章节检测验收卷四 三角形(测试)-2025年中考数学一轮复习讲义及试题（含答案）

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1．（2024·宁夏·中考真题）小明与小亮要到科技馆参观小明家、小亮家和科技馆的方位如图所示，则科技馆位于小亮家的（ ）
A．南偏东 QUOTE 60掳 60掳方向B．北偏西 QUOTE 60掳 60掳方向C．南偏东 QUOTE 50掳 50掳方向D．北偏西 QUOTE 50掳 50掳方向
2．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架 QUOTE ?? AB与吊线 QUOTE ?? FG平行，灯杆 QUOTE ?? CD与底部支架 QUOTE ?? AB所成锐角 QUOTE ．顶部支架 QUOTE ?? EF与灯杆 QUOTE ?? CD所成锐角 QUOTE ，则 QUOTE ?? EF与 QUOTE ?? FG所成锐角的度数为（ ）
A． QUOTE 60掳 60掳B． QUOTE 55掳 55掳C． QUOTE 50掳 50掳D． QUOTE 45掳 45掳
3．（2024·四川巴中·中考真题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题．即 QUOTE ??=5 AC=5， QUOTE ??=1 DC=1， QUOTE ??=?? BD=BA，则 QUOTE ??= BC=（ ）
A．8B．10C．12D．13
QUOTE ??=12 4．（2024·广东深圳·中考真题）如图，为了测量某电子厂的高度，小明用高 QUOTE 1.8m 1.8m的测量仪 QUOTE ?? EF测得的仰角为 QUOTE 45掳 45掳，小军在小明的前面 QUOTE 5m 5m处用高 QUOTE 1.5m 1.5m的测量仪 QUOTE ?? CD测得的仰角为 QUOTE 53掳 53掳，则电子厂 QUOTE ?? AB的高度为（ ）（参考数据： QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ）
A． QUOTE 22.7m 22.7m B． QUOTE 22.4m 22.4m C． QUOTE 21.2m 21.2m D． QUOTE 23.0m 23.0m
5．（2024·河北·中考真题）下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
若以上解答过程正确，①，②应分别为（ ）
A． QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?， QUOTE AAS AASB． QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?， QUOTE ASA ASA
C． QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?， QUOTE AAS AASD． QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?， QUOTE ASA ASA
6．（2024·四川巴中·中考真题）如图，在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ? D是 QUOTE ?? AC的中点， QUOTE ， QUOTE ?? BD与 QUOTE ?? CE交于点 QUOTE ? O，且 QUOTE ??=?? BE=CD．下列说法错误的是（ ）

A． QUOTE ?? BD的垂直平分线一定与 QUOTE ?? AB相交于点 QUOTE ? E
B． QUOTE
C．当 QUOTE ? E为 QUOTE ?? AB中点时， QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC是等边三角形
D．当 QUOTE ? E为 QUOTE ?? AB中点时， QUOTE
7．（2024·山东泰安·中考真题）如图，菱形 QUOTE ???? ABCD中， QUOTE ，点 QUOTE ? E是 QUOTE ?? AB边上的点， QUOTE ??=4 AE=4， QUOTE ??=8 BE=8，点 QUOTE ? F是 QUOTE ?? BC上的一点， QUOTE 鈻矱?? 鈻矱GF是以点 QUOTE ? G为直角顶点， QUOTE 鈭燛?? 鈭燛FG为 QUOTE 30掳 30掳角的直角三角形，连结 QUOTE ?? AG．当点 QUOTE ? F在直线 QUOTE ?? BC上运动时，线段 QUOTE ?? AG的最小值是（ ）
A．2B． QUOTE 43−2 43−2C． QUOTE 23 23D．4
QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ??=?? AI=MH QUOTE QUOTE ?? MH QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE 鈭燘=60掳 鈭燘=60掳 QUOTE QUOTE QUOTE QUOTE ???? MHAI QUOTE ??=?? MH=AI QUOTE ??=8 BE=8 QUOTE QUOTE ??=12??=23=?? MH=12EM=23=AI QUOTE QUOTE ?? AG QUOTE 23 238．（2024·四川南充·中考真题）如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形 QUOTE ???? ABCD中， QUOTE ??=10 AB=10．下列三个结论：①若 QUOTE ，则 QUOTE ??=2 EF=2；②若 QUOTE 的面积是正方形 QUOTE ???? EFGH面积的3倍，则点F是 QUOTE ?? AG的三等分点；③将 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BG绕点A逆时针旋转 QUOTE 90掳 90掳得到 QUOTE 鈻矨??' 鈻矨DG'，则 QUOTE ??' BG'的最大值为 QUOTE 55+5 55+5．其中正确的结论是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
9．（2024·宁夏·中考真题）如图，在 QUOTE 中， QUOTE 鈭燗??=90掳 鈭燗BC=90掳， QUOTE ??=3cm AB=3cm， QUOTE ??=2cm BC=2cm，点 QUOTE ? A在直线 QUOTE ?1 l1上，点 QUOTE ? B， QUOTE ? C在直线 QUOTE ?2 l2上， QUOTE ，动点 QUOTE ? P从点 QUOTE ? A出发沿直线 QUOTE ?1 l1以 QUOTE 1cm/s 1cm/s的速度向右运动，设运动时间为 QUOTE ?s ts．下列结论：
①当 QUOTE ?=2s t=2s时，四边形 QUOTE ???? ABCP的周长是 QUOTE 10cm 10cm；
②当 QUOTE ?=4s t=4s时，点 QUOTE ? P到直线 QUOTE ?2 l2的距离等于 QUOTE 5cm 5cm；
③在点 QUOTE ? P运动过程中， QUOTE 鈻砅?? 鈻砅BC的面积随着 QUOTE ? t的增大而增大；
④若点 QUOTE ? D， QUOTE ? E分别是线段 QUOTE ?? PB， QUOTE ?? PC的中点，在点 QUOTE ? P运动过程中，线段 QUOTE ?? DE的长度不变．其中正确的是（ ）
A．①④B．②③C．①③D．②④
10．（2023·辽宁·中考真题）如图， QUOTE 鈭燤??=60掳 鈭燤AN=60掳，在射线 QUOTE ?? AM， QUOTE ?? AN上分别截取 QUOTE ??=??=6 AC=AB=6，连接 QUOTE ?? BC， QUOTE 鈭燤?? 鈭燤AN的平分线交 QUOTE ?? BC于点D，点E为线段 QUOTE ?? AB上的动点，作 QUOTE 交 QUOTE ?? AM于点F，作 QUOTE 交射线 QUOTE ?? AD于点G，过点G作 QUOTE 于点H，点E沿 QUOTE ?? AB方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形 QUOTE ???? EFHG与 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（ ）

A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（2023·江苏镇江·中考真题）《九章算术》中记载：“今有勾八步，股一十五步．问勾中容圆，径几何？”译文：现在有一个直角三角形，短直角边的长为8步，长直角边的长为15步．问这个直角三角形内切圆的直径是多少？书中给出的算法译文如下：如图，根据短直角边的长和长直角边的长，求得斜边的长．用直角三角形三条边的长相加作为除数，用两条直角边相乘的积再乘2作为被除数，计算所得的商就是这个直角三角形内切圆的直径．根据以上方法，求得该直径等于 步．（注：“步”为长度单位）

12．（2024·四川达州·中考真题）如图，在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ??1 AE1， QUOTE ??1 BE1分别是内角 QUOTE 鈭燙?? 鈭燙AB、外角 QUOTE 鈭燙?? 鈭燙BD的三等分线，且 QUOTE ， QUOTE ，在 QUOTE 鈻矨??1 鈻矨BE1中， QUOTE ??2 AE2， QUOTE ??2 BE2分别是内角 QUOTE ，外角 QUOTE 的三等分线．且 QUOTE ， QUOTE ，…，以此规律作下去．若 QUOTE ．则 QUOTE 度．
13．（2023·湖南湘西·中考真题）如图， QUOTE 鈯橭 鈯橭是等边三角形 QUOTE ??? ABC的外接圆，其半径为4．过点B作 QUOTE 于点E，点P为线段 QUOTE ?? BE上一动点（点P不与B，E重合），则 QUOTE ??+12?? CP+12BP的最小值为 ．

14．（2024·河北·中考真题）如图， QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC的面积为 QUOTE 2 2， QUOTE ?? AD为 QUOTE ?? BC边上的中线，点 QUOTE ? A， QUOTE ?1 C1， QUOTE ?2 C2， QUOTE ?3 C3是线段 QUOTE ??4 CC4的五等分点，点 QUOTE ? A， QUOTE ?1 D1， QUOTE ?2 D2是线段 QUOTE ??3 DD3的四等分点，点 QUOTE ? A是线段 QUOTE ??1 BB1的中点．
（1） QUOTE 鈻矨?1?1 鈻矨C1D1的面积为 ；
（2） QUOTE 的面积为 ．
15．（2023·江苏宿迁·中考真题）如图， QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC是正三角形，点A在第一象限，点 QUOTE ?0,0 B0,0、 QUOTE ?1,0 C1,0．将线段 QUOTE ?? CA 绕点C按顺时针方向旋转 QUOTE 120掳 120掳至 QUOTE ??1 CP1；将线段 QUOTE ??1 BP1绕点B按顺时针方向旋转 QUOTE 120掳 120掳至 QUOTE ??2 BP2；将线段 QUOTE ??2 AP2绕点A按顺时针方向旋转 QUOTE 120掳 120掳至 QUOTE ??3 AP3；将线段 QUOTE ??3 CP3绕点C按顺时针方向旋转 QUOTE 120掳 120掳至 QUOTE ??4 CP4；……以此类推，则点 QUOTE ?99 P99的坐标是 ．

16．（2023·黑龙江大庆·中考真题）如图，在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中，将 QUOTE ?? AB绕点A顺时针旋转 QUOTE 伪 伪至 QUOTE ??' AB'，将 QUOTE ?? AC绕点A逆时针旋转 QUOTE 尾 尾至 QUOTE ，得到 QUOTE 鈻矨?'?' 鈻矨B'C'，使 QUOTE ，我们称 QUOTE 鈻矨?'?' 鈻矨B'C'是 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC的“旋补三角形”， QUOTE 鈻矨?'?' 鈻矨B'C'的中线 QUOTE ?? AD叫做 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．下列结论正确的有 ．
① QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC与 QUOTE 鈻矨?'?' 鈻矨B'C'面积相同；
② QUOTE ??=2?? BC=2AD；
③若 QUOTE ??=?? AB=AC，连接 QUOTE ??' BB'和 QUOTE ??' CC'，则 QUOTE ；
④若 QUOTE ??=?? AB=AC， QUOTE ??=4 AB=4， QUOTE ??=6 BC=6，则 QUOTE ?'?'=10 B'C'=10．
三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）
17．（2024·江苏盐城·中考真题）已知：如图，点A、B、C、D在同一条直线上， QUOTE ， QUOTE ??=?? AE=BF．
若________，则 QUOTE ??=?? AB=CD．
请从① QUOTE ；② QUOTE ??=?? CE=DF；③ QUOTE 鈭燛=鈭燜 鈭燛=鈭燜这3个选项中选择一个作为条件（写序号），使结论成立，并说明理由．
18．（2024·北京·中考真题）已知 QUOTE ，点 QUOTE ? B， QUOTE ? C分别在射线 QUOTE ?? AN， QUOTE ?? AM上，将线段 QUOTE ?? BC绕点 QUOTE ? B顺时针旋转 QUOTE 180掳−2伪 180掳−2伪得到线段 QUOTE ?? BD，过点 QUOTE ? D作 QUOTE ?? AN的垂线交射线 QUOTE ?? AM于点 QUOTE ? E.

(1)如图1，当点 QUOTE ? D在射线 QUOTE ?? AN上时，求证： QUOTE ? C是 QUOTE ?? AE的中点；
(2)如图2，当点 QUOTE ? D在 QUOTE 鈭燤?? 鈭燤AN内部时，作 QUOTE ，交射线 QUOTE ?? AM于点 QUOTE ? F，用等式表示线段 QUOTE ?? EF与 QUOTE ?? AC的数量关系，并证明。
19．（2024·山西·中考真题）研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的 QUOTE 3? 3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点 QUOTE ? A是纪念碑顶部一点， QUOTE ?? AB的长表示点 QUOTE ? A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点 QUOTE ? M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点 QUOTE ? C处时，测得点 QUOTE ? A的仰角 QUOTE 鈭燗??=18.4掳 鈭燗CD=18.4掳；然后沿 QUOTE ?? CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角 QUOTE 鈭燦??=37掳 鈭燦CD=37掳，当到达点 QUOTE ? A正上方的点 QUOTE ? E处时，测得 QUOTE ??=9 AE=9米； QUOTE
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内， QUOTE ? E， QUOTE ? A， QUOTE ? B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点 QUOTE ? A到地面的距离 QUOTE ?? AB的长（结果精确到1米．参考数据： QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE ， QUOTE tan18.4???.33) tan18.4???.33)．
20．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）已知 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC是等腰三角形， QUOTE ??=?? AB=AC， QUOTE ， QUOTE 鈭燤?? 鈭燤AN在 QUOTE 鈭燘?? 鈭燘AC的内部，点M、N在 QUOTE ?? BC上，点M在点N的左侧，探究线段 QUOTE 之间的数量关系．

（1）如图①，当 QUOTE 鈭燘??=90掳 鈭燘AC=90掳时，探究如下：
由 QUOTE 鈭燘??=90掳 鈭燘AC=90掳， QUOTE ??=?? AB=AC可知，将 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨CN绕点A顺时针旋转 QUOTE 90掳 90掳，得到 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BP，则 QUOTE ??=?? CN=BP且 QUOTE 鈭燩??=90掳 鈭燩BM=90掳，连接 QUOTE ?? PM，易证 QUOTE ，可得 QUOTE ??=?? MP=MN，在 QUOTE 中， QUOTE ??2+??2=??2 BM2+BP2=MP2，则有 QUOTE ??2+??2=??2 BM2+NC2=MN2．
（2）当 QUOTE 鈭燘??=60掳 鈭燘AC=60掳时，如图②：当 QUOTE 鈭燘??=120掳 鈭燘AC=120掳时，如图③，分别写出线段 QUOTE 之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明．
21．（2023·浙江绍兴·中考真题）如果两点到一条直线的距离相等，则称该直线为“两点的等距线”．
(1) 如图1，直线 QUOTE ?? CD经过线段 QUOTE ?? AB的中点P，试说明直线 QUOTE ?? CD是点A，B的一条等距线．
(2)如图2， QUOTE 是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“ QUOTE 两点的等距线”．
(3)如图3， QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ?1,2,?0,−1,?−2,1 A1,2,B0,−1,C−2,1，则在坐标轴上是否存在点P，使 QUOTE ？若存在，试求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ??=?? AB=AC，点D是 QUOTE ?? AC上的一个动点，过点D作 QUOTE 于点E，延长 QUOTE ?? ED交 QUOTE ?? BA延长线于点F．
请你解决下面各组提出的问题：
(1)求证： QUOTE ??=?? AD=AF；
(2)探究 QUOTE ???? DFDE与 QUOTE ???? ADDC的关系；
某小组探究发现，当 QUOTE ????=13 ADDC=13时， QUOTE ????=23 DFDE=23；当 QUOTE ????=45 ADDC=45时， QUOTE ????=85 DFDE=85．
请你继续探究：
①当 QUOTE ????=76 ADDC=76时，直接写出 QUOTE ???? DFDE的值；
②当 QUOTE ????=?? ADDC=mn时，猜想 QUOTE ???? DFDE的值（用含m，n的式子表示），并证明；
(3)拓展应用：在图1中，过点F作 QUOTE ，垂足为点P，连接 QUOTE ?? CF，得到图2，当点D运动到使 QUOTE 鈭燗??=鈭燗?? 鈭燗CF=鈭燗CB时，若 QUOTE ????=?? ADDC=mn，直接写出 QUOTE ???? APAD的值（用含m，n的式子表示）．
23．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）综合与实践：如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE 鈭燗=90掳 鈭燗=90掳，将线段 QUOTE ?? BC绕点 QUOTE ? B顺时针旋转 QUOTE 90掳 90掳得到线段 QUOTE ?? BD，作 QUOTE 交 QUOTE ?? AB的延长线于点 QUOTE ? E．

(1)【观察感知】如图2，通过观察，线段 QUOTE ?? AB与 QUOTE ?? DE的数量关系是______；
(2)【问题解决】如图3，连接 QUOTE ?? CD并延长交 QUOTE ?? AB的延长线于点 QUOTE ? F，若 QUOTE ??=2 AB=2， QUOTE ??=6 AC=6，求 QUOTE 鈻矪?? 鈻矪DF的面积；
(3)【类比迁移】在(2)的条件下，连接 QUOTE ?? CE交 QUOTE ?? BD于点 QUOTE ? N，则 QUOTE ????= BNBC=______；
(4)【拓展延伸】在(2)的条件下，在直线 QUOTE ?? AB上找点 QUOTE ? P，使 QUOTE ，请直接写出线段 QUOTE ?? AP的长度．
24．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为 QUOTE 6cm 6cm的等边三角形纸片 QUOTE 叠放在一起，使点E、B分别在边 QUOTE 上（端点除外），边 QUOTE 相交于点G，边 QUOTE 相交于点H．
(1)如图1，当E是边 QUOTE ?? AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；
(2)如图2，若 QUOTE ，求两张纸片重叠部分的面积的最大值；
(3)如图3，当 QUOTE ??>?? AE>EC， QUOTE ??>?? FB>BD时， QUOTE ?? AE与 QUOTE ?? FB有怎样的数量关系？试说明理由．
25．（2024·山东德州·中考真题）在 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ??=?? AC=BC， QUOTE 鈭燗??=120掳 鈭燗CB=120掳，点D是 QUOTE ?? AB上一个动点（点D不与A，B重合），以点D为中心，将线段 QUOTE ?? DC顺时针旋转 QUOTE 120掳 120掳得到线 QUOTE ?? DE．
(1)如图1，当 QUOTE 鈭燗??=15掳 鈭燗CD=15掳时，求 QUOTE 鈭燘?? 鈭燘DE的度数；
(2)如图2，连接 QUOTE ?? BE，当 QUOTE 时， QUOTE 鈭燗?? 鈭燗BE的大小是否发生变化？如果不变求， QUOTE 鈭燗?? 鈭燗BE的度数；如果变化，请说明理由；
(3)如图3，点M在CD上，且 QUOTE ??:??=3:2 CM:MD=3:2，以点C为中心，将线CM逆时针转 QUOTE 120掳 120掳得到线段CN，连接EN，若 QUOTE ??=4 AC=4，求线段EN的取值范围．已知：如图， QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC中， QUOTE ??=?? AB=AC， QUOTE ?? AE平分 QUOTE 鈻矨?? 鈻矨BC的外角 QUOTE 鈭燙?? 鈭燙AN，点 QUOTE ? M是 QUOTE ?? AC的中点，连接 QUOTE ?? BM并延长交 QUOTE ?? AE于点 QUOTE ? D，连接 QUOTE ?? CD．
求证：四边形 QUOTE ???? ABCD是平行四边形．
证明：∵ QUOTE ??=?? AB=AC，∴ QUOTE 鈭燗??=鈭? 鈭燗BC=鈭?．
∵ QUOTE ， QUOTE 鈭燙??=鈭?+鈭? 鈭燙AN=鈭?+鈭?， QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?，
∴①______．
又∵ QUOTE 鈭?=鈭? 鈭?=鈭?， QUOTE ??=?? MA=MC，
∴ QUOTE （②______）．
∴ QUOTE ??=?? MD=MB．∴四边形 QUOTE ???? ABCD是平行四边形．