北京市房山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷

这是一份北京市房山区2021-2022学年九年级上学期期末考试数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共 8 页，共三道大题，28 道小题，满分 100 分。考试时间 120 分钟。
在试卷和答题卡上认真填写学校名称、姓名和准考证号。
试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
在答题卡上，选择题、作图题用 2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
考生须知
一、选择题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
抛物线 y =（x－3）2－1 的对称轴是
A．直线 x =3B．直线 x =－3C．直线 x =1D．直线 x =－1 2．若反比例函数的图象经过点（3，－2），则该反比例函数的表达式为
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 5，BC = 3，则 tanA 的值为
C
O
如图，AB 是⊙O 的直径，点 C，D 在⊙O 上，若ABD  50则ACD 的大小为
A．25°B．30°C．40°D．50°AB
把抛物线 y  (x+5)2  3向上平移 1 个单位长度，则平移后所得抛物
线的表达式为
D
A． y  (x+5)2  4
C． y  (x+6)2  3
B． y  (x+5)2  2
D． y  (x+4)2  3
E
如图所示，点?，?分别在△ABC 的 AB，AC 边上，且 DE∥BC．C
如果 AD∶DB=2∶1，那么 AE∶AC 等于
A．2∶1B．2∶5
C．2∶3D．3∶5
ADB
C
如图，DC 是⊙O 的直径，弦 AB⊥CD 于 M，则下列结论
不一定成立的是
A．AM=BMB．CM=DMO
C．?⏜?=?⏜?
D．?⏜?
=?⏜?

AMB D
如图，一次函数 y=－2x＋8 与反比例函数


的图象交于A（1，6），B（3，2）两点．则使
成立的 x 的取值范围是
A．x＜1B．x＞3
C．1＜x＜3D．0＜x＜1 或 x＞3
二、选择题（本题共 8 道小题，每小题 2 分，共 16 分）
O
B
C
9．已知△ABC， sinA = 则∠A= °.
10．已知一个扇形的半径是 1，圆心角是 120°，则这个扇形
A
的面积是 .
11．如图，在⊙O 中，∠BOC=80°，则∠A = °.
如图，PA 是⊙O 的切线，A 是切点. 若∠APO=25°， 则∠AOP= °.
13.已知二次函数y=-x2+6的图象上两点
B( a2 ,b2 ) ，若a1 < a2 < 0 ，则b1b2 （填“＞”，“＜”或“＝”）.
B
60
A30
C
14.如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为60 ，看这栋高楼底部的俯角为30 ， 热气球与高楼的水平距离为 60m，这栋楼的高度是 m．
15，下面是“过圆外一点作圆的切线”的尺规作图过程.
半径作弧，两弧相交于 M，N 两点；
作直线 MN，交 OP 于点 C；
以点 C 为圆心，CO 的长为半径作圆， 交⊙O 于 A，B 两点；
作直线 PA，PB．
直线 PA，PB 即为所求作⊙O 的切线．
1OP 的长为
大于2
（2）分别以点 O 和点 P 为圆心，
已知：⊙O 和⊙O 外一点 P．
求作：过点 P 的⊙O 的切线． 作法：如图，
（1）连接 OP；
完成如下证明：
证明：连接 OA，OB，
∵OP 是⊙C 直径，点 A 在⊙C 上
∴∠OAP = 90°（ ）（填推理的依据）.
∴OA⊥AP.
又∵点 A 在⊙O 上，
∴直线 PA 是⊙O 的切线（ ）（填推理的依据）.同理可证直线 PB 是⊙O 的切线.
16.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：ｍ）与小球的运动时间 t
（单位：s）之间的关系式是h  30t  5t2 （ 0≤t≤6 ）．小球运动的时间是
s 时，小球最高；小球运动中的最大高度是 m.
三、解答题（本题共 12 道小题，第 17—22 题，每题 5 分，第 23—26 题，每题 6 分，第
题每题 7 分，共 68 分）
17. 计算： sin30°+tan45°-cs60°.
18.如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，点 D 在 AC 边上，DE⊥AC 交 BC 于点 E.
求证：△CDE∽△CBA .A
D
BEC
19. 如图，在△ABC 中，∠B=30°，tanC= AD⊥BC 于点 D. 若 AD=4，求 BC 的长．

20.在平面直角坐标系xOy中，若反比例函数 的图象经过点A（2，3）和点B（-2，m），求m的值.
21.在平面内，给定不在同一直线上的点 A，B，C，如图所示．点 O 到点 A，B，C 的距离均等于 r（r 为常数），到点 O 的距离等于 r 的所有点组成图形 G， ABC 的平分线交图形 G 于点 D，连接 AD，CD．
求证：AD=CD.
B
C
A
22.在数学活动课上，老师带领学生去测量位于良乡的昊天塔的高度. 如图，在 C 处用高
1.2 米的测角仪 CE 测得塔顶 A 的仰角为 30°，向塔的方向前进 40 米到达 D 处，在 D
处测得塔顶 A 的仰角为 60°，求昊天塔的高约为多少米？ （结果精确到 1 米，√3 ≈
E 30°
F 60°
1.73，√2 ≈ 1.41）A
CDB
23.如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，∠A=15°，AB=4．求弦 CD 的长．
C
O
E
D
AB
24.如图，在△ABC 中，AB＝4√2，∠B＝45°，∠C＝60°. 点 E 为线段 AB 的中点，点 F
是 AC 边上任一点，作点 A 关于线段 EF 的对称点 P，连接 AP，交 EF 于点 M．连接
EP，FP．当 PF⊥AC 时，求 AP 的长．A
E
M
F
BC
P

25.在平面直角坐标系xOy中的第一象限内，点A（2，4）在双曲线 上
（1）求m的值；
（2）已知点P在x轴上，过点P作平行于y轴的直线与 的图象分
y
8
7
6
5
4
3
2
1
–3 –
123456789 x
–1
–2
2 –1
别相交于点 N，M，点 N，M 的距离为d1 ，点 N，M 中的某一点与点P 的距离为d2 ，如果d1  d2 ，在下图中画．出．示．意．图．并且直接写出点P 的坐标.
26.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y  ax2 +bx  3a 上有两点 A（－1，0）和点 B（x，x+1）.
用等式表示 a 与 b 之间的数量关系，并求抛物线的对称轴；
当3 2 ≤AB≤ 5 2 时，结合函数图象，求 a 的取值范围.
27.如图，点 C 是⊙O 直径 AB 上一点，过 C 作 CD⊥AB 交⊙O 于点 D，连接 DA，DB．
求证：∠ADC=∠ABD；
连接 DO，过点 D 做⊙O 的切线，交 BA 的延长线于点 P．
若 AC=3， tan PDC  4
3
，求 BC 的长．
28.对某一个函数给出如下定义：如果存在实数 M，对于任意的函数值 y，都满足 y ≤ M，那么称这个函数是有上界函数. 在所有满足条件的 M 中，其最小值称为这个函数的上确界. 例如，图中的函数 y   x  32  2 是有上界函数，其上确界是 2.
函数① y  x2  2x 1和② y  2x  3 （x ≤ 2）中是有上界函数的为
（只填序号即可），其上确界为 ；
如果函数 y  x  2（a ≤x≤ b，b > a）的上确界是 b，且这个函数的最小值不超过2a 1，求 a 的取值范围；
y
5
4
3
2
1
–5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5
–1
–2
–3
–4
–5
x
如果函数 y  x2  2ax  2 （1≤x≤5） 是以 3 为上确界的有上界函数，求实数a的值．
答案解析
一、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分），下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．【分析】根据二次函数的顶点式y＝（x﹣h）2+k，对称轴为直线x＝h，得出即可．
【解答】解：抛物线y＝（x﹣3）2﹣1的对称轴是直线x＝3．
故选：A．
2．若反比例函数的图象经过点（3，﹣2），则该反比例函数的表达式为（ ）
A．y＝B．y＝﹣C．y＝D．y＝﹣
【分析】函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式y＝（k≠0）即可求得k的值．
【解答】解：设反比例函数的解析式为y＝（k≠0），函数的图象经过点（3，﹣2），
∴﹣2＝，得k＝﹣6，
∴反比例函数解析式为y＝﹣．
故选：B．
3．【分析】先利用勾股定理计算出AC，然后根据正切的定义求解．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝4，
∴tanA＝＝．
故选：B．
4． 【分析】根据圆周角定理求出答案即可．
【解答】解：∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°．
故选：D．
5．【分析】根据向上平移纵坐标加求得结论即可．
【解答】解：把抛物线y＝（x+5）2+3向上平移1个单位长度，则平移后所得抛物线的表达式为y＝（x+5）2+3+1，即y＝（x+5）2+4．
故选：A．
6．【分析】根据平行线分线段成比例定理得出＝＝，求出AE＝2EC，再代入AE：AC求出即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝，
∵AD：DB＝2：1，
∴＝，
∴AE＝2EC，
∴AE：AC＝＝，
故选：C．
7．【分析】根据垂径定理进行判断即可．
【解答】解：∵弦AB⊥CD，CD过圆心O，
∴AM＝BM，＝，＝，
即选项A、C、D都正确，
当根据已知条件不能推出CM和DM一定相等，
故选：B．
8．【分析】观察函数图象得到当0＜x＜1或x＞3，一次函数的图象在反比例函数图象下方．
【解答】解：在第一象限内，一次函数值小于反比例函数值时自变量x的取值范围是0＜x＜1或x＞3；
故选：D．
二、选择题（本题共8道小题，每小题2分，共16分）
9． 【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可．
【解答】解：∵sinA＝，
∴∠A＝30°，
故答案为：30．
10．【分析】直接根据扇形的面积公式求解．
【解答】解：这个扇形的面积＝＝．
故答案是：．
11．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：∵∠BOC与∠BAC是同弧所对的圆心角与圆周角，∠BOC＝80°，
∴∠BAC＝∠BOC＝40°．
故答案为：40°．
12．【分析】根据切线的性质得到OA⊥AP，根据直角三角形的两锐角互余计算，得到答案．
【解答】解：∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥AP，
∴∠APO+∠AOP＝90°，
∵∠APO＝25°，
∴∠AOP＝90°﹣∠APO＝90°﹣25°＝65°，
故答案为：65．
13． 【分析】根据抛物线开口方向及对称轴可得x＜0时y随x增大而增大，进而求解．
【解答】解：∵y＝﹣x2+6，
∴抛物线开口向下，对称轴为y轴，
∴x＜0时，y随x增大而增大，
∵a1＜a2＜0，
∴b1＜b2，
故答案为：＜．
14．【分析】求这栋楼的高度，即BC的长度，根据BC＝BD+DC，在Rt△ABD和Rt△ACD中分别求出BD，CD就可以．
【解答】解：在Rt△ABD中，∠BDA＝90°，∠BAD＝60°，AD＝60m，
∴BD＝ADtan60°＝60×＝60（m）．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，
∴CD＝ADtan30°＝60×＝20（m）．
∴BC＝BD+CD＝60+20＝80（m）
故答案为：80．
15．【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可知∠OAP＝90°，再依据切线的判定证明结论；
【解答】证明：连接OA，OB，
∵OP是⊙C直径，点A在⊙C上
∴∠OAP＝90°（直径所对的圆周角是直角），
∴OA⊥AP．
又∵点A在⊙O上，
∴直线PA是⊙O的切线（经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），
同理可证直线PB是⊙O的切线，
故答案为：直径所对的圆周角是直角；经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
16．【分析】先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h＝30t﹣5t2的顶点坐标即可．
【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45．
故答案为：3，45．
三、解答题（本题共12道小题，第17-22题，每题5分，第23-26题，每题6分，第27-28题每题7分，共68分）
17． 【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而代入计算即可．
【解答】解：原式＝+1﹣
＝1．
18．【分析】由DE⊥AC，∠B＝90°可得出∠CDE＝∠B，再结合公共角相等，即可证出△CDE∽△CBA．
【解答】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，
∴∠CDE＝90°＝∠B．
又∵∠C＝∠C，
∴△CDE∽△CBA．
19．【分析】分别解两个直角三角形求出BD和CD的长即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝∠ADC＝90°，
∵∠B＝30°，
∴AB＝2AD＝8，
∴BD＝＝＝4，
∵tanC＝＝，
∴CD＝AD＝×4＝3，
∴BC＝BD+CD＝4+3．
20． 【解答】解：∵反比例函数y＝（k≠0）的图象经过点A（2，3），
∴k＝2×3＝6．
∵点B（﹣2，m）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝6＝﹣2m，
解得：m＝﹣3．
故m的轴为﹣3．
21．
【分析】由题意画图，再根据圆周角定理的推论即可得证结论．
【解答】证明：根据题意作图如下：
∵BD是圆周角ABC的角平分线，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴，
∴AD＝CD．
22．【分析】设AG＝x米，分别在Rt△AFG和Rt△AEG中，表示出FG和GE的长度，然后根据CD＝40米，求出x的值，继而可求出电视塔的高度AB．
【解答】解：如图，
设AG＝x米，
在Rt△AFG中，∠AFG＝60°，tan∠AFG＝＝，
∴FG＝x，
在Rt△AEG中，∠AEG＝30°，tan∠AEG＝＝，
∴EG＝x，
∴x﹣x＝40，
解得：x＝20．
∴AG＝20米，
则AB＝20+1.2≈35.8（米）．
答：这个电视塔的高度AB约为35.8米．
23．【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长．
【解答】解：∵∠A＝15°，
∴∠COB＝30°．
∵AB＝4，
∴OC＝2．
∵弦CD⊥AB于E，
∴CE＝CD．
在Rt△OCE中，∠CEO＝90°，∠COB＝30°，OC＝2，
∴CE＝1．
∴CD＝2．
24【分析】如图1中，过点A作AD⊥BC于D．根据三角函数的定义得到AD＝4，如图2中，根据垂直的定义得到∠PFA＝90°，根据折叠的性质得到∠AFE＝∠PFE＝45°，AF＝PF，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：如图1中，过点A作AD⊥BC于D．
在Rt△ABD中，AD＝AB•sin45°＝4×＝4．
如图2中，AC＝＝＝，
∵PF⊥AC，
∴∠PFA＝90°，
∵沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
∴△AEF≌△PEF，
∴∠AFE＝∠PFE＝45°，AF＝PF，
∴∠AFE＝∠B，
∵∠EAF＝∠CAB，
∴△AEF∽△ACB，
∴＝，即＝，
∴AF＝2，
∴AP＝AF＝2．
25．【分析】（1）根据待定系数法即可求得；
（2）画出函数的图象，根据图象即可求得．
【解答】解：（1）∵点A（2，4）在双曲线y1＝（m≠0）上，
∴m＝2×4＝8，
∴m的值为8；
（2）如图：
由图象可知，点P的坐标为（2，0）或（4，0）或（﹣2，0）或（﹣4，0）．
26．
【分析】（1）将（﹣1，0）代入函数解析式可得b＝4a，则抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣2．
（2）由点B坐标可得AB所在直线为y＝x+1，过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，可得AB为等腰直角三角形的斜边，从而可得点B当AB＝3时和AB＝5时点B的坐标为（2，3）或（4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣6，﹣5），再分类讨论抛物线开口向上或向下求解．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+3a得0＝a﹣b+3a，
∴b＝4a，
∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝﹣2．
（2）∵点B坐标为（x，x+1），
∴点B所在直线为y＝x+1，
∴点A在直线y＝x+1上，
过点B作BC⊥x轴交x轴于点C，
则BC＝|x+1|，AC＝|x+1|，
∴AB为等腰直角三角形的斜边，
∴当AB＝3时，AC＝BC＝3，当AB＝5时，AC＝BC＝5，
∴|xC﹣xA|＝3或|xC﹣xA|＝5，
∴点B坐标为（2，3）或（4，3）或（﹣4，﹣3）或（﹣6，﹣5），
当a＞0时，抛物线开口向上，
∵抛物线经过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝﹣2，
∴抛物线经过点（﹣3，0），
∴抛物线开口向上时，抛物线不经过B3，B4，
将（2，3）代入y＝ax2+4ax+3a得3＝9a+8a+3a，
解得a＝，
将（4，5）代入y＝ax2+4ax+3a得5＝16a+16a+3a，
解得a＝，
∴≤a≤．
a＜0时，抛物线开口向下，抛物线不经过B1，B2，
将（﹣4，﹣3）代入y＝ax2+4ax+3a得﹣3＝16a﹣16a+3a，
解得a＝﹣1，
将（﹣6，﹣5）代入y＝ax2+4ax+3a得﹣5＝36a﹣24a+3a，
解得a＝﹣，
∴﹣1≤a≤﹣，
综上所述，≤a≤或﹣1≤a≤﹣．
27．【分析】（1）根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，根据同角的余角相等证明结论；
（2）根据题意画出图形，根据切线的性质得到∠PDO＝90°，进而得到∠PDC＝∠DOC，根据正切的定义、勾股定理计算即可．
【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴∠ADC+∠BDC＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ABD+∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝∠ABD；
（2）解：∵PD是⊙O的切线，
∴∠PDO＝90°，
∴∠PDC+∠CDO＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠DOC+∠CDO＝90°，
∴∠PDC＝∠DOC，
∵tan∠PDC＝，
∴tan∠DOC＝，即＝，
设DC＝4x，则CO＝3x，
由勾股定理得：OD＝5x，
∵AC＝3，
∴OA＝3x+3，
∴3x+3＝5x，
∴x＝，
∴AB＝10x＝15，
∴BC＝AB﹣AC＝15﹣3＝12．
28．【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解；
（2）由题意可知：﹣b+2≤y≤﹣a+2，再由﹣a+2＝b，﹣b+2≤2a+1，b＞a，即可求a的取值范围；
（3）当a≤1时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4（舍）；当a≥5时，3﹣2a＝3，可得a＝0（舍）；当1＜a≤3时，27﹣10a＝3，可得a＝2.4；当3＜a＜5时，3﹣2a＝3，可得a＝0．
【解答】解：（1）①y＝x2+2x+1＝（x+1）2≥0，
∴①无上确界；
②y＝2x﹣3（x≤2），
∴y≤1，
∴②有上确界，且上确界为1，
故答案为：②，1；
（2）∵y＝﹣x+2，y随x值的增大而减小，
∴当a≤x≤b时，﹣b+2≤y≤﹣a+2，
∵上确界是b，
∴﹣a+2＝b，
∵函数的最小值不超过2a+1，
∴﹣b+2≤2a+1，
∴a≥﹣1，
∵b＞a，
∴﹣a+2＞a，
∴a＜1，
∴a的取值范围为：﹣1≤a＜1；
（3）y＝x2﹣2ax+2的对称轴为直线x＝a，
当a≤1时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4（舍）；
当a≥5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0（舍）；
当1＜a≤3时，y的最大值为25﹣10a+2＝27﹣10a，
∵3为上确界，
∴27﹣10a＝3，
∴a＝2.4；
当3＜a＜5时，y的最大值为1﹣2a+2＝3﹣2a，
∵3为上确界，
∴3﹣2a＝3，
∴a＝0，
综上所述：a的值为2.4．