北京市房山区上学期九年级期末数学试卷-A4

这是一份北京市房山区上学期九年级期末数学试卷-A4，共28页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AE＝6，则EC的值为（ ）
A．3B．2C．1D．9
2．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA是（ ）
A．B．C．D．
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．55°
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（x1，3）和（x2，5），则下列关系式中正确的是（ ）
A．x1＞x2＞0B．x2＞x1＞0C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
7．（2分）已知圆的半径为9，那么160°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．4B．8C．4πD．8π
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是 ．
10．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝110°，则∠D的度数为 ．
11．（2分）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝10，AC＝7，则BD的长为 ．
12．（2分）如图，AD，BC交于点E，AB∥CD，＝45，则S△ABE＝ ．
13．（2分）如图，A、B两点在函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC，△BOD的面积分别记为S1，S2，则S1 S2（填“＜”“＝”或“＞”）．
14．（2分）如图，甲、乙两座建筑物间的距离BD为35m，甲建筑物的高AB为20m，在甲建筑物的顶端A处测得乙建筑物的顶端C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为 m．
15．（2分）下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
（1）连接OP；
（2）作线段OP的中点A，以A为圆心，以AO为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R；
（3）作直线PQ，PR．
直线PQ和直线PR是⊙O的两条切线．
证明：连接OQ，OR．
∵OP是⊙A直径，点Q在⊙A上，
∴∠OQP＝ °．
∴OQ⊥PQ．
又∵点Q在⊙O上，
∴直线PQ是⊙O的切线（ ）（填推理的依据）．
同理可证直线PR是⊙O的切线．
16．（2分）如图，在⊙O中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是α，弦CD所对的圆心角度数是β．若α+β＝180°，则：
①∠A+∠C＝90°；
②若β＝2α，则；
③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；
④AB2+CD2＝4OC2．
上述选项中正确的是 ．（填写所有正确选项的序号）
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第题27-28题每题7分，共68分）
17．（5分）计算：sin60°﹣cs45°+tan30°．
18．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，∠ABC＝∠EDC．求证：．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，AD⊥BC于点D．若AD＝6，求BC的长．
20．（5分）Ω中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，求折扇的扇面面积（用含a的代数式表示）
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，2）是函数y＝x﹣1的图象与函数上的图象的交点．
（1）求a的值和函数的表达式；
（2）若函数y＝x﹣1的值大于函数的值，直接写出x的取值范围．
22．（5分）如图，AB和⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AC，BD和OC．
（1）求证：∠ACO＝∠D；
（2）若，求⊙O的半径．
23．（6分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
24．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是 ，m的值为 ；
（2）求二次函数的表达式；
（3）当k≤x≤k+2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最小值是1，则k的值为 ．
25．（6分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若x1＝4，y1＝c，求t的值；
（2）若对于t+2＜x1＜t+3，3＜x2＜4，都有y1＞y2，求t的取值范围．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．
（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．
28．（7分）记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣m）2+n（a≠0）的图象分别为抛物线G和G1.给出如下定义：若抛物线G1的顶点Q（m，n）在抛物线G上，则称G1是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线Q：y＝﹣2（x﹣s）2+2和抛物线Q2：y＝﹣2（x﹣3）2+t都是抛物线y＝2x2的伴随抛物线，则S＝ ，t＝ ；
（2）设函数y＝x2﹣2kx+2k+3的图象为抛物线G2.若函数y＝﹣x2+px+q的图象为抛物线G3，且G2始终是G3的伴随抛物线，
①求P，q的值；
②若抛物线G2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
2024-2025学年北京市房山区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（2分）如图，在△ABC中，DE∥BC，，若AE＝6，则EC的值为（ ）
A．3B．2C．1D．9
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可求解．
【解答】解：∵DE∥BC，，
∴＝，
∵AE＝6，
∴＝2，
∴EC＝3．
故选：A．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解题的关键．
2．（2分）将二次函数y＝x2﹣6x+2化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为（ ）
A．y＝（x﹣3）2+2B．y＝（x﹣3）2﹣7
C．y＝（x+3）2﹣7D．y＝（x﹣6）2+2
【分析】利用配方法把一般式化为顶点式，判断即可．
【解答】解：y＝x2﹣6x+2
＝x2﹣6x+9﹣9+2
＝（x﹣3）2﹣7，
故选：B．
【点评】本题考查的是二次函数的三种形式，正确利用配方法把一般式化为顶点式是解题的关键．
3．（2分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，则sinA是（ ）
A．B．C．D．
【分析】首先由勾股定理求得斜边AB＝5；然后由锐角三角函数的定义知sinA＝，然后将相关线段的长度代入计算即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，
∴AB＝＝5，
∴sinA＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了锐角三角函数定义，勾股定理．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．
4．（2分）如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．55°
【分析】直接根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵∠ACB＝35°，
∴∠AOB＝2∠ACB＝70°．
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．掌握圆周角定理是解题的关键．
5．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数的图象经过点（x1，3）和（x2，5），则下列关系式中正确的是（ ）
A．x1＞x2＞0B．x2＞x1＞0C．x1＜x2＜0D．x2＜x1＜0
【分析】在平面直角坐标系xOy中，函数y＝的图象k＞0，所以图象在一、三象限，k＞0时，在每一象限y随x的增大而减小的性质可以判断．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，函数y＝，k＞0．
∴函数y＝在第一、三象限内，
∴在每一象限内y随x的增大而减小，
又因点（x1，3）、（x2，5）纵坐标都＞0，
∴x1＞x2＞0．
故选：A．
【点评】本题考查反比例函数的图象及性质．
6．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H．若AB＝10，CD＝8，则OH的长为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．
【解答】解：∵CD⊥AB，
∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，
∵直径AB＝10，
∴OC＝5，
在Rt△OCH中，OH＝＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解题的关键．
7．（2分）已知圆的半径为9，那么160°的圆心角所对的弧长是（ ）
A．4B．8C．4πD．8π
【分析】根据弧长公式计算即可．
【解答】解：×2π×9＝8π．
故选：D．
【点评】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是解题的关键．
8．（2分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（x1，0），（2，0），其中0＜x1＜1 下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③2b+3c＜0；④不等式ax2+bx+c＜﹣x+c的解集为0＜x＜2．其中正确结论的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】利用二次函数的图象和性质依次判断即可．
【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右边，与y轴交于正半轴，
∴a＞0，b＜0，c＞0，
∴abc＜0，
∴①正确．
∵当x＝1时，y＜0，
∴a+b+c＜0，
∴②错误．
∵抛物线过点（2，0），
∴4a+2b+c＝0，
∴b＝﹣2a﹣，a＝﹣，
∵a+b+c＜0，
∴a﹣2a﹣+c＜0，
∴2a﹣c＞0，
∴﹣b﹣c﹣c＞0，
∴﹣2b﹣3c＞0，
∴2b+3c＜0，
∴③正确．
如图：
设y1＝ax2+bx+c，y2＝﹣x+c，
由图知，y1＜y2时，0＜x＜2，
故④正确．
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是求解本题的关键．
二、填空题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是 （﹣2，3） ．
【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标．
【解答】解：∵y＝（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，
∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）．
故答案为：（﹣2，3）．
【点评】本题考查将解析式化为顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是直线x＝h．
10．（2分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠B＝110°，则∠D的度数为 70° ．
【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠D即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠B＝110°，
∴∠D+∠B＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠B＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题主要考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
11．（2分）如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝10，AC＝7，则BD的长为 3 ．
【分析】先根据切线长定理求出AP，进而求出PB，再根据切线长定理解答即可．
【解答】解：∵AB，AC是⊙O的切线，AC＝7，
∴AP＝AC＝7，
∵AB＝10，
∴PB＝AB﹣AP＝10﹣7＝3，
∵BP，BD是⊙O的切线，
∴BD＝BP＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键．
12．（2分）如图，AD，BC交于点E，AB∥CD，＝45，则S△ABE＝ 5 ．
【分析】由AB∥CD，证明△BEA∽△CED，则＝＝＝，而S△CED＝45，则S△BEA＝S△CED＝5，即S△ABE＝5，于是得到问题的答案．
【解答】解：∵AB∥CD，＝，
∴△BEA∽△CED，
∴＝＝＝，
∵S△CED＝45，
∴S△BEA＝S△CED＝×45＝5，即S△ABE＝5，
故答案为：5．
【点评】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明△BEA∽△CED是解题的关键．
13．（2分）如图，A、B两点在函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，若△AOC，△BOD的面积分别记为S1，S2，则S1 ＝ S2（填“＜”“＝”或“＞”）．
【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可．
【解答】解：∵A、B两点在函数的图象上，AC⊥y轴于点C，BD⊥x轴于点D，
∴，，
∴S1＝S2，
故答案为：＝．
【点评】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键．
14．（2分）如图，甲、乙两座建筑物间的距离BD为35m，甲建筑物的高AB为20m，在甲建筑物的顶端A处测得乙建筑物的顶端C的仰角α为45°，则乙建筑物的高CD为 55 m．
【分析】过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝DE＝20m，BD＝AE＝35m，然后在Rt△AEC中，利用锐角三角函数的定义求出CE的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答．
【解答】解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝DE＝20m，BD＝AE＝35m，
在Rt△AEC中，∠CAE＝45°，
∴CE＝AE•tan45°＝35（m），
∴CD＝CE+DE＝35+20＝55（m），
∴乙建筑物的高CD为55m，
故答案为：55．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
15．（2分）下面是“过圆外一点作圆的切线”的作图过程．
已知：⊙O和⊙O外一点P．
求作：过点P的⊙O的切线．
作法：如图，
（1）连接OP；
（2）作线段OP的中点A，以A为圆心，以AO为半径作⊙A，与⊙O交于两点Q和R；
（3）作直线PQ，PR．
直线PQ和直线PR是⊙O的两条切线．
证明：连接OQ，OR．
∵OP是⊙A直径，点Q在⊙A上，
∴∠OQP＝ 90 °．
∴OQ⊥PQ．
又∵点Q在⊙O上，
∴直线PQ是⊙O的切线（ 经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线 ）（填推理的依据）．
同理可证直线PR是⊙O的切线．
【分析】根据圆周角定理、切线的判定定理填空即可．
【解答】证明：连接OQ，OR．
∵OP是⊙A直径，点Q在⊙A上，
∴∠OQP＝90°．
∴OQ⊥PQ．
又∵点Q在⊙O上，
∴直线PQ是⊙O的切线（经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线）．
同理可证直线PR是⊙O的切线．
故答案为：90；经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
【点评】本题考查作图—复杂作图、圆周角定理、切线的判定，熟练掌握圆周角定理、切线的判定定理是解答本题的关键．
16．（2分）如图，在⊙O中，AB为定弦，C，D为圆上动点，记弦AB所对的圆心角度数是α，弦CD所对的圆心角度数是β．若α+β＝180°，则：
①∠A+∠C＝90°；
②若β＝2α，则；
③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；
④AB2+CD2＝4OC2．
上述选项中正确的是 ①②④ ．（填写所有正确选项的序号）
【分析】根据圆等弧对等角、等腰三角形的性质、勾股定理等逐项判断即可．
【解答】解：如图，延长DO交⊙O于点F，连接FC，
①∵α+β＝180°，∠COF+β＝180°，
∴∠COF＝α，即∠COF＝∠AOB，
由题意可得，OA＝OB＝OC＝OF，
在△FOC和△AOB中，
，
∴△FOC≌△AOB（SAS），
∴∠A＝∠FCO，
∵FD为为直径，
∴∠FCD＝90°，即∠FCO+∠C＝90°，
∴∠A+∠C＝90°，故①正确；
②∵β＝2α，α+β＝180°，
∴2α+α＝180°，
∴α＝60°，
∴△AOB是等边三角形，即△OFC是等边三角形，AB＝OF＝FC＝OD，
∴CD＝＝，故②正确；
③∵B为弧AD的中点，
∴∠AOB＝∠BOD＝α，
假设OA⊥CD，
∵△COD为等腰三角形，
∴∠COA＝∠AOD＝2α，
∵∠COF+∠COA+∠AOD＝180°，即5α＝180°，
∴α＝36°，
∴只有α＝36°时才成立，故③不一定正确；
④由上述可知，
FC＝AB，OC＝OF＝OD，
在Rt△FCD中，由勾股定理得FC2+CD2＝（OF+OD）2，
即AB2+CD2＝4OC2，故④正确．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了圆的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是熟悉圆的性质并会运用．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第题27-28题每题7分，共68分）
17．（5分）计算：sin60°﹣cs45°+tan30°．
【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．
【解答】解：原式＝﹣+
＝﹣．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
18．（5分）如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，∠ABC＝∠EDC．求证：．
【分析】通过证明△ABC∽△EDC，可得结论．
【解答】证明：∵∠ABC＝∠EDC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EDC，
∴．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键．
19．（5分）如图，在△ABC中，∠B＝45°，，AD⊥BC于点D．若AD＝6，求BC的长．
【分析】先根据∠B的正切求出BD的长，再利用∠C的正切求出CD的长即可解决问题．
【解答】解：在Rt△ABD中，
∵∠B＝45°，
∴tanB＝．
又∵AD＝6，
∴BD＝6．
在Rt△ACD中，
tanC＝，
∴CD＝10，
∴BC＝BD+CD＝6+10＝16．
【点评】本题主要考查了解直角三角形，熟知正切的定义是解题的关键．
20．（5分）Ω中国扇文化有着深厚的文化底蕴，是民族文化的一个组成部分，历来中国有“制扇王国”之称．如图，已知折扇的骨柄长为a，折扇扇面的宽度是骨柄长的，折扇张开的角度为120°，求折扇的扇面面积（用含a的代数式表示）
【分析】根据图形可知：折扇的扇面面积＝大扇形的面积﹣小扇形的面积，然后代入数据计算即可．
【解答】解：由图可得，
折扇的扇面面积为：﹣
＝﹣
＝﹣
＝．
【点评】本题考查列代数式、扇形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
21．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，2）是函数y＝x﹣1的图象与函数上的图象的交点．
（1）求a的值和函数的表达式；
（2）若函数y＝x﹣1的值大于函数的值，直接写出x的取值范围．
【分析】（1）（a，2）代入y＝x﹣1即可得a，把A（3，2）代入y＝可得k的值，即可求出反比例函数解析式；
（2）即求x﹣1＞ （k≠0）x的值，解一元二次不等式求x的取值范围，即可得到答案．
【解答】解：（1）点A（a，2）代入函数y＝x﹣1，
∴解得a＝3，
∴A的坐标为（3，2），
把A（3，2）代入y＝（k≠0），
∴得k的值，k＝6，
∴y＝（k≠0）的表达式为y＝．
（2）若函数y＝x﹣1的值大于函数，
函数y＝x﹣1与函数的交点为（3，2），（﹣2，﹣3），
∴x﹣1＞，
∴x＞3或0＞x＞﹣2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数解析式及交点问题，数形结合是解题的关键．
22．（5分）如图，AB和⊙O直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E，连接AC，BD和OC．
（1）求证：∠ACO＝∠D；
（2）若，求⊙O的半径．
【分析】（1）先利用OA＝OC得到∠ACO＝∠A，再根据圆周角定理得到∠A＝∠D，然后利用等量代换得到结论；
（2）先根据垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，再根据正切的定义计算出BE＝2，设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，在Rt△OCE中利用勾股定理得到（2）2+（r﹣2）2＝r2，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：∵OA＝OC，
∴∠ACO＝∠A，
∵∠A＝∠D，
∴∠ACO＝∠D；
（2）解：∵CD⊥AB，
∴CE＝DE＝CD＝×4＝2，
在Rt△BDE中，∵tanD＝＝，
∴BE＝×2＝2，
设⊙O的半径为r，则OE＝r﹣2，
在Rt△OCE中，（2）2+（r﹣2）2＝r2，
解得r＝3，
即⊙O的半径为3．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理和解直角三角形．
23．（6分）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30cm，顶点A处挂了一个铅锤M．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H．经测量，点A距地面1.8m，到树EG的距离AF＝11m，BH＝20cm．求树EG的高度（结果精确到0.1m）．
【分析】由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，易知∠EAF＝∠BAH，可得tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，进而求得，利用EG＝EF+FG即可求解．
【解答】解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8m，
则∠EAF+∠BAF＝∠BAF+∠BAH＝90°，
∴∠EAF＝∠BAH，
∵AB＝30cm，BH＝20cm，
则tan∠EAF＝＝，
∴tan∠EAF＝＝tan∠BAH＝，
∵AF＝11m，
则，
∴EF＝，
∴EG＝EF+FG＝1.8≈9.1m．
答：树EG的高度约为9.1m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用，得到∠EAF＝∠BAH是解决问题的关键．
24．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c图象上的部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：
根据以上信息回答下列问题：
（1）二次函数图象的顶点坐标是 （1，4） ，m的值为 0 ；
（2）求二次函数的表达式；
（3）当k≤x≤k+2时，二次函数y＝ax2+bx+c的最小值是1，则k的值为 ﹣1+或1﹣ ．
【分析】（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4），根据函数的对称性（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0，即可求解；
（2）由待定系数法即可求解；
（3）当k+2≤1即k≤﹣1时，则当x＝k时，ymin＝﹣k2+2k+3＝1，即可求解；当k≥1或﹣1＜k＜1时，同理可解．
【解答】解：（1）由表格数据知，顶点坐标为：（1，4），
根据函数的对称性（3，0）和（﹣1，m）关于抛物线的对称轴对称，故m＝0，
故答案为：（1，4），0；
（2）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+4，
将（0，3）代入上式得：3＝a（0﹣1）2+4，则a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+4；
（3）抛物线的对称轴为直线x＝1，
当x＝k时，y＝﹣（x﹣1）2+4＝﹣k2+2k+3，当x＝k+2时，同理可得：y＝﹣k2﹣2k+3；当x＝1时，y＝4，
当k+2≤1即k≤﹣1时，
则当x＝k时，ymin＝﹣k2+2k+3＝1，
解得：k＝1±（舍去）；
当k≥1时，
同理可得：y＝﹣k2﹣2k+3＝1，
解得：k＝﹣1±（舍去）；
当﹣1＜k＜1时，
当k+2﹣1≥1﹣k即0≤k＜1，
则y＝﹣k2﹣2k+3＝1，
解得：k＝﹣1+；
当﹣1＜k＜1时，
同理可得：k＝1﹣（不合题意的值已舍去），
综上，k＝﹣1+或1﹣，
故答案为：﹣1+或1﹣．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解不等式、二次函数的图象和性质，分类求解是解题的关键．
25．（6分）如图，BE是⊙O的直径，点A在⊙O上，点C在BE的延长线上，∠EAC＝∠ABC，AD平分∠BAE交⊙O于点D，连结DE．
（1）求证：CA是⊙O的切线；
（2）当AC＝8，CE＝4时，求DE的长．
【分析】（1）连接OA，根据圆周角定理得到∠BAE＝90°，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠BAO，求得∠OAC＝90°，根据切线的判定定理得到结论；
（2）根据相似三角形的判定和性质定理得到BC＝16，求得BE＝BC﹣CE＝12，连接BD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠EAD，求得，得到BD＝DE，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OA，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BAE＝90°，
∴∠BAO+∠OAE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠ABC＝∠BAO，
∵∠EAC＝∠ABC，
∴∠CAE＝∠BAO，
∴∠CAE+∠OAE＝90°，
∴∠OAC＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴CA是⊙O的切线；
（2）解：∵∠EAC＝∠ABC，∠C＝∠C，
∴△ABC∽△EAC，
∴，
∴，
∴BC＝16，
∴BE＝BC﹣CE＝12，
连接BD，
∵AD平分∠BAE，
∴∠BAD＝∠EAD，
∴，
∴BD＝DE，
∵BE是⊙O的直径，
∴∠BDE＝90°，
∴DE＝BD＝BE＝6．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的判定是解题的关键．
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，A（x1，y1），B（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）若x1＝4，y1＝c，求t的值；
（2）若对于t+2＜x1＜t+3，3＜x2＜4，都有y1＞y2，求t的取值范围．
【分析】（1）利用对称轴公式即可求得；
（2）a＜0，根据离对称轴越近的点的纵坐标越大，对于t+2＜x1＜t+3，3＜x2＜4，都有y1＞y2，所以|x1﹣t|≥|x2﹣t|，分两种情况讨论，解不等式，可求t的取值范围．
【解答】解：（1）∵x1＝4，y1＝c，
∴16a+4b+c＝c．
∴b＝﹣4a．≤
∴对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝2，
∴t＝2；
（2）∵a＜0，抛物线的对称轴为x＝t．
∴抛物线开口向下，
∵t+2＜x1＜t+3，3＜x2＜4，
∴A（x1，y1）在对称轴的右侧，
∵对于t+2＜x1＜t+3，3＜x2＜4，都有y1＞y2，
∴|x1﹣t|≤|x2﹣t|，
①当t≤3时，满足y1＞y2，
∴t+2﹣t≥4﹣t，
∴t≥2，
∴2≤t≤3，
②当t≥4时，满足y1＞y2，
∴t+2﹣t≥t﹣3，
∴t≤5，
∴4≤t≤5，
③3＜t＜4时，y1＜y2，不合题意，
综上，当2≤t≤3或4≤t≤5时，都有y1＞y2．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征．关键是掌握a＜0，图象上离对称轴越近的点的纵坐标越大．
27．（7分）如图，在等边△ABC中，点D是BC边上一点（点D不与B，C重合）BD＜CD，连接AD，点D关于直线AB的对称点为点E，连接DE交AB于点N．在AD上取一点F，使∠EFD＝∠BAC，延长EF交AC于点G．
（1）若∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；
（2）用等式表示线段CG与DE之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）由三角形内角和定理及外角定理结合∠EFD＝∠BAC即可求解；
（2）在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，BM交AD于点H，连接BE，AE，再证明四边形EBMG是平行四边形，可得CG＝2BD，记AB 与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，再解Rt△BND即可．
【解答】解：（1）如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∵∠EFD＝∠BAC，
∴∠EFD＝60°，
∵∠EFD＝∠1+∠BAD＝∠1+α，
∴∠1＝60°﹣α，
∵∠AGE+∠1+∠BAC＝180°，
∴∠AGE＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，
∴∠AGE＝120°﹣（60°﹣α）＝60°+α；
（2）CG＝DE．理由如下：
如图2中，在CG上截取CM＝BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，
∵△BCA为等边三角形，
∴∠ABC＝∠C＝60°，BC＝AB，
∴△ABD≌△BCM（SAS），
∴∠3＝∠4，
∵∠AHM＝∠3+∠5，
∴∠AHM＝∠4+∠5＝60°，
∵∠EFD＝∠BAC＝60°，
∴∠AHM＝∠EFD，
∴EG∥BM，
∵点D关于直线AB的对称点为点E，
∴AE＝AD，BE＝BD，∠ABE＝∠ABC＝60°，
∴∠EBC＝120°，
∴∠EBC+∠C＝180°，
∴EB∥AC，
∴四边形EBMG是平行四边形，
∴BE＝GM，
∴BE＝GM＝BD＝CM，
∴CG＝2BD，记AB与DE的交点为点N，则由轴对称可知：DE⊥AB，NE＝ND，
在Rt△DNB中，DN＝BD•sin∠ABC＝BD，
∴DE＝2DN＝BD，
∴＝＝，
∴CG＝DE．
【点评】本题考查了三角形的内角和，外角定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键
28．（7分）记二次函数y＝a（x﹣b）2+c和y＝﹣a（x﹣m）2+n（a≠0）的图象分别为抛物线G和G1.给出如下定义：若抛物线G1的顶点Q（m，n）在抛物线G上，则称G1是G的伴随抛物线．
（1）若抛物线Q：y＝﹣2（x﹣s）2+2和抛物线Q2：y＝﹣2（x﹣3）2+t都是抛物线y＝2x2的伴随抛物线，则S＝ ±1 ，t＝ 18 ；
（2）设函数y＝x2﹣2kx+2k+3的图象为抛物线G2.若函数y＝﹣x2+px+q的图象为抛物线G3，且G2始终是G3的伴随抛物线，
①求P，q的值；
②若抛物线G2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），请直接写出x1的取值范围．
【分析】（1）根据题意确定点（s，2），（3，t）在y＝2x2上，代入求解即可；
（2）①根据题意确定顶点坐标为：（k，﹣k2+2k+3），然后代入解析式得出2k+3＝pk+q，即可求解；
②根据题意得出顶点坐标（k，﹣k2+2k+3）在y＝﹣x2+2x+3图象上滑动，然后分情况分析即可得出结果．
【解答】解：（1）抛物线Q：y＝﹣2（x﹣s）2+2和抛物线Q2：y＝﹣2（x﹣3）2+t都是抛物线y＝2x2的伴随抛物线，
∴点（s，2），（3，t）在y＝2x2上，
∴2s2＝2，t＝2×32，
解得：s＝±1，t＝18，
故答案为：±1，18；
（2）①y＝x2﹣2kx+2k+3＝x2﹣2kx+k2﹣k2+2k+3＝（x﹣k）2﹣k2+2k+3，
∴顶点坐标为：（k，﹣k2+2k+3），
∵函数y＝x2﹣2kx+2k+3的图象为抛物线G2，函数y＝﹣x2+px+q的图象为抛物线G3，且G2始终是G3的伴随抛物线，
∴﹣k2+2k+3＝﹣k2+pk+q，
整理得：2k+3＝pk+q，
∴p＝2，q＝3；
②∵抛物线G2与x轴有两个不同的交点（x1，0），（x2，0）（x1＜x2），
由①得：抛物线G2的顶点坐标（k，﹣k2+2k+3）在y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4图象上滑动，
当﹣x2+2x+3＝0时，
解得：x＝﹣1或x＝3，
抛物线与x轴交（﹣1，0）（3，0）两个点，
当顶点在（﹣1，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜﹣1，
当顶点在（3，0）下方时，抛物线有两个交点，x1＜3，
故x1＜3．
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
4
3
0
…
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
B
A
B
A
B
D
C
x
…
﹣1
0
1
2
3
…
y
…
m
3
4
3
0
…