专题3.1 概率初步【十一大题型】-【新教材】2024-2025学年七年级数学下册举一反三系列（北师大版2024）（原卷版+解析版）

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专题3.1 概率初步【十一大题型】【北师大版2024】TOC \o "1-3" \h \u  HYPERLINK \l "_Toc29840" 【题型1 事件的分类】  PAGEREF _Toc29840 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc15259" 【题型2 判断可能性的大小】  PAGEREF _Toc15259 \h 2 HYPERLINK \l "_Toc26859" 【题型3 由可能性的大小求值】  PAGEREF _Toc26859 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc4851" 【题型4 求事件可能性的大小】  PAGEREF _Toc4851 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc24993" 【题型5 几何图形中可能性的大小】  PAGEREF _Toc24993 \h 3 HYPERLINK \l "_Toc10038" 【题型6 根据可能性的大小进行排序】  PAGEREF _Toc10038 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc14791" 【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】  PAGEREF _Toc14791 \h 5 HYPERLINK \l "_Toc12184" 【题型8 用频率估计概率】  PAGEREF _Toc12184 \h 6 HYPERLINK \l "_Toc32587" 【题型9 等可能事件的概率的计算】  PAGEREF _Toc32587 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc4011" 【题型10 几何概率】  PAGEREF _Toc4011 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc26450" 【题型11 游戏的公平性】  PAGEREF _Toc26450 \h 9知识点1：事件的分类在一定条件下，有些事件必然会发生，这样的事件称为必然事件；相反地，有些事件必然不会发生，这样的事件称为不可能事件；在一定条件下，可能发生也可能不会发生的事件称为随机事件。必然事件与不可能事件就是否会发生，就是可以事先确定的，所以它们统称为确定性事件。【题型1 事件的分类】【例1】（23-24七年级·陕西西安·期末）有两个事件，事件A：3人中至少有2人性别相同；事件B：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为3的倍数．下列说法正确的是（    ）A．事件A、B都是随机事件 B．事件A、B都是必然事件C．事件A是随机事件，事件B是必然事件 D．事件A是必然事件，事件B是随机事件【变式1-1】（23-24七年级·江苏宿迁·期末）小明和小丽按如下规则做游戏：桌面上放有17根火柴棒，每次取1根或2根，最后取完者获胜．若由小明先取，且小明一定获胜，则小明第一次取走火柴棒的根数是 ．【变式1-2】（23-24七年级·河南平顶山·期末）下列说法不正确的是（　　）A．“过一点可以作两条直线与已知直线垂直”是不可能事件B．“三角形的一条中线平分三角形的面积”是必然事件C．“以三条长度为连续正整数的线段为边可以构成三角形”是随机事件D．“两边和一角分别相等的两个三角形全等”是必然事件【变式1-3】（2024·宁夏石嘴山·一模）如图，电路图上有4个开关A、B、C、D和1个小灯泡，同时闭合开关A、B或同时闭合开关C、D都可以使小灯泡发光．下列操作中，“小灯泡发光”这个事件是随机事件的是（　　）A．只闭合1个开关 B．只闭合2个开关C．只闭合3个开关 D．闭合4个开关知识点2：可能性的大小必然事件的可能性最大，不可能事件的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小。不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同。【题型2 判断可能性的大小】【例2】（23-24七年级·江苏南京·期中）七年级（1）班有40位同学，他们的学号是1−40，随机抽取一名学生参加座谈会，下列事件：①抽到的学号为奇数；②抽到的学号是个位数；③抽到的学号不小于35．其中，发生可能性最小的事件为 （填序号）．【变式2-1】（23-24七年级·全国·课后作业）在某次花样滑冰比赛中，发生裁判受贿事件，竞赛委员会决定将裁判由原来的9名增加到14人，其中任取7名裁判的评分作为有效分，这样做的目的是 ．【变式2-2】（2024·江西南昌·一模）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机地取出一个球，如果取到白球的概率较大，那么袋中白球的个数可能是（    ）．A．2 B．3 C．4 D．5【变式2-3】（23-24七年级·四川达州·期末）不透明的袋子中装有4个红球、3个黄球和5个蓝球，每个球除颜色不同外其它都相同，从中任意摸出一个球，则摸出 球的可能性最小．【题型3 由可能性的大小求值】【例3】（24-25七年级·福建福州·开学考试）在一个盒子中有除颜色外均相同的10个红球，8个绿球和一些黑球，从里面拿出一个球，拿出绿球的可能性小于13，那么至少有 个黑球．【变式3-1】（23-24七年级·江苏南京·期中）一个不透明的袋子中装有红球、白球共9个，这些球除颜色外都相同．若从中任意摸出一个球，则摸到白球的可能性大，则红球至多有 个．【变式3-2】（23-24七年级·江苏泰州·期中）不透明的袋子中装有红、黄、蓝三种颜色的球共20个，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出的球是红球和不是红球的可能性一样，则黄球和蓝球共有 个.【变式3-3】（23-24七年级·广东梅州·开学考试）盒中装有红球、白球共11个，每个球除颜色外都相同，如果摸出任意一个球，摸到红球的可能性较大，则红球至少有 个．【题型4 求事件可能性的大小】【例4】（23-24七年级·上海崇明·期末）掷一枚骰子，点数是4的因数的可能性大小是 ．【变式4-1】（23-24七年级·上海松江·期末）袋子里有3个红球，4个黄球和2个白球，除颜色外其他均相同．从袋子中任意取出一个球，取到黄球的可能性大小是 ．【变式4-2】（23-24七年级·福建泉州·期末）一个口袋里装有只有颜色不同的红球和蓝球，已知红球30个，蓝球20个．闭上眼睛从口袋里拿出一个球是蓝球的可能性是 ．【变式4-3】（23-24七年级·上海奉贤·期末）投掷一枚正方体骰子，朝上的一面是合数的可能性大小是 ．【题型5 几何图形中可能性的大小】【例5】（23-24七年级·江苏南通·期中）在如图所示（A，B，C三个区域）的图形中随机地撒一把豆子，豆子落在_________区域的可能性最大（填A或B或C）．    【变式5-1】（2024·北京房山·二模）如图是一个可以自由转动的转盘，转盘分成6个大小相同的扇形，颜色分为红、绿、黄三种颜色．指针的位置固定，转动的转盘停止后，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形）．转动一次转盘后，指针指向 颜色的可能性大．【变式5-2】（23-24七年级·江苏常州·期末）如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域 （填“A”、“B”或“C”）的可能性最小．【变式5-3】（23-24七年级·北京顺义·期末）如图所示，有两个质地均匀且可以转动的转盘，转盘一被分成6个全等的扇形区域，转盘二被分成8个全等的扇形区域．在转盘的适当地方涂上灰色，末涂色部分为白色．用力转动转盘，请你通过计算判断，当转盘停止后哪一个转盘指针指向灰色的可能性大．【题型6 根据可能性的大小进行排序】【例6】（23-24七年级·安徽芜湖·期末）不确定事件发生的可能性未必是50％，可能大些，也可能小些，试按发生的可能性由大到小的顺序，把下列事件排列起来.事件一：我的书包里共有12本书，我随便把手往里一伸，恰好摸到数学书(假设书都同样厚).事件二：我花2元钱买了一张彩票，中了大奖，得500万元奖金.事件三：我抛了两次硬币，每次都是正面向上.事件四：这天早晨，我第一个来到教室.【变式6-1】（23-24七年级·江苏南京·阶段练习）从一副扑克牌中任意抽取1张，则下列事件：①这张牌是“2”，②这张牌是“红桃”，③这张牌是“黑桃 3”，按其发生的可能性从小到大的顺序是 （填写序号）【变式6-2】（23-24七年级·全国·单元测试）已知四个事件：①从装有5个红球的袋子中任取一球，取出的球是白球；②抛一枚图钉钉尖着地；③从高处抛出的物体落到地面；④将一枚硬币抛两次，都是正面朝上、请按发生机会由小到大的顺序将事件的序号排列在横线上： ．【变式6-3】（23-24七年级·江苏徐州·期中）如图,转盘中8个扇形的面积都相等,任意转动转盘1次,当转盘停止转动时,估计下列事件发生的可能性的大小,并将这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排成一列是 ．（填序号）（1）指针落在标有3的区域内；（2）指针落在标有9的区域内；（3）指针落在标有数字的区域内；（4）指针落在标有奇数的区域内.【题型7 改变条件使事件发生的可能性相同】【例7】（2024春·四川广元·七年级统考期末）在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球(1)摸到哪种颜色球的可能性大？(2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同．【变式7-1】（23-24七年级·江苏苏州·期中）桌上倒扣着背面图案相同的5张扑克牌，其中3张黑桃、2张红桃．从中随机抽取1张．（1）能够事先确定抽取的扑克牌的花色吗？（2）你认为抽到哪种花色的可能性大？（3）能否通过改变某种花色的扑克牌的数量，使“抽到黑桃”和“抽到红桃”的可能性大小相同？【变式7-2】（23-24七年级·江苏常州·期中）一只不透明的袋子中有2个红球、3个绿球和5个白球，这些球除颜色外都相同，将球搅匀，从中任意摸出1个球．（1）会出现哪些可能的结果？（2）能够事先确定摸到的一定是红球吗？（3）你认为摸到哪种颜色的球的可能性最大？哪种颜色的球的可能性最小？（4）怎样改变袋子中红球、绿球、白球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相同？【变式7-3】（23-24七年级·江苏南京·期中）如图是一个可以自由转动的转盘，它被分成了6个面积相等的扇形区域．（1）转动转盘，当转盘停止转动时，记录下指针所指区域的颜色，则下列说法错误的是______（填写序号）．①转动6次，指针都指向红色区域，说明第7次转动时指针指向红色区域；②转动10次，指针指向红色区域的次数一定大于指向蓝色区域的次数；③转动60次，指针指向黄色区域的次数正好为10．（2）怎样改变各颜色区域的数目，使指针指向每种颜色区域的可能性相同？写出你的方案．知识点3：用频率估计概率在随机事件中，一个随机事件发生与否事先无法预测，表面上瞧似无规律可循，但当我们做大量重复试验时，这个事件发生的频率呈现出稳定性，因此做了大量试验后，可以用一个事件发生的频率作为这个事件的概率的估计值。一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率mn稳定于某一个常数P，那么事件A发生的频率P（A）=P 。 【题型8 用频率估计概率】【例8】（23-24七年级·江西吉安·期末）某小组在“用频率估计概率”的实验中，统计了某种结果出现的频率，绘制了如图所示的折线图，那么符合这一结果的实验最有可能的是（    ）袋子中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中随机地取出一个球是黄球 掷一枚质地均匀的硬币，落地时结果是“正面向上”掷一个质地均匀的正六面体骰子，落地时面朝上的点数是2D．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”【变式8-1】（23-24七年级·陕西西安·期末）学完《概率初步》这一章后，老师让同学结合实例说一说自己的认识，请你判断以下四位同学说法正确的是（　　）A．小智说，做3次掷图钉试验，发现2次钉尖朝上，因此钉尖朝上的概率是23B．小慧说，某彩票的中奖概率是5%，那么如果买100张彩票一定会有5张中奖C．小通说，射击运动员射击一次只有两种结果：中靶与不中靶，所以它们发生的概率都是12D．小达做了20次抛掷均匀硬币的试验，其中有5次正面朝上，15次正面朝下，他认为再做一次，正面朝上的概率是二分之一【变式8-2】（23-24七年级·北京石景山·期末）某林场要考察一种幼树在一定条件下的移植成活率，在移植过程中的统计结果如下表所示：在此条件下，估计该种幼树移植成活的概率为 （精确到0.01）；若该林场欲使成活的幼树达到4.3万棵，则估计需要移植该种幼树 万棵.【变式8-3】（23-24七年级·四川成都·期末）如图是李老师制作的一个可以自由转动的转盘，如表是某同学收集的一组统计数据：蓝色部分的圆心角最有可能是（　　）A．100° B．110° C．120° D．130°知识点4：等可能时间的概率一般地，对于一个随机事件A，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A发生的概率，记作P（A）。一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P（A）=mn。由m与n的含义可知0≤m≤n，因此0≤mn≤1，因此0≤P（A）≤1、当A为必然事件时，P（A）=1；当A为不可能事件时，P（A）=0.【题型9 等可能事件的概率的计算】【例9】（23-24七年级·北京石景山·期末）在“河南美食简介”竞答活动中，第一题组共设置“河南烩面”“胡辣汤”“洛阳浆面条”“开封双麻火烧”四种美食，参赛的甲队员从以上四种美食中随机选取一个进行简介，则恰好选中“胡辣汤”的概率是（）A．12 B．13 C．14 D．23【变式9-1】（23-24七年级·四川宜宾·期末）一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为14，那么口袋中小球的总数为（    ）A．4 B．9 C．12 D．15【变式9-2】（23-24七年级·湖北武汉·期末）某路口的人行造交通信号灯每分钟红灯亮25秒，绿灯亮30秒，黄灯亮5秒，当小明到达该路口时，遇到红灯的概率是 ．【变式9-3】（23-24七年级·四川南充·期末）如图，有4张除图案不同外其余完全相同的卡片，现将这些卡片有图案的一面朝下洗匀，随机抽取1张，抽到的卡片上的图案可以作为一个正方体平面展开图的概率为 ．【题型10 几何概率】【例10】（23-24七年级·山东威海·期末）如图，飞镖游戏板被等分成若干个相同的小正方形，某位同学向游戏板投掷飞镖，假设飞镖落在游戏板上每个点的概率相同，则落在涂色部分的概率为 ．【变式10-1】（24-25七年级·四川资阳·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，△ABC的三个顶点均在格点上．若向正方形网格中投针，则针落在△ABC内部的概率是 ．【变式10-2】（24-25七年级·湖北武汉·期末）如图，同心圆的大小圆半径比为5:3，随机向该同心圆及其内部区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率是 ．【变式10-3】（23-24七年级·山东烟台·期末）如图是由16个相同的小正方形和4个相同的大正方形组成的图形，在这个图形内任取一 点P，则点P落在阴影部分的概率为（   ）A．1750 B．1350 C．716 D．516【题型11 游戏的公平性】【例11】（24-25七年级·新疆吐鲁番·期末）如图所示，准备了三张大小相同的纸片，其中两张纸片上各画一个半径相等的半圆，另一张纸片上画一个正方形．将这三张纸片放在一个盒子里摇匀，随机地抽取两张纸片，若可以拼成一个圆形（取出的两张纸片都画有半圆形）则甲方赢；若可以拼成一个蘑菇形（取出的一张纸片画有半圆、一张画有正方形）则乙方赢．你认为这个游戏对双方是公平的吗？若不是，有利于谁？ ．【变式11-1】（24-25七年级·福建福州·期中）小明和小颖按如下规则做游戏：桌面上放有5支铅笔，每次取1支或2支，最后取完铅笔的人获胜，你认为这个游戏规则 ．(填“公平”或“不公平”)【变式10-2】（24-25七年级·山东烟台·期中）小兰和小青两人做游戏，有一个质量分布均匀的六面体骰子，骰子的六面分别标有1，2，3，4，5，6，如果掷出的骰子的点数是偶数，则小兰赢；如果掷出的骰子的点数是3的倍数，则小青赢，那么游戏规则对 有利．【变式11-3】（24-25七年级·北京顺义·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜．若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可）移植的幼树n/棵5001000200040007000100001200015000成活的幼树m/棵42386817143456602085801030812915成活的频率mn0.8460.8680.8570.8640.8600.8580.8590.861转动转盘的次数1002003004005006007008009001000落在“蓝色”的次数306192118151182207242269302