北京市清华大学附属中学朝阳学校八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4

这是一份北京市清华大学附属中学朝阳学校八年级上学期期中数学试题（解析版）-A4，共20页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（朝阳学校·望京学校）
一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面1-10题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．
1. 斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不轴对称图形，故本选项不符合题意．
故选：A．
2. 画△ABC的边AC上的高BE，以下画图正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】画ABC的高BE，即过B点作AC所在直线的垂线段，垂足为E．
【详解】画△ABC高BE，即过点B作对边AC所在直线的垂线段BE，
故选D．
【点睛】本题主要考查作图-基本作图，掌握三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，连接顶点与垂足之间的线段是解题的关键．
3. 如图，师傅安装空调在墙上时，一般都会增加一边固定，这种应用方法的几何原理是（ ）
A. 两点确定一点直线B. 两点之间线段最短
C. 三角形具有稳定性D. 垂线段最短
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键．钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
【详解】解：图中空调下方增加了一边AB，
这样就构成了一个三角形，利用三角形的稳定性使按放空调的位置更加固定．
故选：C．
4. 下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A. 3dm，5dm，8dmB. 8cm，8cm，18cm
C. 3dm，3dm，5dmD. 3cm，4cm，8cm
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形两边之和大于第三边；三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
根据三角形的三边关系对各选项进行逐一分析即可．
【详解】A、 ，不能构成三角形，不符合题意；
B、， 不能构成三角形，不符合题意；
C、 ，能构成三角形，符合题意；
D、， 不能构成三角形，不符合题意．
故选：C．
5. 下列轴对称图形中，对称轴最多的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图形．折痕所在的这条直线叫做对称轴．由此即可求解．
【详解】解：等边三角形有三条对称轴，正方形有四条对称轴，正五边形由五条对称轴，正六边形有六条对称轴，
∴对称轴最多的是正六边形，
故选D．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的对称轴，识别轴对称图形是解题的关键．
6. 如图，左边为参加2019年国庆70周年阅兵的武警摩托车礼宾护卫队，如果将每位队员看成一个点，队形可近似看成由右边所示的若干个正方形拼成的图形，其中与△ABC全等的三角形是（）
A. △AEGB. △ADFC. △DFGD. △CEG
【答案】C
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定进行分析即可.
【详解】设小正方形的边长为1，则AB=3,AC=,BC=,AE=,AF=,DF=3,DG= BC=,GF= AC=,CE=
先从三角形的最长边分析，A. △AEG，B. △ADF，D. △CEG都不可能与△ABC全等；只有C. △DFG符合SSS形式.
故选：C
【点睛】考核知识点：全等三角形判定，勾股定理.利用勾股定理求出三角形边长是关键.
7. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下：
（1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁．
（2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E．
（3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．
（4）作直线CF．
则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（）
A. △CDFB. △CDKC. △CDED. △DEF
【答案】A
【解析】
【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可.
【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK
所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形.
故选：A
【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键.
8. 如图，点，在的边上，≌，其中，为对应顶点，，为对应顶点，下列结论不一定成立的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的性质，即可求解．
【详解】解：∵≌，
∴AC=AB，BD=CE，∠ADB=∠AEC，∠BAD=∠CAE，
∴，，，
故结论一定成立的有B、C、D．
故选：A
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等，对应角相等是解题的关键．
9. 如图，在正方形网格中，记，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出角的度数，然后再比较大小就容易了．
根据题意和图得出：，，再根据，从而得出，然后结合图观察出，，最后比较大小即可．
【详解】解：由题意知：，
同理，
又，
，
由图可知，，
，
故选：D．
10. 已知一张三角形纸片（如图甲），其中．将纸片沿过点的直线折叠，使点落到边上的点处，折痕为（如图乙）．再将纸片沿过点的直线折叠，点恰好与点重合，折痕为（如图丙）．原三角形纸片中，的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设，由折叠的性质得到，根据三角形外角的性质和等腰三角形的性质得到，再利用三角形内角和定理求出，即可求出答案．
【详解】解：设，
由折叠得：，，
，
，
，
，
，
．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质以及等腰三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本题共24分，每小题3分）
11. 六边形是中国传统形状，象征六合、六顺之意．比如首饰盒、古建的窗户、古井的口、佛塔等等．化学上一些分子结构、物理学上的螺母，也采用六边形．正六边形，从中心向各个顶点连线是等边三角形，从工程角度，是最稳定和对称的．正六边形外角和为__________．
【答案】360°
【解析】
【分析】根据任何多边形的外角和是360度即可求出答案．
【详解】解：正六边形的外角和是．
故选：．
【点睛】本题正多边形和圆，考查了多边形的外角和定理，关键是掌握任何多边形的外角和是360度，外角和与多边形的边数无关．
12. 若一个多边形的内角和是900º，则这个多边形是_____边形．
【答案】七
【解析】
【分析】根据多边形的内角和公式，列式求解即可．
【详解】设这个多边形是边形，根据题意得，
，
解得．
故答案为七．
【点睛】本题主要考查了多边形的内角和公式，熟记公式是解题的关键．
13. 平面直角坐标系中，点关于y轴的对称点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了关于轴对称点的坐标，掌握点的坐标的变化规律是关键．
14. 已知：如图，∠BAC=∠DAC．请添加一个条件 ，使得△ABC≌△ADC，然后再加以证明．
【答案】AB=AD（或∠B=∠D或∠ACB=∠ACD）（答案不唯一）．
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理添加即可.
【详解】若添加的条件为：AB=AD，则
在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（SAS）．
若添加的条件为：∠B=∠D，则在△ABC与△ADC中，
，
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
若添加的条件为：∠ACB=∠ACD，则
，
∴△ABC≌△ADC（ASA）．
故答案为AB=AD（或∠B=∠D或∠ACB=∠ACD）（答案不唯一）．
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键.
15. 已知等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根据和可分别作等腰三角形的腰，结合三角形的三边关系，分别讨论求解．
【详解】解：当为腰时，三边为，由三角形的三边关系可知，不能构成三角形，
当为腰时，三边为，符合三角形的三边关系，周长为：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系，以及分类讨论的思想．解题的关键是能根据题意，进行分类讨论．
16. 如图，在△ABC中，∠C=90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点D．若CD=1，AB=4，则△ABD的面积是_________．
【答案】2
【解析】
【分析】根据角平分线的性质得到DE=DC=1，根据三角形的面积公式计算即可．
【详解】解：作DE⊥AB于E，
由基本尺规作图可知，AD是△ABC的角平分线，
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴DE=DC=1，
∴△ABD的面积=，
故答案为：2．
【点睛】本题考查的是角平分线的性质、作角平分线，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
17. 如图，在△中，按以下步骤作图：

①分别以，为圆心，以大于的同样长为半径画弧，两弧相交于两点、；
②作直线交于点，连接．
请回答：若，，则的度数为___________．
【答案】##105度
【解析】
【分析】先利用等腰三角形的性质得到，再根据线段垂直平分线的性质得到，所以，然后利用三角形内角和计算的度数．
【详解】解：，
，
由作法得垂直平分，
，
∴，
，
，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．
18. 下表是某市本年度前十强的区县排行榜，变化情况表示该区县相对于上一年度名次变化的情况，“↑”表示上升，“↓”表示下降，“一”则表示名次没有变化．已知每个区县的名次变化都不超过两位，上一年度排名第1的区县是___________，上一年度排在第6，7，8名的区县依次是___________．(写出一种符合条件的排序)
【答案】 ①. C ②. E、H、I或H、E、I． (二者之一即可)
【解析】
【分析】①C地名次下降，只能是第一名下降而来的，即上一年度排名第1的区县是C；
② F地名次下降，上一年度F地排第五，G地名次上升，上一年度G地排第九，E地本年度排第五，名次上升，上一年度可能是排第六或者第七，然后分类讨论即可．
【详解】解：①∵A地名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，B地名次无变化，
∴只能是第三名上升而来的，即原来A地原来名次是第三名；
同理，C地名次下降，只能是第一名下降而来的；
∴上一年度排名第1的区县是C，上一年度排名前四名依次是；
②F地名次下降，只能是从第五名下降，即上一年度F地排第五，
同理，G地名次上升，只能是从第九名上升，即上一年度G地排第九，
∵E地本年度排第五，名次上升，每个区县的名次变化都不超过两位，
∴E地上一年度可能是排第六或者第七
(i)若E地上一年度是排第六，即E地和F地的排名交换，
∴H地上一年度是排第七，I地上一年度是排第八，
∴上一年度排名从前往后依次是：；
(ii)若E地上一年度是排第七，
∵H地本年度排第八，名次下降，现在上一年度未确定的只有第六和第八，
∴H地上一年度是排第六，I地上一年度是排第八
∴上一年度排名从前往后依次是：；
∴上一年度排在第6，7，8名的区县依次是或．
故答案为： C；或 (二者之一即可)．
【点睛】本地考查组合排列问题，根据数据特点分析第一个下降和最后一个上升和分类讨论是解题的关键．本题建议在表格下方增加一行“上一年度排名”，然后边推理边填空可以提高速度．
三、解答题（本题共46分，第19-21、23、25题，每小题5分，22题6分，第26题7分，第24题8分）
19. 如图，求的度数．

分析：连接并延长至点，
要求的度数，只需求即可，
证明：∵______
______
____________
______．
【答案】，，，，
【解析】
【分析】根据三角形外角的性质求出，，再根据进行计算．
【详解】解：∵，
，
，
，
，
．
故答案为：，，，，．
【点睛】本题主要考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
20. 如图，C是AB的中点，CDBE，CD＝BE，连接AD，CE．求证：AD＝CE．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】根据平行线的性质和中点的定义以及全等三角形的判定和性质解答即可．
【详解】证明：∵C是AB的中点，
∴AC=CB，
∵CD∥BE，
∴∠ACD=∠B．
在△ACD和△CBE中，
，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AD=CE．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定、平行线的性质及其应用等几何知识点问题．应牢固掌握全等三角形的判定定理．
21. 如图，在∆ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.
求证：∠CBE=∠BAD.

【答案】见解析
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质得出∠ADC=∠BEC=90°，再根据∠C为公共角即可得∠CBE=∠CAD．再有等腰三角形的三线合一，可以得到∠BAD=∠CAD,再通过等量代换即可得到结果.
【详解】∵AB=AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，
又∵BE⊥AC，∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠CBE+∠C=∠CAD+∠C=90°，∴∠CBE=∠CAD．
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴∠BAD=∠CAD,
∴∠CBE=∠BAD．
22. 数学课上，老师提出问题：任画两条长度不等的线段、，利用尺规作图作使所画线段分别为三角形的一条直角边和斜边．
在交流讨论环节，小明看到小勇所作之图如下，

请你回答下列问题：
（1）在以下作图步骤中，小勇的作图顺序可能是______；（只填序号）
①以点为圆心，的长为半径画弧，交射线于点．
②画直线．
③分别以点为圆心，大于线段的长为半径画弧，交于点．
④以点为圆心，线段的长为半径画弧，交直线于点，联结．
⑤画射线，并在上截取线段．
（2）步骤③的依据是______；
（3）能得到的理由是______．
【答案】（1）⑤①③②④
（2）到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上
（3）垂直平分
【解析】
【分析】（1）根据尺规作直角三角形的方法进行判断即可；
（2）根据线段垂直平分线的判定可得答案；
（3）根据线段垂直平分线的性质可得答案．
小问1详解】
解：根据尺规作图的方法可知作图的顺序为：⑤①③②④，
故答案为：⑤①③②④；
【小问2详解】
解：步骤③是作过点B的垂线，依据是到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，
故答案为：到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；
【小问3详解】
解：能得到的理由是垂直平分．
【点睛】本题考查了尺规作图，线段垂直平分线的判定和性质，熟练掌握尺规作三角形的方法是解题的关键．
23. 如图，已知，，与相交于E，F是的中点，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段中点的有关计算等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
先利用证明， 再利用证明，然后根据全等三角形的性质即可得出结论．
【详解】证明：在和中，
，
，
，
是的中点，
，
在和中，
，
，
．
24. 在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题：
（1）非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴；
（2）观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形；
（3）小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形；
（4）请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴．
【答案】（1）1，2，3
（2）见解析 （3）见解析
（4）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合．
（1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可；
（2）仿照题意进行设计即可；
（3）仿照题意进行设计即可；
（4）仿照题意进行设计即可．
【小问1详解】
解：非等边的等腰三角形有1条对称，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴，
故答案为：1，2，3；
【小问2详解】
解：恰好有1条对称轴的凸五边形，如图所示；
【小问3详解】
解：恰好有2条对称轴的凸六边形，如图所示；
【小问4详解】
解：恰好有3条对称轴的凸六边形，如图所示；
25. 如图，为中线，点E在上，交于点F，，求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
延长到点G，使，连接，可根据全等三角形的判定定理“”证明，得，，由，得，可推导出，得，所以．
【详解】证明：延长到点G，使，连接，
为中线，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
26. △ABC是等腰直角三角形，其中∠C＝90°，AC＝BC. D是BC上任意一点（点D与点B，C都不重合），连接AD，CF⊥AD，交AD于点E，交AB于点F，BG⊥BC交CF的延长线于点G．
（1）依题意补全图形，并写出与BG相等的线段．
（2）当点D为线段BC中点时，连接DF ．求证：∠BDF＝∠CDE．
（3）当点C和点F关于直线AD成轴对称时，直接写出线段CE，DE，AD三者之间的数量关系．
【答案】（1）（2）证明过程见解答.（3）.
【解析】
【分析】（1）如图1，根据ASA证明△CBG≌△ACD，得BG=DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，得∠CDE=∠G，再证明△BDF≌△BGF得出结论；
（3）如图3，作辅助线，分别证明△ACD≌△AFD和△ACN≌△CBF，得DN=2DE，AN=CF=2CE，可以得出结论．
【详解】解：（1）BG=DC，理由是：
如图1，∵∠ACB=90°，
∴∠BCG+∠GCA=90°，
∵CF⊥AD，
∴∠CEA=90°，
∴∠GCA+∠CAD=90°，
∴∠BCG=∠CAD，
∵∠ACB=∠CBG=90°，AC=BC，
∴△CBG≌△ACD（ASA），
∴BG=DC；
（2）如图2，由（1）得：△CBG≌△ACD，
∴∠CDE=∠G，
∵D是BC的中点，
∴BD=DC，
∵BG=DC，
∴BG=BD，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴∠CBA=45°，
∵∠CBG=90°，
∴∠GBA=45°，
∴∠GBA=∠CBA=45°，
∵BF=BF，
∴△BDF≌△BGF（SAS），
∴∠BDF=∠G，
∴∠BDF=∠CDE；
（3）AD=2DE+2CE，理由是：
如图3，过C作CM⊥AB于M，交AD于N，
∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠BCM=∠ACM=45°，
∵点C和点F关于直线AD成轴对称，
∴AD是CF的中垂线，
∴CE=EF，CD=DF，AC=AF，
∵AD=AD，
∴△ACD≌△AFD，
∴∠DFA=∠ACB=90°，
∵∠CBA=45°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∴BF=DF，
∴BF=DF=CD，
∵AC=AF，∠BAC=45°，
∴∠ACF=∠CFA=67.5°，∠CAE=∠FAE=22.5°，
∴∠BCG=90°-67.5°=22.5°，
∴∠ECN=45°-22.5°=22.5°，
∴∠ECN=∠BCG，
∴△DCE≌△NCE，
∴DC=CN，DE=EN，
∴CN=BF，
∵∠CAD=∠BCG=22.5°，
∵AC=BC，
∴△ACN≌△CBF，
∴CF=AN=2CE，
∴AD=DE+EN+AN=2DE+CF=2DE+2CE．
名次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
区县
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
变化情况
↑
一
↓
一
↑
↓
↑
↓
↓
一