计算专练05 平面向量的运算 (学生+教师版)--高考一轮数学计算题专练15个专题

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【答案】103．
【解析】∵a→=（2，﹣1，3），b→=（﹣4，2，x），且a→⊥b→，
∴2×（﹣4）+（﹣1）×2+3x＝0，解得x=103．
故答案为：103．
2．已知a→=（1，1），b→=（2，﹣4），则a→在b→上的数量投影是 -55 ．
【答案】-55．
【解析】a→=（1，1），b→=（2，﹣4），
则a→在b→上的数量投影是a→⋅b→|b→|=1×2-1×422+(-4)2=-225=-55．
故答案为：-55．
3．已知向量a→=（2，1），a→•（a→+2b→）＝7，则b→在a→上的投影向量的坐标为 (25，15) ．
【答案】(25，15)．
【解析】由a→=（2，1），可得|a→|=5，
因为a→⋅(a→+2b→)=7，
所以5+2a→⋅b→=7，解得a→⋅b→=1，
所以b→在a→上的投影向量的坐标为a→⋅b→|a→|2a→=(25，15)．
故答案为：(25，15)．
4．已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，则|a→-2b→|＝ 34 ．
【答案】34．
【解析】由|a→|＝2，|b→|＝3，|a→+b→|＝4，
可得a→2+2a→⋅b→+b→2=13+2a→⋅b→=16，解得a→⋅b→=32，
则|a→-2b→|=a→2-4a→⋅b→+4b→2=4-6+36=34．
故答案为：34．
5．在△ABC中，AD→=34DC→，P是直线BD上一点，若AP→=mAB→+35AC→，则实数m的值为 -25 ．
【答案】-25．
【解析】在△ABC中，AD→=34DC→，P是直线BD上一点，且AP→=mAB→+35AC→，
故可设BP→=tBD→，
所以AP→=AB→+BP→=AB→+tBD→=AB→+t(AD→-AB→)=(1-t)AB→+tAD→，
又AD→=34DC→，所以AD→=37AC→，
所以AP→=(1-t)AB→+3t7AC→，所以1-t=m，3t7=35，
所以t=75，m=-25．
故答案为：-25．
6．已知点A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），则AB→在AC→上的投影向量的模为 233 ．
【答案】233．
【解析】因为A（2，﹣1，1），B（3，﹣2，1），C（0，1，﹣1），
所以AB→=(3，-2，1)-(2，-1，1)=(1，-1，0)，AC→=(0，1，-1)-(2，-1，1)=(-2，2，-2)，
所以AB→⋅AC→=1×(-2)+(-1)×2+0×(-2)=-4，|AC→|=(-2)2+22+(-2)2=23，
所以AB→在AC→上的投影向量的模为|AB→⋅AC→||AC→|=233．
故答案为：233．
7．已知向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），若2a→+b→与b→垂直，则|a→|= 5 ．
【答案】5．
【解析】向量a→=（2，m），b→=（﹣1，m），
则2a→+b→=(3，3m)，
又2a→+b→与b→垂直，
所以(2a→+b→)⋅b→=(3，3m)⋅(-1，m)=-3+3m2=0，可得m2＝1．
所以|a→|=4+m2=5．
故答案为：5．
8．已知向量a→，b→满足|a→|＝2，|a→+2b→|＝|a→-b→|，则|a→+b→|＝ 2 ．
【答案】2．
【解析】由|a→+2b→|＝|a→-b→|，可得（a→+2b→）2＝（a→-b→）2，
即|a→|2+4a→•b→+4|b→|2＝|a→|2﹣2a→•b→+|b→|2，整理得2a→•b→+|b→|2＝0．
所以（a→+b→）2＝|a→|2+2a→•b→+|b→|2＝22+0＝4，可得|a→+b→|=(a→+b→)2=2．
故答案为：2．
9．设θ为非零向量a→与b→的夹角，定义：|a→×b→|=|a→|⋅|b→|sinθ．若|a→|=2，|b→|=5，a→⋅b→=-8，则|a→×b→|= 6 ．
【答案】见试题解答内容
【解析】由已知，可得csθ=a→⋅b→|a→||b→|=-82×5=-45，
而0≤θ≤π，因此sinθ=1-cs2θ=35，
所以|a→×b→|=2×5×35=6．
故答案为：6．
10．在△ABC中，点M，N满足AM→=3MC→，BN→=NC→．若MN→=xAB→+yAC→，则x＝ 12 ；y＝ -14 ．
【答案】12 -14
【解析】△ABC中，点M，N满足AM→=3MC→，BN→=NC→．若MN→=xAB→+yAC→，
如图：
MN→=MC→+CN→=14AC→+12CB→=14AC→+12(AB→-AC→)=12AB→-14AC→，
故x=12，y=-14．
故答案为：12；-14．
二．解答题（共20小题）
11．计算：
（1）(-3)×4a→；
（2）3(a→+b→)-2(a→-b→)-a→；
（3）(2a→+3b→-c→)-(3a→-2b→+c→)；
（4）AB→-AD→-DC→；
（5）NQ→+QP→+MN→-MP→．
【答案】（1）-12a→；
（2）5b→；
（3）-a→+5b→-2c→；
（4）CB→；
（5）0→．
【解析】（1）(-3)×4a→=-12a→；
（2）3(a→+b→)-2(a→-b→)-a→=3a→+3b→-2a→+2b→-a→=5b→；
（3）(2a→+3b→-c→)-(3a→-2b→+c→)=2a→+3b→-c→-3a→+2b→-c→
=-a→+5b→-2c→；
（4）AB→-AD→-DC→=DB→-DC→=CB→；
（5）NQ→+QP→+MN→-MP→=NP→+(MN→-MP→)=NP→+PN→=0→．
12．已知|a→|=1，|b→|=2，a→与b→的夹角是60°，计算：
（1）计算a→⋅b→，|a→+b→|；
（2）求a→+b→和a→的夹角的余弦值．
【答案】（1）a→⋅b→=1，|a→+b→|=7；
（2）277．
【解析】（1）由题可得a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cs60°=1×2×12=1，
|a→+b→|2=a→2+2a→⋅b→+b→2=1+2×1+4=7，所以|a→+b→|=7；
（2）∵(a→+b→)⋅a→=a→2+a→⋅b→=1+1=2，
设a→+b→和a→的夹角为θ，
所以csθ=(a→+b→)⋅a→|a→+b→|⋅|a→|=27×1=277．
13．已知|a→|=4，|b→|=3，a→与b→的夹角是120°，计算：
（1）(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)；
（2）|a→+b→|．
【答案】（1）61；（2）13．
【解析】（1）∵|a→|=4，|b→|=3，a→与b→的夹角是120°，
∴a→⋅b→=3×4×(-12)=-6，
∴(2a→-3b→)⋅(2a→+b→)=4a→2-3b→2-4a→⋅b→=64﹣27+24＝61；
（2）|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=16+9-12=13．
14．已知向量a→与b→的夹角为120°，且|a→|=2，|b→|=4．
（1）计算：|4a→-2b→|；
（2）若(2a→+b→)⊥(ka→-b→)，求k的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）∵向量a→与b→的夹角为120°，且|a→|=2，|b→|=4．
∴|4a→-2b→|=(4a→-2b→)2=16a→2+4b→2-16a→⋅b→
=16×4+4×16-16×2×4cs120°
＝83．
（2）∵(2a→+b→)⊥(ka→-b→)，
∴(2a→+b→)⋅(ka→-b→)
＝2ka→2+（k﹣2）a→⋅b→-b→2
＝2k×4+（k﹣2）×2×4cs120°﹣16＝0，
解得k＝2．
15．已知向量a→与b→的夹角为120°，且|a→|＝2，|b→|＝4．
（1）计算：|4a→-2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→-b→）．
【答案】（1）83；
（2）﹣7．
【解析】（1）∵|a→|=2，|b→|=4，且向量夹角为120°，
∴a→⋅b→=2×4×(-12)=-4，
∴|4a→-2b→|=16a→2+4b→2-16a→⋅b→=83；
（2）∵(a→+2b→)⊥(ka→-b→)，
∴(a→+2b→)⋅(ka→-b→)=0，
∴ka→2+(2k-1)a→⋅b→-2b→2=0，
化简得k＝﹣7．
16．已知向量α→和β→的夹角φ=2π3，|α→|＝3，|β→|＝4，试计算：
（1）|α→+β→|2；
（2）（3α→-2β→）•（α→+2β→）．
【答案】（1）13；
（2）﹣61．
【解析】（1）|α→+β→|2＝（α→+β→）2=α→2+2α→⋅β→+β→2=9+2×3×4×(-12)+16＝13；
（2）（3α→-2β→）•（α→+2β→）＝3α→2+4α→⋅β→-4β→2=3×32+4×3×4×cs2π3-4×42＝﹣61．
17．设|a→|＝3，|b→|＝2，|c→|＝5，向量a→与b→的夹角为π6，向量b→与c→的夹角为π3，计算：
（1）|（a→•b→）•c→|；
（2）|a→•（b→•c→）|
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）a→•b→=|a→|•|b→|•csπ6=3×2×32=33，
则|（a→•b→）•c→|＝33|c→|＝33×5＝153；
（2）b→•c→=|b→|•|c→|•csπ3=2×5×12=5，
则|a→•（b→•c→）|＝5|a→|＝5×3＝15．
18．已知|a→|＝4，|b→|＝6，a→与b→的夹角是150°，计算：
（1）（a→+2b→）•（2a→-b→）；
（2）|4a→-2b→|
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）(a→+2b→)⋅(2a→-b→)=2a→2+3a→⋅b→-2b→2=32-363-72=-40-363；
（2）|4a→-2b→|=(4a→-2b→)2=16a→2-16a→⋅b→+4b→2=16(16+123+9)=425+123．
19．计算：
（1）已知a→=（﹣2，3），b→=（2，5），c→=（0，﹣3），求a→+b→-c→；
（2）已知a→=（5，7），b→=（﹣2，﹣1），求2a→-5b→．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）根据题意，a→=（﹣2，3），b→=（2，5），c→=（0，﹣3），
则a→+b→-c→=（0，11）；
（2）根据题意，a→=（5，7），b→=（﹣2，﹣1），
2a→=（10，14），5b→=（﹣10，﹣5），
2a→-5b→=（20，19）
20．已知a→=(2，-1)，b→=(3，1)．
（1）求向量a→-2b→的坐标；
（2）求向量a→，b→的夹角θ．
【答案】（1）（﹣4，﹣3）；
（2）π4．
【解析】（1）因为a→=(2，-1)，b→=(3，1)，所以a→-2b→=(2，-1)-2(3，1)=(-4，-3)．
（2）a→=(2，-1)，b→=(3，1)．
则csθ=a→⋅b→|a|→⋅|b|→=2×3+(-1)×122+(-1)2⋅32+12=550=22．
因为θ∈[0，π]，所以向量a→，b→的夹角θ=π4．
21．如图，在△ABC中，AM→=12AB→，CN→=23CB→，设AB→=a→，AC→=b→．
（1）用a→，b→表示AN→，MN→；
（2）若P为△ABC内部一点，且BP→=-49a→+19b→．求证：M，P，N三点共线．
【答案】（1）AN→=13b→+23a→，MN→=13b→+16a→；
（2）证明见解答．
【解析】（1）由题可知，
AN→=AC→+CN→=AC→+23(AB→-AC→)=13AC→+23AB→=13b→+23a→，
MN→=AN→-AM→=(13b→+23a→)-12a→=13b→+16a→；
（2）证明：由BP→=-49a→+19b→．
可得MP→=MB→+BP→=12a→+(-49a→+19b→)=19b→+118a→，
因为MN→=3MP→，且有公共点M，
所以M，P，N三点共线．
22．已知向量a→=(2cs2x，3)，b→=(1，sin2x)，函数f(x)=a→⋅b→，g(x)=b→2．
（1）求函数g（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且f（C）＝3，c＝1，ab=23，且a＞b，且a，b的值．
【答案】见试题解答内容
【解析】（1）b→=(1，sin2x)，
∴g(x)=b→2=1+sin22x=1+1-cs4x2=-12cs4x+32，
∴函数g（x）的最小正周期T=2π4=π2；
（2）∵a→=(2cs2x，3)，b→=(1，sin2x)，
∴f(x)=a→⋅b→=(2cs2x，3)⋅(1，sin2x)
=2cs2x+3sin2x=cs2x+1+3sin2x=2sin(2x+π6)+1，
则f(C)=2sin(2C+π6)+1=3，
∴sin(2C+π6)=1．
∵C是三角形内角，∴2C+π6∈(π6，13π6)，则2C+π6=π2，即C=π6，
∴csC=b2+a2-c22ab=32．
∵c＝1，ab=23，∴a2+b2＝7，
联立a2+b2=7ab=23，解得：a2＝3或4，
∴a=3或2．
当a=3时，b＝2；当a＝2，b=3，
∵a＞b，∴a＝2，b=3．
23．如图，在等边三角形ABC中，点D满足AB→=3AD→，点E满足BC→=3BE→，点F是AC边上的中点，设a→=CA→，b→=CB→．
（1）用a→，b→表示EF→；
（2）若△ABC的边长为2，试求CD→与EF→夹角的余弦值．
【答案】（1）EF→=12a→-23b→；（2）-91182．
【解析】（1）因为点E满足BC→=3BE→，点F是AC边上的中点，
所以EF→=CF→-CE→=12CA→-23CB→=12a→-23b→；
（2）因为点D满足AB→=3AD→，
所以CD→=CA→+AD→=CA→+13AB→=CA→+13(CB→-CA→)=23CA→+13CB→=23a→+13b→，
因为等边△ABC的边长为2，所以a→⋅b→=2×2×12=2，
所以|EF→|=(12a→-23b→)2=14a→2-23a→⋅b→+49b→2=1-43+169=133，
|CD→|=(23a→+13b→)2=49a→2+49a→⋅b→+19b→2=169+89+49=273，
EF→⋅CD→=(12a→-23b→)⋅(23a→+13b→)=13a→2+16a→⋅b→-49a→⋅b→-29b→2=43+13-89-89=-19，
所以cs＜CD→，EF→＞=EF→⋅CD→|EF→||CD→|=-19133×273=-91182．
24．已知向量a→=(1，2)，b→=(-3，2)，c→=a→-2b→．
（1）求|c→|；
（2）若向量d→=(5，2)，试用a→，b→表示d→；
（3）若c→∥ka→+2b→，求实数k的值．
【答案】（1）53；
（2）d→=2a→-b→；
（3）k＝﹣1．
【解析】（1）根据a→=（1，2），b→=（﹣3，2），可得c→=a→-2b→=（1，2）﹣2（﹣3，2）＝（7，﹣2），
所以|c→|=72+(-2)2=53．
（2）根据题意，a→与b→不共线，因此设d→=xa→+yb→（x，y∈R），
所以（5，2）＝x（1，2）+y（﹣3，2），可得x-3y=52x+2y=2，
解得x＝2，y＝﹣1，可得d→=2a→-b→．
（3）由题意得ka→+2b→=k（1，2）+2（﹣3，2）＝（k﹣6，2k+4）．
因为c→=（7，﹣2），且c→∥ka→+2b→，所以﹣2（k﹣6）＝7（2k+4），解得k＝﹣1．
25．已知向量a→=(2，-2)，|b→|=4，且(2a→+b→)⋅b→=32．
（Ⅰ）求向量a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→-b→|的值；
（Ⅲ）若向量ka→+b→与a→-kb→互相垂直，求k的值．
【答案】（Ⅰ）π4；（Ⅱ）4；（Ⅲ）-1±52．
【解析】（Ⅰ）∵向量a→=(2，-2)，|b→|=4，
∴|a→|=4+4=22，
又(2a→+b→)⋅b→=2a→⋅b→+b→2=32，
∴2a→⋅b→+16=32，∴a→⋅b→=8，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=822×4=22，又＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=π4；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知(2a→-b→)2=4a→2-4a→⋅b→+b→2=4×8﹣4×8+16＝16，
∴|2a→-b→|=4；
（Ⅲ）∵向量ka→+b→与a→-kb→互相垂直，
∴(ka→+b→)⋅(a→-kb→)=0，
∴ka→2+(1-k2)a→⋅b→-kb→2=0，
∴8k+8（1﹣k2）﹣16k＝0，
k2+k﹣1＝0，
∴k=-1±52．
26．如图，在菱形ABCD中，BE→=12BC→，CF→=2FD→．
（1）若EF→=xAB→+yAD→，求3x+4y的值；
（2）若|AB→|=3，∠BAD=60°，求AE→⋅EF→．
【答案】（1）0；
（2）﹣3．
【解析】（1）因为在菱形ABCD中，BE→=12BC→，CF→=2FD→，
故EF→=EC→+CF→=12AD→-23AB→，
又EF→=xAB→+yAD→，
则x=-23，y=12，
所以3x+4y＝0．
（2）由题意可得：AE→=AB→+12AD→，
所以AE→⋅EF→=(AB→+12AD→)⋅(12AD→-23AB→)=-23AB→2+14AD→2+16AB→⋅AD→，
因为四边形ABCD为菱形，且|AB→|=3，∠BAD=60°，
故|AD→|=3，〈AB→，AD→〉=60°，
所以AB→⋅AD→=3×3×cs60°=92，
故AE→⋅EF→=-23×32+14×32+912=-3．
27．已知a→=(1，0)，b→=(2，1)．
（1）若AB→=2a→-b→，BC→=a→+mb→，且A、B、C三点共线，求m的值．
（2）当实数k为何值时，ka→-b→与a→+2b→垂直？
【答案】（1）-12；
（2）125．
【解答】解；（1）由题意可得，AB→=(0，-1)，BC→=(1+2m，m)，
且A、B、C三点共线，则可得AB→=λBC→，
即0=λ(1+2m)-1=λm，解得m=-12．
（2）由题意可得，ka→-b→=(k-2，-1)，a→+2b→=(5，2)，
因为ka→-b→与a→+2b→垂直，则可得5（k﹣2）+2×（﹣1）＝0，解得k=125．
28．已知向量a→=(1，2)，b→=(1，t)(t∈R)．
（1）若(a→+b→)⊥(5a→-8b→)，求t的值；
（2）若t＝1，a→与a→+mb→的夹角为锐角，求实数m的取值范围．
【答案】（1）t=-74或t＝1；
（2）(-53，0)∪(0，+∞)．
【解析】（1）因为a→=(1，2)，b→=(1，t)，
所以a→+b→=(1，2)+(1，t)=(2，2+t)，5a→-8b→=5(1，2)-8(1，t)=(-3，10-8t)
(a→+b→)⊥(5a→-8b→)，
则(a→+b→)⋅(5a→-8b→)=0，
故2×（﹣3）+（2+t）×（10﹣8t）＝0，即4t2+3t﹣7＝0，
解得t=-74或t＝1．
（2）当t＝1时b→=(1，1)，a→+mb→=(1，2)+m(1，1)=(1+m，2+m)，
a→与a→+mb→的夹角为锐角，
则a→⋅(a→+mb→)＞0且a→与a→+mb→不共线同向，
故1×(1+m)+2×(2+m)＞01×(2+m)-2×(1+m)≠0，解得m＞-53m≠0，
故m的取值范围是(-53，0)∪(0，+∞)．
29．已知向量a→=(1，3)，b→=(2，5)，求：
（1）a→⋅b→；
（2）|3a→-b→|；
（3）(a→+b→)⋅(2a→-b→)．
【答案】（1）17；
（2）17；
（3）8．
【解析】（1）因为a→=(1，3)，b→=(2，5)，
所以a→⋅b→=1×2+3×5=17；
（2）因为3a→-b→=(1，4)，所以|3a→-b→|=12+42=17；
（3）因为a→+b→=(3，8)，2a→-b→=(0，1)，所以(a→+b→)⋅(2a→-b→)=3×0+8×1=8．
30．已知向量a→，b→的夹角为θ=3π4，|a→|=3，|b→|=22．
（1）求|a→-2b→|；
（2）a→-2b→在a→+2b→的投影数量；
（3）若ka→+2b→与a→-2b→夹角为钝角，求实数k的取值范围．
【答案】（1）65；
（2）-231717；
（3）(-∞，-1)∪(-1，4421)．
【解析】（1）因为θ=3π4，|a→|=3，|b→|=22．
所以a→⋅b→=|a→||b→|cs3π4=3×22×(-22)=-6，
所以|a→-2b→|=(a→-2b→)⋅(a→-2b→)=a→2-4a→⋅b→+4b→2=9-4×(-6)+4×8=65．
（2）因为(a→-2b→)⋅(a→+2b→)=a→2-4b→2=9-32=-23，
|a→+2b→|=(a→+2b→)⋅(a→+2b→)=a→2+4a→⋅b→+4b→2=9+4×(-6)+4×8=17，
所以a→-2b→在a→+2b→上的投影数量为(a→-2b→)⋅(a→+2b→)|a→+2b→|=-231717；
（3）由于(ka→+2b→)⋅(a→-2b→)=k|a→|2-4|b→|2+(2-2k)a→⋅b→=9k-32-6(2-2k)=21k-44，
若ka→+2b→与a→-2b→反向，可得ka→+2b→=λ(a→-2b→)，λ＜0，
所以k=λ2=-2λ，
解得k＝﹣1，
因为ka→+2b→与a→-2b→的夹角为钝角，
所以(ka→+2b→)⋅(a→-2b→)＜0，且ka→+2b→与a→-2b→不反向，
所以21k﹣44＜0且k≠﹣1，
即k＜4421且k≠﹣1．
所以k的取值范围是(-∞，-1)∪(-1，4421)．