2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型

这是一份2025-2026学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷-自定义类型，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.一元二次方程的根是（ ）
A. B. C. ，D. ，
2.下列图形：①正三角形；②正四边形；③正五边形；④正六边形．其中，存在互相垂直的对称轴的图形有（）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
3.某果园2022年水果产量为年水果产量为，设该果园水果产量的年平均增长率为，则根据题意可列方程为（ ）
A. B. C. D.
4.若二次函数的图象与轴有两个公共点，则的值可以是（ ）
A. B. C. 0D. 2
5.已知的半径为1，点在上．若平面内一点满足，则点与的位置关系是（ ）
A. 点在内B. 点在上C. 点在外D. 无法确定
6.若二次函数的图象经过点，则下列选项中，对应的的值最大的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.二次函数y=x2+1的图象的顶点坐标是 ．
8.命题“直角三角形的外心是其斜边的中点．”是 命题．（填“真”或“假”）
9.关于的一元二次方程的两个根分别，则 ．
10.点A，B，C在上的位置如图，已知，则 °．
11.如图，点在内，已知的半径为，，则经过点的最短弦长为 ．
12.已知二次函数中，函数值与自变量的部分对应值如下表：
若点都在该函数的图象上，则 ．（填“>”，“
13.【答案】3
14.【答案】
15.【答案】36
16.【答案】
17.【答案】【小题1】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解得．

18.【答案】【小题1】
解：∵，
∴
，
即不论为何值，方程总有两个实数根；
【小题2】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵方程有一个根大于3，且，
∴，
∴．

19.【答案】证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵弦平分，
∴，
∴，
∴，
∴．

20.【答案】解：设金色纸边的宽为x厘米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
即金色纸边的宽为5cm．

21.【答案】【小题1】
解：二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的顶点式为．
又函数图象过点，将代入顶点式可得：
解得：
该二次函数的表达式为；
【小题2】
解：（2）令，则
解得，
点的坐标为，点的坐标为，
已知点，根据两点间距离公式可得：
，
，
，
是等腰三角形．

22.【答案】解：如图即为所求，

23.【答案】【小题1】
解：
，
∴当时，有最小值为，
∵二次函数有最小值，
∴，
解得或；
【小题2】
解：∵二次函数图象与线段有2个公共点，，，
∴，
解得．

24.【答案】【小题1】
解：证明：连接，
∵，
∴，
∴．
【小题2】
解：如图，为的垂直平分线；
连接交于P点，连接并延长，与交于点，与交于点，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴点和点都在的垂直平分线上，
∴为的垂直平分线．
【小题3】
解：连接、，设的半径为r，，则，
∵，，
∴，
∴，，
在中，，即，
在中，，即，
联立方程①②，解得：（负值已舍去）．

25.【答案】【小题1】
解：∵四边形为正方形，，且点是的中点，
∴，
∴，
∴，
∴的长度为，
设该纸帽的底面半径为，
∴，
解得；
【小题2】
解：如图所示，点与点重合，作点关于直线的对称点，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于点，
此时，，，
∴丝带的最短长度为的长度，
∵，
∴为等边三角形，
∴根据三线合一得，，
∴，，
，
∴，
∴，
∴由勾股定理得，，
∴丝带的最短长度为．

26.【答案】【小题1】
解：∵抛物线拱桥，
∴两点关于抛物线的对称轴对称，两点也关于抛物线的对称轴对称，
∴如图，可以所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，
此时，，，，设抛物线的函数表达式为：，
代入，得到，解得，
∴抛物线的函数表达式为：，
【小题2】
解：当时，，此时水面将经过拱顶，
∵上涨用了12小时，
∴每小时上涨，
，，
∴当日时刻22时，水面将经过拱顶；
【小题3】
解：当时，，变形得到，
∴水面宽度，即，
∴，，
①故不是的二次函数，
②图象如下图：
时，；时，，
∴图象是从到的递减曲线，形状类似开口向左的抛物线的一部分．

27.【答案】【小题1】
如图，在圆上取一点P，则，
∵圆内角大于圆周角，圆外角小于圆周角，
∴当点P在以为直径的圆上或圆内时，线段存在点A和点B，使得，
∴点D是线段的勾股点，点F不是线段的勾股点．
∵，
∴点E在圆上，
∴点E是线段的勾股点．
综上可知，线段的勾股点是，
故答案为：；
（2）由①知，圆上和圆内的点都是圆的勾股点．
当点P在圆外时，如图，在圆上取点A和点B，使，在直线上取点P，使是等腰直角三角形，以为直角边构造等腰直角三角形，连接，
则，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
∵，
∴的最大值是，
∴所有点组成的区域的面积是以点O为圆心，以为半径的圆，围成的区域，
∴所有点组成的区域的面积；
【小题2】
分别以矩形的4条边为直径作圆，由（1）可知，4个圆覆盖的区域内的点都是矩形的勾股点．
0
1
2
3
4
10
5
2
1
2
5
时刻
水面宽
水位变化
6:00
/
18:00
上涨（相比6:00的水位）