人教版（2024）八年级上册（2024）16.3.2 完全平方公式第1课时随堂练习题

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1．（2025·四川成都）下列计算正确的是（ ）
A．x+2y=3xyB．x32=x5
C．x−y2=x2−y2D．2xy⋅3x=6x2y
【答案】D
【详解】A．x与2y不是同类项，不能合并，所以x+2y≠3xy，该选项错误，不符合题意；
B．根据幂的乘方法则(x3)2=x3×2=x6≠x5，该选项错误，不符合题意；
C．根据完全平方公式(x−y)2=x2−2xy+y2≠x2−y2，该选项错误，不符合题意；
D．根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂相乘，2xy⋅3x=(2×3)×(x⋅x)×y=6x2y，该选项正确，符合题意；
故选：D．
2．（2023·四川攀枝花）我们可以利用图形中的面积关系来解释很多代数恒等式．给出以下4组图形及相应的代数恒等式：

①a+b2=a2+2ab+b2 ②a−b2=a2−2ab+b2

③(a+b)(a−b)=a2−b2 ④(a−b)2=(a+b)2−4ab
其中，图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【详解】解：图形的面积关系能正确解释相应的代数恒等式的有①②③④，
故选：D．
3．计算：(a−1)2= ．
【答案】a2−2a+1
【详解】解：(a−1)2=a2−2a+1．
故答案为：a2−2a+1．
4．利用完全平方公式计算：
(1)2y+32； (2)−13a+2b2； (3)20022； (4)2x+322x−32．
【详解】（1）解：2y+32
=2y2+2×2y×3+32
=4y2+12y+9；
（2）解：−13a+2b2
=−13a2+2×−13a×2b+2b2
=19a2−43ab+4b2；
（3）解：原式=2000+22
=20002+2×2000×2+22
=4000000+8000+4
=4008004；
（4）解：2x+322x−32
=2x+32x−32
=4x2−92
=16x4−72x2+81．
5．（2021·贵州贵阳）小红在计算a1+a−a−12时，解答过程如下：
a(1+a)−(a−1)2
=a+a2−(a2−1) 第一步
=a+a2−a2−1第二步
=a−1第三步
小红的解答从第_________步开始出错，请写出正确的解答过程．
【详解】解：小红的解答从第一步开始出错，正确的解答过程如下：
a(1+a)−(a−1)2
=a+a2−(a2−2a+1)
=a+a2−a2+2a−1
=3a−1．
故答案是：第一步
6．（2024·甘肃白银）先化简，再求值：2a+b2−2a+b2a−b÷2b，其中a=2，b=−1．
【详解】解：2a+b2−2a+b2a−b÷2b
=4a2+4ab+b2−4a2−b2÷2b
=4a2+4ab+b2−4a2+b2÷2b
=4ab+2b2÷2b
=2a+b，
当a=2，b=−1时，原式=2×2+−1=3．
7．（2022·北京）已知x2+2x−2=0，求代数式x(x+2)+(x+1)2的值．
【详解】解：∵x2+2x−2=0，
∴x2+2x=2，
∴x(x+2)+(x+1)2
=x2+2x+x2+2x+1
=2x2+4x+1
=2x2+2x+1
=2×2+1
=5
8．淇淇准备完成题目：化简x■x+6−3x+12，发现系数■印刷不清楚，
(1)淇淇猜测系数■=2，请你根据猜测计算最后的结果；
(2)老师发现后，说淇淇猜得不对，标准答案是个常数，据此求■表示的数．
【详解】（1）解：x2x+6−3x+12
=2x2+6x−9x2−6x−1
=−7x2−1；
（2）解：x■x+6−3x+12
=■x2+6x−9x2−6x−1
=■−9x2−1
∵结果为常数，
∴■−9=0，
即■=9．
9．（2023·江苏宿迁）若实数m满足m−20232+2024−m2=2025，则m−20232024−m= ．
【答案】−1012
【详解】解：∵ m−20232+2024−m2=2025
∴2m−20232024−m=[(m−2023)+(2024−m)]2−[(m−2023)2+(2024−m)2]
=1−2025
=−2024
∴m−20232024−m=−1012
故答案为：−1012．
10．定义abcd=ad−bc，如1324=1×4−3×2=−2．
(1)若x+1x−1x−1x+1=4，求x的值；
(2)若x+mx−1nxx+1的值与x无关，求(2m)n值．
【详解】（1）解：根据题意得，
x+1x−1x−1x+1=x+12−x−12=4
整理得x2+2x+1−x2+2x−1=4，
4x=4
x=1；
（2）解：x+mx−1nxx+1=x+mx+1−nxx−1
=x2+m+1x+m−nx2+nx
=1−nx2+m+n+1x+m
∵值与x无关，
∴1−n=0m+n+1=0
解得n=1m=−2，
∴(2m)n=2×−21=−4．
11．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．数学 活动课上，老师展示了如图1的长方形纸片，它是一个长为2a， 宽为2b的长方形，沿图 中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形，请解答下列问题：
(1)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：方法1： ；方法2： ；
(2)观察图2，请你写出a+b2、a−b2、ab之间的等量关系是 ；
(3)结合以上信息，灵活运用公式，解决如下问题：
①已知a+b=5，ab=5，求 a−b2+a+2b+2的值；
②已知2025−a2+a−20242=7，求2025−aa−2024的值．
【详解】（1）解：方法一：阴影部分是边长为a−b的正方形，因此面积为(a−b)2，
方法二：阴影部分的面积可以看作从边长为a+b的正方形面积减去4个长a，宽为b的长方形面积，即(a+b)2−4ab；
故答案为：(a−b)2，(a+b)2−4ab；
（2）由（1）得，(a−b)2=(a+b)2−4ab，
故答案为：(a−b)2=(a+b)2−4ab；
（3）①∵a+b=5，ab=5，
∴(a−b)2+(a+2)(b+2)
=(a+b)2−4ab+ab+2(a+b)+4
=(a+b)2−3ab+2(a+b)+4
=52−3×5+2×5+4
=24；
②设2025−a=x，a−2024=y，
∴x+y=2025−a+a−2024=1，
∵2025−a2+a−20242=7，
∴x2+y2=7，
∴(x+y)2−2xy=7，
∴12−2xy=7，
∴xy=−3，
∴2025−aa−2024=−3．
12．（2022·江苏南通）已知实数m，n满足m2+n2=2+mn，则(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为（ ）
A．24B．443C．163D．−4
【答案】B
【详解】解：(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)
=4m2−12mn+9n2+m2−4n2
=5m2−12mn+5n2
=52+mn−12mn
=10−7mn；
∵m+n2=m2+n2+2mn≥0，m2+n2=2+mn，
∴2+mn+2mn≥0，
∴3mn≥−2，
∴mn≥−23，
∴10−7mn≤443，
∴(2m−3n)2+(m+2n)(m−2n)的最大值为443，
故选：B．