2025-2026学年高二数学上学期第三次月考（北师大版，范围：选择性必修第一册第1~5章）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：北师大版选择性必修第一册第一章~第五章。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知双曲线经过点，则的虚轴长为（ ）
A．B．2C．D．1
1．【答案】A
【解析】由点在双曲线上，得，解得，即双曲线方程为，所以，则的虚轴长为．
故选：A．
2．直线经过两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角大小的2倍，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
2．【答案】A
【解析】因为的倾斜角满足，，所以解得，
所以的倾斜角为，其斜率．
故选：A．
3．已知向量，若，则（ ）
A．4B．3C．2D．1
3．【答案】B
【解析】因为，所以a+b=2,m−1,0，
又因为，所以，
解得：
故选：B.
4．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，且没有出现并列的名次.甲和乙去询问成绩，回答者对甲说：“很遗憾，你没有得到冠军.”对乙说：“你虽然不是最差的，但你的名次没有甲的好.”从这两个回答分析，5人的名次排列情况的种数为（ ）
A．12B．18C．27D．36
4.【答案】B
【解析】由题意可知共有乙得第4名和乙得第3名两种情况：
当乙得第4名，有种可能；
当乙得第3名，有种可能，
故共有种，故B正确.
故选：B.
5．已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，焦距为2，过点且斜率不为0的直线与交于两点，若为的上顶点，且，则的方程为（ ）
A．B．
C．D．
5.【答案】A
【解析】由题知，，，设，由，
所以，即，得，．
由在椭圆上，得，得，
因为，所以，
故E：．
故选：A.
6．已知直线分别与轴交于点，若直线上存在一点，使最小，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
6.【答案】D
【解析】令得，令得，所以，
如图，点在直线的同侧，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
所以，若最小，即最小，
当三点共线时最小，即最小，
此时，，直线的方程为，
由得，即.
故选：D.

7．点P是正方体的表面及其围成的空间内一点，已知正方体的棱长为2，若，与平面所成的角为30°，则点P的轨迹的形状是（ ）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
7.【答案】C
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则，，所以，，
故，即，所以点在面（四点均为所在边的中点），
过点作于点，易知PQ⊥面ABCD，
即，所以，即，
化简得：，即点P的轨迹的形状是双曲线，
故选：C.
8．已知椭圆：的离心率为，左顶点是A，左、右焦点分别是，，是在第一象限上的一点，直线与的另一个交点为．若，则直线的斜率为（ ）．
A．B．C．D．
8．【答案】A
【解析】
因为离心率为，故可设，故，
故椭圆方程为：，
而，，故，因，故.
故直线与轴不垂直也不重合，
故可设，，，则，
由可得，
因在椭圆内部，故恒成立，且，
故，因，故，
此时，，
故在第一象限，符合条件，的斜率为，
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线恒过定点
B．若直线在轴上的截距为，则
C．若直线与直线垂直，则
D．若，则直线的倾斜角的取值范围为
9.【答案】AB
【解析】直线，令即，得，
所以直线恒过定点，故A正确；
若直线在轴上的截距为，则直线过点，代入直线方程得，
解得，故B正确；
若直线与直线垂直，则，解得，故C不正确；
设直线的倾斜角为，则，
又，所以由正切函数的单调性可知，故D不正确；
故选：AB.
10．已知，则（ ）
A．B．
C．除以5所得的余数是1D．
10.【答案】ACD
【解析】选项A，因为，
令，得到，所以选项A正确；
选项B，因为二项展开式的通项公式为（，），
由通项公式知，二项展开式中偶数项的系数为负数，
所以，
由，令，得到，
令，得到，
所以，所以选项B错误；
选项C，因为，
所以除以5所得的余数是1，选项C正确；
对于选项D，令，得到，
所以选项D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线的焦点为F，A，B都是上的动点，为坐标原点，线段的中点为，过作的准线的垂线，垂足为，则（ ）
A．当F为△AOB的重心时，AB⊥x轴B．当时，的最大值为5
C．当时，的最小值为5D．当时，直线AB的倾斜角为或
11.【答案】ACD
【解析】
设的焦点为，
当为的重心时，由重心坐标公式得，得，
则A，B两点关于轴对称，所以轴，A正确；
分别过点A，B作准线的垂线，垂足分别为，
当时，，
则，所以的最小值为5，所以B错误，C正确；
当且点在第一象限时，设，则，
过点作，垂足为，
则，
则，则，从而直线AB的倾斜角为；
当且点在第一象限时，同理可得直线AB的倾斜角为，D正确.
故选：ACD.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．若直线：与直线：平行，则与间的距离为 ．
12.【答案】
【解析】，，即，
当时，与重合，不合题意，，
所以两直线方程为与，
与间的距离．
故答案为：.
13．如图，在正四棱锥中，，设平面与直线交于点，则 .

13.【答案】
【解析】因为，
因为，所以，
所以，又，
所以，所以，因为共面，
所以，解得.
故答案为：.
14．动点是两直线与的交点，过作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的最大值为 .
14.【答案】
【解析】圆的几何性质可知，，
四边形的面积为，，
所以
直线，过定点，直线过定点，
且两直线的系数满足，所以，
所以点的轨迹是以为直径的圆，圆心是，半径为，
所以的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）
已知二项式的展开式中各二项式系数之和比各项系数之和小240.
(1)求的值及展开式中二项式系数最大的项；
(2)求展开式中的有理项．
15．（13分）
【解析】（1）令，则展开式中各项系数之和为，各二项式系数和为，
则，解得，
展开式有5项，二项式系数最大的为第3项;
（2）二项式的展开式的通项公式为，
令，且，解得，
则展开式中含x的有理项有3项，分别为625x4,150x,x−2.
16．（15分）
如图，在棱长为6的正方体中，是线段的中点，是线段上靠近的三等分点.
(1)求与所成角的余弦值；
(2)求点到直线的距离．
16．（15分）
【解析】（1）以为原点，为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，则，
因为，则，
记直线所成角为，
故；
（2）因为，则，故，
则点到直线的距离
17．（15分）
已知圆的半径为3，圆心在射线上，直线被圆截得的弦长为.
(1)求圆方程；
(2)过圆心的直线与圆交于M、N两点，且△OMN的面积是6（为坐标原点），求直线的方程.
17．（15分）
【解析】（1）设圆心，则圆的方程为
，
或舍去，
圆的方程为.
（2）由题意得，则点到直线的距离，
①当斜率不存在时，此时直线方程为，
原点到直线的距离为，满足题意.
此时直线方程为
②当斜率存在时，设直线l的方程为，
原点到直线l的距离，解得，
此时直线方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
18．（17分）
如图，设双曲线的左顶点为点，直线与双曲线相交于A、B两点，且A、B两点均异于点.
(1)求点的坐标，及双曲线的离心率；
(2)若线段AB的中点为，求直线的方程；
(3)若以线段AB为直径的圆恒过点，试判断直线是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
18．（17分）
【解析】（1）由题可得：，，
所以双曲线C的左顶点为，双曲线的离心率为：.
（2）由消去整理得，，
则，且，
设，则，
由为的中点，可得，
解得，满足，
所以直线的方程为，即.
（3）由（2）知，．且，
则PA⋅PB=x1+1x2+1+y1y2=x1+1x2+1+kx1+mkx2+m
=(k2+1)x1x2+(km+1)(x1+x2)+(m2+1)
=(k2+1)·m2+2k2−2+(km+1)⋅−2kmk2−2+(m2+1)
=3k2−2km−m2k2−2=(3k+m)(k−m)k2−2，
因以为直径的圆恒过点P，则有，
即，解得或，
当时，直线过，不符合题意；
当时，直线过定点，
所以直线过定点，该定点坐标为.
19．（17分）
（新情景）在平面直角坐标系中，任何一条直线都可以用（其中）表示，给定一个点和一个方向，我们可以确定一条直线，例如：已知点在直线l上，是直线l的一个方向向量，则直线l上任意一点满足，化简得直线l的方程为．而在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都可以表示成（其中，且），类似的，在空间中，给定一个点和一个平面的法向量也可以确定一个平面．
(1)若点，求平面的方程；
(2)求证：是平面的一个法向量；
(3)已知某平行六面体，平面的方程为，平面经过点，平面的方程为，求平面与平面夹角的余弦值．
19．（17分）
【解析】（1），
设是平面的一个法向量，
则令，得，所以．
设点是平面内任意一点，由，得，
所以平面的方程为．
（2）记平面的方程为，
在平面上任取一条直线，直线上任取两点，
则有
因为，
所以．
所以，即垂直于平面上任意一条直线，
所以是平面的一个法向量．
（3），
设为平面的一个法向量，则令，得，
所以．
因为平面的方程为，所以由（2）知平面的一个法向量为，
设直线的一个方向向量为，则
令，得，所以．
因为平面，
所以平面的一个法向量与直线的方向向量垂直，
所以，解得，所以．
所以平面与平面夹角的余弦值为．