2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.下列交通标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
2.等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则这个三角形的周长为（ ）
A. 17或13B. 13或21C. 17D. 13
3.函数y=的图象大致是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC=126°，则∠CDB=（ ）
​
A. 54°B. 64°C. 27°D. 37°
5.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有（ ）
A. 12个B. 14个C. 18个D. 28个
6.若点A（-1，y1）、B（2，y2）、C（-2，y3）在反比例函数的图象上，则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A. y1＞y2＞y3B. y3＜y1＜y2C. y1＜y2＜y3D. y1＜y3＜y2
7.根据下列表格的对应值：
由此可判断方程x2+12x-15=0必有一个根满足（ ）
A. 1＜x＜1.1B. 1.1＜x＜1.2C. 1.2＜x＜1.3D. x＞1.3
8.如图，将​​​​​​​ABC绕点A顺时针旋转角α，得到ADE，若点E恰好在CB的延长线上，则∠BED等于（ ）
​​​​​​​
A. B. αC. αD. 180°-α
9.如图，二次函数y=2x2与y=x2的图象与过（0，10）且平行于x轴的直线分别交于A，B两点和C，D两点，则AB：CD的值为（ ）
A. 1：2
B. 1：3
C. 1：4
D. 1：5
10.将关于x的一元二次方程x2-px+q=0变形为x2=px-q,就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如x3=x•x2=x（px-q）=…，这种方法称为“降次法”，这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知：x2-x-1=0，且x＞0，则x4-2x3-x的值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.（-2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2= ．
13.如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是______．
14.如图，△ABC绕点A逆时针旋转一定角度后得到△ADE，点D在BC上，∠EDC=40°，则∠B的度数为 .
15.如图，用圆心角为120°，半径为6cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽，则这个纸帽的高是______cm．
16.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则a的值为 .
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
解方程：
（1）2x2-3x-1=0；
（2）x2+4x=x+4.
18.(本小题8分)
已知关于x的方程x2+mx+m-2=0．
（1）若此方程的一个根为1，求m的值；
（2）求证：不论m取何实数，此方程都有两个不相等的实数根．
19.(本小题8分)
如图，已知反比例函数y=的图象与一次函数y=x+b的图象交于点A（1，4），点B（-4，n）．
（1）求n和b的值；
（2）求△OAB的面积；
（3）直接写出一次函数值大于反比例函数值的自变量x的取值范围．
20.(本小题8分)
如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D按逆时针方向旋转90°得到△DCM．
（1）求证：EF=MF；
（2）当AE=1时，求EF的长．
21.(本小题8分)
如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C．
（1）求证：直线PB与⊙O相切；
（2）PO的延长线与⊙O交于点E．若⊙O的半径为3，PC=4．求弦CE的长．
22.(本小题10分)
某班甲、乙两名同学被推荐到学校艺术节上表演节目，计划用葫芦丝合奏一首乐曲．要合奏的乐曲是用游戏的方式在《月光下的凤尾竹》与《彩云之南》中确定一首．
游戏规则如下，在一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2，3，4的四个小球（除标号外，其余都相同），甲从口袋中任意摸出1个小球，小球上的数字记为a．在另一个不透明的口袋中装有分别标有数字1，2的两张卡片（除标号外，其余都相同），乙从口袋里任意摸出1张卡片，卡片上的数字记为b．然后计算这两个数的和，即a+b．若a+b为奇数，则演奏《月光下的凤尾竹》；否则，演奏《彩云之南》．
（1）用列表法或画树状图法中的一种方法，求（a，b）所有可能出现的结果总数；
（2）你认为这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由；如果不公平，哪一首乐曲更可能被选中？
23.(本小题10分)
如图，正方形ABCD内接于⊙O，在上取一点E，连接AE，DE，过点A作AG⊥AE，交⊙O于点G，交DE于点F，连接CG，DG.
（1）求证：△AFD≌△CGD；
（2）若AB=2，∠BAE=30°，求阴影部分的面积.
24.(本小题12分)
已知二次函数y=x2+2mx+m-1.
（1）若该二次函数图象经过（0，0），求该二次函数的解析式和顶点坐标；
（2）求证：不论m取何值，该二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）若m＜0时，点A（n-4，p），B（2，q），C（n,p）都在这个二次函数图象上且m-1＞q＞p,求n的取值范围.
25.(本小题14分)
在平面直角坐标系xOy中，等边△ABC的顶点A（0，m）在y轴正半轴上，顶点B，顶点C分别在第三象限和第四象限，且OA=OB=OC.
（1）如图1，当m=3时.
①点B的坐标为______，点C的坐标为______；
②点P在x轴上，点Q是平面内任意一点，若以A，B，P，Q为顶点的四边形是矩形，求P点坐标；
（2）当3≤m≤6时，点M是等边△ABC边上的动点，若点M绕O点顺时针旋转60°得到点M′，直接写出所有点M′组成图形的面积.
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】A
10.【答案】B
11.【答案】（2，-3）
12.【答案】-1
13.【答案】3
14.【答案】70°
15.【答案】4
16.【答案】
17.【答案】（1） （2）x1=1，x2=-4
18.【答案】解：（1）根据题意，将x=1代入方程x2+mx+m-2=0，
得1+m+m-2=0，
解得m=；
（2）∵=m2-4×1×（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4＞0，
∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
19.【答案】解：（1）把A点（1，4）分别代入反比例函数y=，一次函数y=x+b，
得k=1×4，1+b=4，
解得k=4，b=3，
∵点B（-4，n）也在反比例函数y=的图象上，
∴n==-1；
（2）如图，设直线y=x+3与y轴的交点为C，
∵当x=0时，y=3，
∴C（0，3），
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×3×1+×3×4=7.5；
（3）∵B（-4，-1），A（1，4），
∴根据图象可知：当x＞1或-4＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
20.【答案】解：（1）证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM，
∴DE=DM，∠EDM=90°，
∵∠EDF=45°，∴∠FDM=45°，
∴∠EDF=∠FDM．
又∵DF=DF，DE=DM，
∴△DEF≌△DMF，
∴EF=MF；
（2）设EF=MF=x，
∵AE=CM=1，AB=BC=3，
∴EB=AB-AE=3-1=2，BM=BC+CM=3+1=4，
∴BF=BM-MF=4-x．
在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，
即22+（4-x）2=x2，
解得：x=，
则EF的长为．
21.【答案】（1）证明：连接OC，作OD⊥PB于D点．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴OC⊥PA．
∵点O在∠APB的平分线上，OC⊥PA，OD⊥PB，
∴OD=OC．
∴直线PB与⊙O相切；
（2）解：设PO交⊙O于F，连接CF．
∵OC=3，PC=4，
​∴PO=5，PE=8．
∵⊙O与PA相切于点C，
∴∠PCF=∠E．
又∵∠CPF=∠EPC，
∴△PCF∽△PEC，
∴CF：CE=PC：PE=4：8=1：2．
∵EF是直径，
∴∠ECF=90°．
设CF=x，则EC=2x．
则x2+（2x）2=62，
解得x=．
则EC=2x=．
22.【答案】解：（1）按游戏规则计算两个数的和，列表如下：
从表中可以看出共有8种等可能的情况.
（2）我认为这个游戏公平，理由：
从表中可以看出共有8种等可能的情况，其中和为奇数与和为偶数的可能性各有4种，
所以P(和为奇数）=P(和为偶数），
∴这个游戏公平．
23.【答案】（1）证明：∵AG⊥AE，
∴∠EAG=90°，
∴∠EDG=∠EAG=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADC=90°，
∵∠ADF+∠FDC=∠CDG+∠FDC=90°，
∠ADF=∠CDG，
在△ADF和△CDG中，
，
∴△ADF≌△CDG（ASA），
（2）解：过点D作DH⊥AG于点H，连接OA，OD，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，∠AGD=∠AOD=×90°=45°，
∴∠DAG+∠BAG=∠BAE+∠BAG=90°，
∴∠DAG=∠BAE=30°，
∵DH⊥AG，
∴∠DHG=90°，
∴△HDG和△DFG都是等腰直角三角形，
在Rt△ADH中，∠DAG=30°，
∴DH=AD=×2=1，
AH==，
∴AG=AH+HG=+1，
DF=DG=DH=，
∴S△ADF=S△ADG-S△DFG=×（+1）×1-××=，
∵OA=OD，∠AOD=90°，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴OA=AD=，
∴S弓形AD=S扇形AOD-S△AOD=-=-1，
∴S阴影=S△ADF+S弓形AD=+-1=．
24.【答案】（1）解：∵二次函数y=x2+2mx+m-1图象经过（0，0），
∴m-1=0，
∴m=1，
∴抛物线为y=x2+2x,
∵y=x2+2x=（x+1）2-1，
∴顶点坐标为（-1，-1）；
（2）证明：∵Δ=4m2-4（m-1）=4m2-4m+4=（2m-1）2+3＞0，
∴二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（3）解：对称轴直线x=-m=
∴n=-m+2即m=-n+2．
∵m＜0，
∴n＞-2，
∵抛物线过B（2，q），
∴4+4m+m-1=q,即q=5m+3，
∵m-1＞q,
∴m-1＞5m+3，
解得m＜-1，即n＞3
∵抛物线开口向上，
∴当抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小．
∵q＞p,
∴n-（-m）＜|-m-2|，
当n+m＜m+2，解得n＜2，（舍去）
当n+m＜-m-2，解得n＞4，
∴n＞4．
25.【答案】（-）;（） （2）m2 x
1
1.1
1.2
1.3
x2+12x-15
-2
-0.59
0.84
2.29