黑龙江省大庆铁人中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试卷

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注意事项：
答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场号/座位号填写在答题卡上，如有条形码，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
选择题答案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案的标号；非选择题答案使用 0.5 毫米黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚。
请按照题号在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
保持卷面及答题卡清洁，不折叠，不破损，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合 M  y | y  2x ， N  x | y 
x 1,
M ∪ N 
A．1, 
B．0, 
C． 0, ∞
D． 1, 
下列是存在量词命题且是真命题的是
A． x  R, x2  0
B． x, y  R, x2  y2  0
C． x  N , x2  ND． x  Z , x2  0
a
已知a、b、c  R 且 a>b，则下列不等式一定成立的是
1  1
ab
c2 1 
b c2 1
a c  b c
“ 0  a  16 ”是“函数 f  x 
D． a2  b2
ax2  ax  4
的定义域为 R”的
A．充要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
函数 y  f  x 的大致图像如图，则其解析式可能为
A． f  x  x 1
x 1
C． f  x 
B． f  x 
x 1
D． f  x  x 13
 2 
 2 
 1 
若偶函数 y  f  x 在, 0 上单调递增，且a  f  25  ，

b  f  35  ，


c  f  23  ，则下列不

等式成立的是
b  a  c
a  b  c
1 x2  2 x 1, x  0
c  a  b
c  b  a

已知函数 f  x  33
x2  2x 1, x  0
b  a 的最大值为
，若 f  x 在区间(a , b ) 上既有最大值，又有最小值，则
A．1B．2C．3D．4
已知 f  x 是定义在 R 上的奇函数，当 x , x 0,  且 x  x 时，都有 x2 f  x1   x1 f  x2   0 成
1 212
立， f 2026  2026 ，则不等式 f  x  x  0 的解集为
x1  x2
∞, 2026 2026, ∞B． 2026, 0 ∪ 2026, 
2026, 2026
 
1 , 1 
 2026 2026 

二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。
a
已知 a  1  3 ，则
a  1  7
a
a2  1
a2
 47
5
1 1
a 2  a 2 
a  a17
3
a 2 
 3
a 2  18
已知a  R，b  R且a  0, b  0 ， 4a  b  1 ，则
ab 的最大值为 1
16
1  1 的最小值为 8
ab
ab a  b
1
的最大值为
9
ab  1  4 的最小值为 2
ab
 y 
已知函数 f  x 的定义域是0, ∞ 且 f  x  f  x   f  y  ，当 x  1 时， f  x  0 ，且

 2 
f  1   1，下列说法正确的是
 
A． f 2  2
B．函数 f  x 在0, ∞ 上单调递增
C． f 2  f  1   f 3  f  1   f 2024  f 
1  f 2025  f 
1   0
  
 2  3  2024  2025 
D．满足不等式 f  x  f  x 1  2 的 x 的取值范围为1, 4 
 3 

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
已知幂函数 f  x  m2  m 1 xm 在0, ∞ 上单调递减，则 g  x  axm 1a  0, a  1 的图象
过定点
 1 x
 
已知 f  x   2  1, x  0 ，若 f (a)  f ( 2)  5 ，则 a 的取值范围为

x2 , x  0
2
设函数 f ( x)  3 1，正实数a, b 满足 f (a)  f (b  1)  2 ，则 b a2 的最小值为

22x  1
a 1
b  2
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（本小题满分 13 分）
0.5 220
求值：(1)  2 7   27  3  ( 8)3   2  ；
 9  64  3 
 
(lg 5)2  lg 2 lg 50  lg2 9  lg3 4  21lg2 3 ；
2m  5n
已知10m  2 ，10n  5 ，求 11 .
16.（本小题满分 15 分）
已知函数 f  x 
x  a  x  R .
x2  2
当a  0 ，求函数 y  f  x 的值域；
当 x  0 时，是否存在实数 a，使 y  f  x 的图象都在函数 g  x  2 的图象的下方？若存在，
x
求实数 a 的取值范围；若不存在，说明理由.
17.（本小题满分 15 分）
已知函数 f  x 是定义在R 上的奇函数，当 x  0 时， f  x  x2  4x .
求 f  x 的解析式；
当 x t, t 1t  0 时，求 f  x 的最大值 g t  ，并求函数 g t  的值域.
18.（本小题满分 17 分）
已知 f  x  k  2x 1 为奇函数，且定义域为1，1 ， g  x  4x  t  2x1 1t .
2x 1
求k 的值，判断 f  x 的单调性，并用定义法证明；
若 f 2  a  f 4  a2   0 ，求实数 a 的取值范围；
若存在两个不相等的实数m ， n m, n 1,1 ，使 f m  f n  0 ，且 g m  g n  0 .
求实数t 的取值范围.
19. （本小题满分 17 分）
f  x
固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线.1691 年，莱布尼兹等得出了“悬链线”的一般方程，最特别的悬链线是双曲余弦函数 g  x .类似的有双曲正弦函数 f  x ，我们也可以
 
定义双曲正切函数 F  x .已知函数 f  x 和 g  x 具有如下性质：①定义域都为R ，且 f  x
g x
是增函数；② f  x 是奇函数， g  x 是偶函数；③ f  x  g  x  ex .（常数 e 是自然对数的底数， e  2.71828）
求双曲正弦函数 f  x 和双曲余弦函数 g  x 的解析式；
求证： g(2x)  [g(x)]2 [ f (x)]2 ；
函数 F  x 在区间m, n(m  n) 上的值域是 k , k  k  R  ，求实数k 的取值范围.
 e2m e2n 
铁人中学 2025 级高一上学期期中数学 试题答案考试时间： 2025 年 11 月
铁人中学 2025 级高一年级上学期期中数学试题答案
16．（15 分）（1）当a  0 ，函数 f  x  x 的定义域为 R.
x2  2
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
答案
C
D
B
B
C
A
C
B
ABD
AC
BCD
一、二选择题：
若 x  0 ，则 y=0； 若 x  0 ，函数 f  x 
x
x2  2
11
2
x  2
x
x  2
x
 4 ，所以0  f  x ；
2
2
4
三．填空题
x112
12.（-1，2）13.
(2，3)
1
14.
4
 f  x 2
若 x  0 ，则x  0 ，函数x  2

2 x 2 

 x 
 x 
x   2 

4 ，所以
四．解答题
2
2
2
2 
0.5
 220
f  x  
2 ，即
4
2  f  x  0 ；
4
15.(13 分)（1）  2 7 
  27  3  ( 8) 3   2 
 9  64  3 
综上所述：  f  x ，即函数 y  f  x 的值域为
,
 
1 22
44
44 
 25 2
 3 3  3
 3 3
2x  0
x  a  2
9
 

   
4
  
  22  1

（ ）假设存在实数 a 符合题意，即对任意实数
，都有 x2  2
恒成立，
x
3  2 3 2
即a  4  x 对任意实数 x  0 ，
x
 3 
 5   3 
4  x x
   22 3 1
4
 
3  
因为在 x  0 时， 4
x
 x  2
 4 ，所以a  4 ，
 5  16  2 1  22 .
399
23
（2） (lg 5)2  lg 2 lg 50  4 lg 3lg 2  21lg2 3
 (lg 5)2  lg  10 lg 10  5  4  lg 3  lg 2  6
即存在实数a , 4 满足题意.
17.（15 分）（1）因为函数 f  x 是定义在R 上的奇函数，则 f x   f  x ，
5

lg 2 lg 3
 (lg 5)2  1 lg 51 lg 5  4  6
 lg 52 1 lg 52  4  6  11.
（3）由10m  2 ，10n  5 ，则m  lg 2 ， n  lg 5 ，则 1  lg 10 ， 1  lg 10 ，
又当 x  0 时， f  x  x2  4x ，设 x  0 时，则x  0 ，所以 f x  x2  4x ，得到 f  x  x2  4x ，所以当 x  0 时， f  x  x2  4x ，
x2  4x, x  0
11
所以2m  5n  2lg2 10  5lg5 10  10 10  20 .
m2n5
则 f  x 的解析式为 f  x  .
x2  4x, x  0
（2）因为 x t, t 1t  0 ，又由（1）知 x  0 时， f  x  x2  4x ，
铁人中学 2025 级高一上学期期中数学 试题答案考试时间： 2025 年 11 月
又 f  x  x2  4x 的对称轴为 x  2 ，
当t 1  2 ，即0  t  1 时， f  x  x2  4x 在区间t, t 1 上单调递增，
因为 f(x)为奇函数，所以不等式可化为 f (2  a) 
3

2  a  a2  4
f (a2  4)
此时 g t   f t 1  t 12  4 t 1  t 2  2t  3
由（1）得1  2  a  1

1  a2  4  1
，解得
 a  2 ；
当t  2  t 1，即1  t  2 时， g t   f 2  22  4  2  4 ，
当t  2 时， f  x  x2  4x 在区间t, t 1 上单调递减，此时 g t   f t   t 2  4t ，
t 2  2t  3, 0  t  1
（3）Q f m  f n  0 ，
 f m   f n  f n ，
 m  n ，即n  m ，

综上， g t   4,1  t  2，

t 2  4t, t  2
g  x  4x  t  2x1 1 t  2x 2
 2t  2x 1 t ，
又因为0  t  1 时， g t   t 2  2t  3 ，对称轴为t  1，此时3  g t   4 ，当1  t  2 时， g t   4 ，
当t  2 时， g t   t 2  4t ，对称轴为t  2 ，此时 g t   4 ，
Q g m  g n  0 ， 2m 2  2t  2m 1 t  2n 2  2t  2n 1 t  0 ，令2m  2n  u ， u  2m  1 m 1, 0 ∪ 0，1 ， u  2, 5  ，

2m2 
2m  2n 2  2  2m  2n  2t 2m  2n   2  2t  0 ，
u2  2tu  2t  0 ，则存在一个实数u  2, 5  ，使h t   u2  2tu  2t  0 成立，
综上所述，函数 g t  的值域∞, 4.
2 
18.（17 分）（1）因为 f  x 为奇函数，定义域为1,1 ，所以 f 0  0 ，得k  1 ，经验证满足题设，

2
 
只需h 2  0 或h  5   0 ，解得4  2t  0 或 25  3t  0 ，
 4
综上： t   25 .
12
f  x 在定义域1,1 上为增函数，证明如下：
1212xx
，
任取x ， x 1,1 ，且 x  x ， f  x  2x 1  12
2 12 1
xx
19．（17 分）（1）Q函数 f  x 为R 上的奇函数， g  x  为R 上的偶函数，且 f  x  g  x  ex ，
 f x  g x   f  x  g  x  ex
 f  x  g  x  ex ,
222 2 2  2 1 即
f  x   f  x   0 ，
 f  x  g  x  ex ,

212x1 12x2 12x1 12x2 1

ex  e x
ex  e x
所以， f  x 在定义域上为增函数；
解得 f  x 
, g  x .
22
铁人中学 2025 级高一上学期期中数学 试题答案考试时间： 2025 年 11 月
1
Q函数 y ex, y ex 均为R 上的增函数，
函数 f  x 为R 上的增函数，合乎题意.
 e e
xx 2
（2）Qg  x]2  f  x]2  
 ex ex 2

22
 e2x e2x  2  e2x e2x  2  e2x e2x  g 2x.
442
 g 2x   g  x]2  f  x]2 .
Qmn,e2m e2n，
 1
e2m
1 .
e2n
又 k ,
k  k  R  ，则 k
 k , k  0 .
 e2m
e2n 
e2 m
f  x
e2 n
ex  e x
e2x 12
 
由（1）知，函数 F  x 
g x
ex  e x  e2 x
1  1 e2 x
1 为,  上的单调增函数.
Q函数 F  x 在区间m, n(m  n) 上的值域是 k , k  ，
ke2m 1k
 e2m
e2n 

F m  e2m ,

e2m 
即
1  e2m ,
F n  k ,
e2n 1  k
e2n
 e2n 1e2n .
关于
x 的方程
ex 1  k
有两个互异实根.
ex 1ex
令t ex 0,方程t 2  1 k t  k  0 有两个互异正根.
k 1  0,
2

(1 k )2  4k  0, 解得

k  0,
3  2
 k  0 .