则，
由得，
双曲线的标准方程．
（2）由得（※），
当，即：时，方程（※）有且只有一解，合题意；
当时，由，
得，方程（※）有且只有一解，也合题意；
综上所述：实数的值为：，．
17．(1)
(2)证明见解析，
【详解】（1）因为圆心在直线上，所以设，
因为圆C经过点，所以圆C的半径，
因为圆C和直线相切，所以圆C的半径，
所以.
化简，得，解得.
所以，半径.
所以圆C的方程为.
（2）若直线的斜率不存在，则可设，
所以，
消去得，再代入不存在，
所以直线的斜率存在.
设直线的方程，
所以，
整理得， ①
直线方程与圆C方程联立，，
消去y得，
所以代入 ①
得，
由于，整理得，即，
所以直线l的方程为，即，
令，解得，
所以直线l过一个定点，该定点坐标为.
18．(1)
(2)最大值为，最小值为
(3)
【详解】（1）由题意得，
因为点为椭圆的上顶点，为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）设与直线平行且与椭圆相切直线方程为，
联立，消得，
则，解得，
平行直线与的距离，
所以，
所以点到直线距离的最大值为，最小值为；
（3）由题意可得直线的斜率不为零，
设直线的方程为，则直线的方程为，
联立，消得，
设，
则，
则，
直线之间的距离，
则四边形的面积，
令，则，
故，
当且仅当，即时取等号，
又，所以，所以，
由椭圆的对称性可得四边形的面积，
所以四边形的面积的取值范围为.
19．（1）和；（2）直径与直径共轭，理由见解析；（3）或.
【详解】解：（1）由题设知，设所求直线方程为：，则，则.
故共轭直径所在直线方程为：.
联立椭圆与，即可得：，.
故端点坐标为和.
（2）由题设知，不与轴重合，故设：，､
联立方程：，
则，，，
.
当且仅当，即时取等号，
此时，故直径与直径共轭.
（3）设点，，
当不与坐标轴重合时，设：，则：.
联立.
同理可得：，.
由椭圆的对称性，不妨设在第一象限，则必在第二象限或第四象限，
则，，
若在第二象限，则，，
从而，
则.
又在椭圆外，则，
化简可得：，即，或.
若在第四象限，同理可得，即，或.
当与轴垂直或重合时，由椭圆的对称性，不妨取，，则.
又在椭圆外，则，即，或，题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
A
C
B
B
C
B
A
BCD
BD
题号
11









答案
AD