2025-2026学年高二数学上学期第三次月考模拟卷01（人教A版选择性必修第一册全部内容：空间向量与立体几何+直线与圆+圆锥曲线）

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：人教A版选择性必修第一册全部内容。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．直线过点，倾斜角等于60°，则在轴上的截距是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据点斜式得出直线方程，令可求在轴上的截距.
【详解】因为直线过点，倾斜角等于
所以直线方程为，即，
令，可得，所以在轴上的截距是，
故选：A
2．已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（ ）
A．点在圆内，直线与圆相离B．点在圆上，直线与圆相切
C．点在圆外，直线与圆相切D．点在圆上，直线与圆相交
【答案】B
【分析】利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系判断即可.
【详解】圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切，
因为，故点在圆上.故选：B.
3．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据焦点在轴上的椭圆标准方程的特征，可得到关于的不等式，即可求得结果.
【详解】根据题意，方程表示焦点在轴上的椭圆.
则必有，解可得：.即m的取值范围是.
故选：B.
4．已知四面体中，点分别为棱的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】连接，根据空间向量线性运算法则计算可得.
【详解】连接，则，
所以.
故选：D
5．已知P为抛物线上的任意一点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为（ ）
A．3B．C．4D．
【答案】C
【分析】过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为，由抛物线定义得到即可求解.
【详解】由题意知抛物线的焦点为，准线的方程为.
如图，过点P作抛物线准线l的垂线段，垂足为Q，过点作，垂足为.
由抛物线的定义得，
所以，当三点共线时取等号，
故的最小值为.
|
故选：C
6．直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆上，则面积的最大值是（ ）
A．B．C．6D．4
【答案】C
【分析】先求得的长，再求得圆心到直线距离，再求得点到直线的距离的范围，故可得面积的取值范围，结合选项可得答案．
【详解】直线分别与轴，轴交于，两点，
，，则，
点在圆上，
圆心为，则圆心到直线距离，
故点到直线的距离的范围为，
则．所以面积的最大值是
故选：C．
7．已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解.
【详解】设，则，
由双曲线定义得：，解得，
所以，则为直角三角形，且，
在中，，
故选：A．
8．在直三棱柱中，，，，，为的重心，则点到平面的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离，求出平面的法向量，再根据点到平面距离公式进行计算.
【详解】直三棱柱中，底面；设,
底面是等腰三角形，，，则边上的高为，因此,
直三棱柱的高，所以顶点；
由，故，因此,
是的重心，重心坐标为三个顶点坐标的平均值，即：,
平面过点，取向量：,
设平面的法向量为，则：，
由得，代入第二个方程得，取，则，故法向量,
平面过原点，因此平面方程为,
对于平面，点的距离为：
，
因此，点到平面的距离为.
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．已知空间向量，，下列说法正确的是（ ）．
A．若，则
B．若，则
C．若在上的投影向量为，则m只有一个实数解
D．若与的夹角为钝角，则
【答案】AB
【分析】利用空间向量的垂直、投影向量以及夹角问题的坐标运算，即可求解．
【详解】对于A，因为，所以，A正确．
对于B，因为，所以，得，B正确．
对于C，因为在上的投影向量为，所以，
即，化简可得，
因为，所以m有两个实数解，C错误．
对于D，因为与的夹角为钝角，且与不共线，
所以，解得，
假设，此时无解，
所以与的夹角为钝角，则，D错误．
故选：AB.
10．已知点，动点满足，记动点的轨迹为曲线，其中所有正确结论的序号是（ ）
A．曲线为一个圆；
B．曲线上存在点，使得到点的距离为6；
C．直线（为常数），无论为何值，直线与曲线恒有两个交点；
D．曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8.
【答案】ACD
【分析】设，根据满足，利用两点间距离公式化简整理，即可判断A是否正确；由A可知，圆上的点到的距离的范围为，进而可判断B是否正确；确定直线过的定点，判断定点与圆的位置，即可判断C是否正确；由椭圆的定义，可知在椭圆上，再联立椭圆与曲线的方程求交点，即可判断D是否正确.
【详解】对于A：设，因为满足，所以，
整理可得：，即，曲线为一个圆，所以A正确；
对于：由A可知，所以点在圆的外部，
因为到圆心的距离，半径为2，
所以圆上的点到的距离的范围为，而，所以B不正确；
对于C：直线（为常数），则，则直线过定点，因，
所以点在圆内，则无论为何值，直线与曲线恒有两个交点，所以C正确；
对于D：假设存在这样的点，使得到点与点的距离之和为8，
则在以点与点为焦点，长轴长为8的椭圆上，即在椭圆上，
联立方程与，解得，所以椭圆与圆有交点，
故曲线上存在点，使得到点与点的距离之和为8；所以D正确.
故选：ACD.
11．某学校数学课外兴趣小组研究发现：椭圆的两条互相垂直的切线交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，称为该椭圆的“蒙日圆”.利用此结论解决下列问题：已知椭圆的离心率为，，为的左、右焦点且，为上一动点，直线.说法中正确的有（ ）
A．椭圆的“蒙日圆”的面积为
B．对直线上任意点，都有
C．椭圆的标准方程为
D．椭圆的“蒙日圆”的两条弦，都与椭圆相切，则面积的最大值为3
【答案】AD
【分析】根据条件，得出，，从而得出椭圆的方程，进而判断出选项C的正误；对于选项A，根据“蒙日圆”的定义，作出椭圆的两条特殊切线，从而找出蒙日圆上的一个点，得出蒙日圆方程的半径，即可判断出选项A的正误；对于选项B，根据直线与椭圆位置关系的判断方法，得出直与椭圆相切，从而得出切点不合条件，即可判断出选项B的正误；对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，设，，得到，再利用重要不等式及面积公式即可得出结果.
【详解】已知椭圆的离心率为，
，为的左、右焦点且，故，
所以，，
故椭圆方程为：，故C错误；
对于选项A，设蒙日圆的半径为，所以蒙日圆方程为，
如图1，过椭圆右顶点和上顶点分别作椭圆的切线，相交于点，
易知点，且点在蒙日圆上，
所以故蒙日圆的面积为，故A正确；

对于选项B，因为直线的方程为，椭圆方程，
由得，
则，
所以直线与椭圆相切，切点到两焦点的距离和为，故B错误；
对于选项D，由蒙日圆的定义可知，，则为蒙日圆的直径，如图2，

连接，设，则，
，
设，，
所以，
又（当且仅当时取等号），
所以，即，
所以，故D正确；
故选：AD
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则 .
【答案】/1.5
【分析】由空间向量基本定理即可求解.
【详解】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得，
即，
所以，解得.
故答案为：
13．过点的直线l与双曲线C：交于A，B两点，若，则直线l的方程为 .
【答案】
【分析】利用点差法求出直线的斜率，得到直线方程；
【详解】设，，
则，，所以，
即，
因为，所以P为线段AB的中点，
所以，，
所以，
因为P为线段AB的中点，所以直线l不能垂直于x轴，
所以，即直线l的斜率为，
所以直线l的方程为，即．
联立可得，该方程有两个不等的实数解，
故直线与双曲线有两个交点，满足条件，
故答案为：.
14．已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】由题意可得，结合椭圆和双曲线的定义得到，的关系式，根据的取值范围，结合对勾函数性质即可得到结果.
【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，它们的公共焦距为，
不妨设焦点在轴上，点在第一象限，
由点在线段的垂直平分线上，则，
由椭圆、双曲线的定义得：，，
则，整理得，
则，故，则，
故，其中，
令，
由对勾函数性质可知，在上单调递增，
故，
即的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）
已知圆过点，，且直线平分圆的周长.
(1)求圆的方程；
(2)过点的直线和圆交于，两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据圆心在线段的中垂线上，且在直线上，可得圆心坐标，进而求圆的半径，可得圆的标准方程.
（2）分直线斜率是否存在讨论，转化为圆心到直线的距离列式求直线的斜率.
【详解】（1）由，为线段的垂直平分线的方程.
由，即圆心.
又
所以圆的标准方程为.
（2）过点的直线的斜率不存在时，直线方程为，
此时圆心到直线的距离为，由圆的弦长公式，可得弦长为，不符合题意；
当直线的斜率存在时，过点的直线的斜率为，则直线的方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
因为直线和圆交于，两点.
若，由圆的弦长公式，可得，
解得或，
所以直线的方程为或.
16．（15分）
已知椭圆过点且左、右焦点分别为，椭圆与椭圆有相同的焦点，直线与椭圆交于A，B两点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）方法一：根据两椭圆有相同焦点，设椭圆的方程，然后将点代入从而求得方程；方法二：先求出椭圆的焦点，然后根据椭圆的定义求出，从而求出椭圆的方程.
（2）联立直线方程和椭圆方程组，根据韦达定理求出的面积.
【详解】（1）方法一：利用共焦点的椭圆系方程（与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为，与椭圆有公共焦点的椭圆系方程为）.
因为椭圆与椭圆共焦点，所以设椭圆，
因为椭圆过点，所以，即，解得或（舍去），
所以椭圆的方程为．
方法二：利用椭圆的定义
设点，因为椭圆的焦点为，椭圆过点，
所以，
所以，而，所以，
所以椭圆的方程为．
（2）直线过椭圆的左焦点；该椭圆的右焦点为．
设，由得，所以，
所以．
所以．

17．（15分）
已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形.
(1)求的方程；
(2)若过点的直线与只有一个公共点，求直线的方程.
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）由等比三角形的高求得即可；
（2）通过和两类情况讨论即可.
【详解】（1）由题意得焦点，准线方程为，
以焦点和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形，
而这个等边三角形的高为，
即焦点到准线的距离，
所以的方程为.
（2）显然直线的斜率存在，设的方程为.

由方程组可得.
（i）当时，解得，
此时方程只有一个实数解，与只有一个公共点；
（ii）当时，，
由，解得或，
此时方程有两个相等的实数解，与只有一个公共点；
综上，或或时，与的交点个数为1；
故的方程为或或.
18．（17分）
如图1，点分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，使得平面平面，（如图2），连接，是四边形对角线的交点.
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
(3)在棱上是否存在点，使得平面与平面的夹角为?若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见详解
(2)
(3)存在，点与点重合.
【分析】（1）利用中位线和平行四边形证明线线平行，然后得到线面平行；
（2）证明三线两两垂直，然后建立空间直角坐标系，利用空间向量求得面的法向量，然后由直线所在向量与法向量的夹角的余弦值的绝对值求得线面角的正弦值；
（3）由（2）知道平面的法向量，设点坐标，由空间向量求得平面的法向量，由两个面的法向量夹角的余弦值的绝对值求等于面面角的余弦值建立方程，解得点坐标，即可知道点的位置.
【详解】（1）取中点，连接
∵四边形为矩形，
∴点为中点，
∴且，
又∵且，
∴且，
∴四边形为平行四边形，即，
∵平面，
∴平面.
（2）∵，且平面平面，平面平面，
∴平面，
又∵平面，∴，
故以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
∴，，，，，
，，，
设为平面的一个法向量，
则，解得，即，
设直线与平面所成角为，
则，
（3）由（2）可知平面的一个法向量为，
设存在，则，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，即，
则，
∴，即
19．（17分）
已知双曲线的左右顶点分别为，实轴，且左焦点到其中一条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过左焦点的直线交双曲线左右两支于两点（点位于第一象限），直线与相交于点.
（i）求证：点在定直线上；
（ii）求证：射线平分.
【答案】(1)
(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，再求即可求解，
（2）联立直线与双曲线的方程得韦达定理，可得，
（i）求直线的方程，由此可得，再求，由此证明结论；
（ii）由（i）求的坐标，求，，，由此证明.
【详解】（1）由题意，设左焦点的坐标为，
双曲线的渐近线方程为：，，
左焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，
又因为，解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题知，
因为直线过，，点在第一象限，故直线的斜率不为，
设直线的方程为，，
则，
方程的判别式，
由已知为方程的两个根，
所以，
（i）证明：因为直线的方程为，直线的方程为
联立可得
，
则，即在直线上；
（ii）证明：由（i）知，（其中）
则
即，故射线平分.