北京市大兴区八年级上学期期末数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市大兴区八年级上学期期末数学试题（解析版）-A4，共22页。
1．本试卷共7页，共三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟．
2．在答题纸上准确填写学校名称、准考证号，并将条形码贴在指定区域．
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．
4．在答题纸上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．
一、选择题（共16分，每题2分）
第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．
1. 一张纸的厚度大约为0.00011米，数字0.00011用科学记数法表示正确的是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
【详解】解：将数据0.00011用科学记数法表示为；
故选C．
2. 汉字是中华文明的标志，从公元前16世纪甲骨文出现，经历了金文、篆书、隶书、草书、楷书、行书的书体演变过程，每种书体都有着各自鲜明的艺术特征．下面篆书属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，解题的关键是正确掌握轴对称的定义．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称，进行判断即可．
【详解】解：A，B，D选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：C．
3. 当，是正整数时，可以写成（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的定义可得（，是正整数），即可求解．
【详解】解：当，是正整数时，可以写成，
故选：A．
4. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角板相关角计算．熟练掌握掌握三角板的特征，角的和差，直角三角形性质，是解题关键．
先根据直角三角板的性质得出的度数，再由直角三角形两锐角互余，即可得出结论．（方法不唯一）
【详解】如图，设两个三角板分别为，
∵，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查幂的运算，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．
根据同底数幂乘法、积的乘方、幂的乘方、同底数幂的除法计算后利用排除法求解即可．
【详解】解．A、应为，故本选项错误；
B、应为，故本选项错误；
C、应为，故本选项错误；
D、，正确．
故选：D．
6. 下列各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了判断是否是因式分解，根据“把一个多项式化成几个整式积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式”，逐项判断，选择答案即可．
【详解】解：A、，右边不是乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
B、，是因式分解，符合题意；
C、，从左到右不是变成乘积的形式，不是因式分解，不符合题意；
D、，右边不是整式积的形式，不符合题意；
故选：B．
7. 如图，，，，图中等腰三角形的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定，根据三角形内角和分别计算出、的度数，再计算出的度数，再根据等角对等边可判断出等腰三角形的个数，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法．
【详解】解：∵，
∴，
∴，是等腰三角形，
∵根据三角形内角和定理知，
∴，是等腰三角形，
∵，
∴，是等腰三角形，
故图中共3个等腰三角形，
故选：D．
8. 如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，轴，若，则点C的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查坐标与图形，三线合一，过点作轴，交于点，求出点坐标，根据三线合一，得到为的中点，进而求出点坐标即可．
【详解】解：过点作轴，交于点，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵为等腰三角形，
∴，
∴，即：；
故选C．
二、填空题（共16分，每题2分）
9. 若分式有意义，则实数x的取值范围是________．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分式有意义，分母不能为0．由于分式的分母不能为0，因此，解得x．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，即．
故答案为．
10. 约分：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的约分：约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分．根据分式的性质，将分子分母中的相同因式约掉即可得出结论．
【详解】解：，
故答案为：．
11. 计算：________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了多项式除以单项式，掌握多项式除以单项式的运算法则是解题的关键，根据多项式除以单项式的运算法则直接求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
12. 分解因式：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了平方差公式分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
直接利用平方差公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，它是_______边形．
【答案】六##
【解析】
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和，设多边形边数为，根据题意列出方程，解方程，即可求解．
【详解】解：设多边形边数为，
根据多边形的内角和公式可得，
解得．
故答案为：六．
14. 计算：________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式的加法，根据分式的加法运算法则求解即可．
【详解】解：
故答案为：．
15. 如图，在中，点D在边上，连接AD，且，直线EF是边AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则周长的最小值为_______________．
【答案】18
【解析】
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AM=MC，则△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，即可得到当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，由此即可得到答案．
【详解】解：如图所示，连接AM，
∵EF是AC的垂直平分线，M在EF上运动，
∴AM=MC，
∴△CDM的周长=CD+CM+DM=CD+AM+DM=5+AM+DM，
∴要想△CDM的周长最小，即AM+DM的值最小，
∴当A、M、D三点共线时，AM+DM的值最小，此时AM+DM=AD=13，
∴此时△CDM的周长=13+5=18，
∴△CDM的周长最小值为18，
故答案为：18．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握线段垂直平分线的性质．
16. 如图，是的平分线，点D，P分别在射线和上，且，点Q是射线上的一点，若，则的度数为________．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握以上知识点，分类讨论．
分类讨论：过点作于于，则由角平分线的性质定理得；分两种情况考虑：点在点的右侧时，证明，则有；点在点左侧时，同理可求，进而求得结果，最后综合两种情况即可．
【详解】解：如图，过点作于于，
∵平分，
，
当点在点的右侧时，
在和中，
，
，
，
当点在点左侧时，同理可求，
，
综上所述：的度数为或，
故答案为：或．
三、解答题（共68分，第17-22题，每题5分，第23-26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．
17. 计算：．
【答案】11
【解析】
【分析】本题考查实数的混合运算，熟练掌握负整数指数幂、算术平方根、零指数幂的运算法则是解题的关键．先计算负整数指数幂、算术平方根、零指数幂，再进行加减计算即可．
【详解】解：
．
18. 已知，求代数式的值．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键．先用乘法公式计算，然后根据整式的加减运算化简，然后将代入求解即可．
【详解】解：
∵，
∴原式
．
19. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【解析】
【分析】利用分式运算化简求值，先计算括号中的减法，再计算除法，将其化简为最简形式再代入求值即可，本题考查的是分式的化简求值，熟知分式的混合运算的运算法则是解答该题的关键．
【详解】解：
当时，
原式．
20. 解方程：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解答此题的关键．
先去分母，方程两边同乘以，将分式方程化为整式方程，求解即可；
【详解】解：
检验：当时，，
所以原分式方程的解为．
21. 如图，点E，F在上，，，，与交于O．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据推出，然后利用“角角边”证明，根据全等三角形对应边相等即可证明．
【详解】证明：∵，
∴，
即，
在和中，
∵，
∴（AAS），
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据推出，从而得到三角形全等的条件是解题的关键．
22 列方程解决实际问题：
2024年12月2日，中央广播电视总台《2025年春节联欢晚会》发布官方吉祥物形象“巳（sì）升升”，祝福全球华人在新的一年如意康宁，好事连连．2025蛇年春晚吉祥物的设计是从中华传统文化中寻找的灵感，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，其形象既憨态可掬，又富有古意．
某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，则A，B两款吉祥物的单价分别是多少元？
【答案】每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元
【解析】
【分析】本题考查了分式方程实际应用问题，根据题意找到相等关系是解题的关键．
设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出等量关系求解．
【详解】解：设一个B款吉祥物的售价为x元，则一个A款吉祥物的售价为元．
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程解，且符合实际意义，
∴．
答：每个B款吉祥物的售价为60元，每个A款吉祥物的售价为80元．
23. 如图，在中，，．
（1）尺规作图：请你作出线段的垂直平分线，分别交边，于点D，点E（保留作图痕迹）；
（2）连接，则________；
（3）若，则________．
【答案】（1）见详解 （2）30
（3）9
【解析】
【分析】（1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法作图即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到，则，进而推出；
（3）根据，得出，由此可得答案．
【小问1详解】
解：如图所示，即为所求；
【小问2详解】
解：∵在线段的垂直平分线上，
，
，
，
．
故答案为：30．
【小问3详解】
解：，
，
，
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的性质，等边对等角，含30度角的直角三角形的性质等知识点，熟知相等垂直平分线上的点到相等两端的距离相等是解题的关键．
24. 我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数和形之间有着十分密切的联系，可见在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
如：在对乘法公式的探究学习中，我们根据图中图形的面积说明了完全平方公式：．
（1）如图2，已知正方形和正方形，请用两种不同的方式表示正方形的面积．
方式一：________；
方式二：________；
由正方形面积的两种不同表示方式可写出一个等式是________．
（2）连接，，，，用含，的代数式表示四边形的面积是________．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】此题考查了完全平方公式的几何背景，能从整体和部分两个角度求出图形的面积是解题的关键．
（1）图分别看成一个小正方形的面积和正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，进而列出等式即可求得答案；
（2）用四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，即可得解．
【小问1详解】
解：图中正方形的边长为，面积为；
还可以表示为：正方形的面积减去个长为宽为的长方形的面积，即，
∴由正方形的面积的两种不同表示方式可写出一个等式是
故答案为：，，；
【小问2详解】
解：如图，
四边形的面积为正方形的面积减去个底为高为的三角形形的面积，
∴四边形的面积为，
故答案为．
25. 阅读下面的解题过程：
例：已知，求代数式的值．
第一步 因为，所以，即；
第二步 因为，
所以．
该题的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题．
已知，
（1）仿照第一步，求的值；
（2）仿照第二步，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查分式的求值问题，解题的关键是正确理解题目给出的解答思路，注意分式的变形．
（1）将已知条件的两边式计算各自的倒数，约分后可得结论；
（2）由．再把代入求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴．
∴．
∴．
【小问2详解】
解：由（1）得，
∴．
∴．
26. 如图，在中，是边上的中线，，，．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】延长到点H，使，连接．证，得，．再证明，即可得证．
【详解】证明：延长到点H，使，连接．
∵是边上的中线，
∴．
∴在和中
，
∴，
∴，．
∵，
∴
∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
在和中
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质，同角的补角相等，中线定义，熟练掌握全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质是解题的关键．
27. 在中，，，点关于直线的对称点为点，连接，以为边，作等边，且点与点在直线的同侧，作射线，交直线于点，连接．
（1）如图，若，
①当时，则________，________；
②用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明；
（2）如图，若，直接用等式表示线段，与之间的数量关系．
【答案】（1）①，；②，证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）①由点关于直线的对称点为点，得，，由是等边三角形，得，，进而，，从而即可得解；②在上截取，使，连接．先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解；
（2）先证，进而得是等边三角形，，，从而证明，再利用直角三角形的性质即可得解；
【小问1详解】
解：①∵点关于直线的对称点为点，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：，；
②．理由如下：
在上截取，使，连接．
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，°，
∴．
∵，，
∴，°
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴．
【小问2详解】
解：．理由如下：
在的延长线上截取，使，连接．
∵点与点关于直线对称，
∴，，
∴．
∵是等边三角形，
∴，，
∴，°，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴．
在和中，
∴，
∴．
∵，，
∴°，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定及性质，熟练掌握等边三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，轴对称的性质是解题的关键．
28. 在平面直角坐标系中，直线过点且平行于轴，对于点和图形，给出如下定义：若点关于直线对称点落在图形所围成的区域内（包含边界），则称图形是点关于直线的“对称形”．
（1）如图，已知，，，，直线过点1,0，
①在点，，中，线段是点________关于直线l的“对称形”；
②若四边形是点关于直线的“对称形”，求的取值范围．
（2）如图，已知，，，，四边形是点关于直线的“对称形”，直接写出和的取值范围．
【答案】（1））①；②
（2），
【解析】
【分析】本题主要考查了解不等式及不等式组，坐标与图形，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
（1）①根据关于直线的“对称形”的定义求解即可；②由①直线为x=1，利用轴对称得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，从而得不等式组，，求解即可；
（2）由直线过点，得直线为，进而得关于直线的对称点为，又四边形是点关于直线的“对称形”，得在四边形上，进而列不等式求解即可．
【小问1详解】
解：①∵直线过点，
∴直线为x=1，
∵，，
∴线段AB为的一部分，且，
∵直线为x=1，，，
∴，，关于直线的对称点分别为，，
∴在线段AB上，，都不在线段AB上，
∴线段是点关于直线的“对称形”；
故答案为：；
②由①直线为x=1，
∵，
∴关于直线的对称点为，
∵四边形是点关于直线的“对称形”，
∴在四边形上，
∵，，，，
∴，，
∴；
【小问2详解】
解：∵直线过点，
∴直线为，
∵，
∴关于直线的对称点为，
∵四边形是点关于直线的“对称形”，，
∴在四边形上，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴和的取值范围为：，．