江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版）

这是一份江苏省泰州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了考试结束后，将答题卡交回， 下列说法正确的是， 已知圆，直线等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考试号等填写在答题卡指定位置上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由题意可知该直线的斜率为，所以其倾斜角为.
故选：B
2. 圆不经过（ ）
A. 第一象限B. 第二象限
C. 第三象限D. 第四象限
【答案】C
【解析】圆化为(，
表示圆心为，半径为5的圆，如图所示：
所以，圆不经过第三象限．
故选：C．
3. 双曲线的一个焦点是，则（ ）
A. -1B. 1C. -2D. 2
【答案】D
【解析】由双曲线的一个焦点是，得，方程为，
则，解得.
故选：D
4. 直线与圆交于、两点，则的面积为（ ）
A. 2B. C. D.
【答案】C
【解析】圆的圆心，半径，
点到直线的距离，
则，所以的面积为.
故选：C
5. 已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设Mx,y，，，得，
所以点到轴的距离为.
故选：B.
6. 点在直线上运动，，，则的最小值是（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】点，都在直线的下方，
点关于直线的对称点，
于是，
当且仅当点是线段与直线的交点时取等号，
所以的最小值是5.故选：C
7. 已知、分别为椭圆的左右顶点，为椭圆上异于、的一点，若直线、的斜率之积为，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】依题意，，设点，则，即，
依题意，，因此，
所以椭圆的离心率.
故选：A
8. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（ ）
A. 1或3B. 2C. 5D. 1或5
【答案】D
【解析】设，由，得，
整理得，又点是圆上有且仅有的一点，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为2，圆的圆心坐标为，半径为，
两圆的圆心距为3，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，得．
故选：D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
A. 过点并且倾斜角为的直线方程为
B. 直线与直线之间的距离为
C. 直线在轴上的截距为
D. 将直线绕原点逆时针旋转，所得到的直线为
【答案】ACD
【解析】A.过点并且倾斜角为的直线方程为，故A正确；
B. 直线与直线之间的距离，故B错误；
C. 直线，时，，所以直线在轴上的截距为，故C正确；
D. 直线过原点，且倾斜角为，直线绕原点逆时针旋转，旋转后直线的倾斜角为，
也过原点，得到直线方程为，故D正确.故选：ACD
10. 已知圆，直线.则以下几个结论正确的有（ ）
A. 直线恒过定点
B. 圆被轴截得的弦长为
C. 点到直线的距离的最大值是
D. 直线被圆截得的弦长最短时，直线的方程为
【答案】ABD
【解析】A.直线，不管为何值，满足方程，
即可直线恒过定点，故A正确；
B.当时，，解得：，，
所以圆被轴截得的弦长为，故B正确；
C.圆心到直线的距离的最大值是圆心与定点的距离，故C错误；
D.设直线的定点，当点为弦的中点时，此时弦长最短，即，，所以直线的斜率为2，所以直线的方程为，即，故D正确.
故选：ABD
11. 《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的.已知动点到定点的距离和它到直线的距离的比是常数.若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”，下列说法正确的是（ ）
A. 动点的轨迹方程为：
B. 的最大值为16
C. 点为动点的轨迹上的任意一点，，，则的面积为
D. 直线与动点的轨迹交于两点，则的最小值为
【答案】AD
【解析】设，则，化简为，故A正确；
B.由A可知，，的最大值为，故B错误；
C.由椭圆方程可知，点是椭圆的左焦点，则，
即，，
，所以，则，故C错误；
D.四边形是平行四边形，
即，
,
当，即时，等号成立，
所以则的最小值为，故D正确.
故选：AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 已知直线，若，则______.
【答案】
【解析】由题意可知，，解得：.
故答案为：
13. 已知圆和圆，则两圆公共弦的弦长为_______.
【答案】
【解析】圆的圆心，半径，
圆的圆心，半径，
而，即圆与圆相交，其公共弦所在直线的方程为，
点到直线的距离，
所以公共弦长为.
故答案为：
14. 已知抛物线的焦点为，则抛物线的准线方程是_____，点是抛物线上的动点，设点，当取得最小值时，_______.
【答案】① ②2
【解析】抛物线的焦点为，准线方程为；
设，则，
当且仅当时取等号，此时.
故答案为：；2
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知的两顶点坐标为，，是边的中点，是边上的高.
（1）求所在直线的方程；
（2）求高所在直线的方程.
解：（1）由，边中点，得点，又点，
则直线的斜率，直线的方程为，即，
所以所在直线的方程为.
（2）由（1）知，直线的斜率，
所以高所在直线方程为，即.
16. 已知圆的圆心在直线上，且与轴相切于点.
（1）求圆的方程；
（2）若圆与直线交于、两点，_____，求的值.
从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：
条件①：圆被直线分成两段圆弧，其弧长比为；
条件②：；
条件③：.
解：（1）设圆心，半径为，则，
解得：，
所以圆的方程为；
（2）若选条件①，则劣弧所对的圆心角为，所以圆心到直线的距离为，
即，解得：或；
若选条件②，，，所以圆心到的距离为，
即，所以或；
若选条件③，，则圆心到的距离为，
即，所以或.
17. 已知双曲线的中心在原点，过点，且与双曲线有相同的渐近线.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知、是双曲线上的两点，且线段的中点为，求直线的方程.
解：（1）由双曲线与双曲线有相同的渐近线，设双曲线的方程为，
而点在双曲线上，因此，方程为，
所以双曲线的标准方程为.
（2）显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，
由消去得，
由线段的中点为M1,1，得，解得，
此时方程为，，因此，
所以直线的方程为，即.
18. 已知表示圆的方程.
（1）求实数的取值范围；
（2）当圆的面积最大时，求过点的圆的切线方程；
（3）为圆上任意一点，已知点，在（2）的条件下，求的最小值.
解：（1）圆的方程，
可化为，
∵该方程表示圆，∴，解得，
∴实数m的取值范围为．
（2）圆的半径，
∴当时，圆C的半径最大，即圆C的面积取得最大值，
此时圆的方程为，圆心，半径，
当切线斜率不存在时，其方程为，符合题意；
当切线斜率存在时，设其方程为y=kx-1，即，
∵圆心到切线的距离等于半径，
∴，解得，
∴切线方程，即，
综上，切线的方程为或.
（3）设Px,y，又，，，
则，
设，则表示圆上的点与点的距离的平方，
∵，则点在圆外，
所以，
则
∴的最小值为．
19. 如图，已知椭圆过点，焦距为，斜率为的直线与椭圆相交于异于点的两点，且直线均不与轴垂直.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的方程；
（3）记直线的斜率为，直线的斜率为，证明:为定值.
解：（1）由题意得，
解得，
故椭圆的方程为.
（2）设直线的方程为，
由得，
由，
得，
则.
，
解得或
当时，直线经过点，不符合题意，舍去；
当时，直线的方程为.
（3）直线，均不与轴垂直，所以，则且，
所以
为定值.